空间问题的基本理论3

在一般空间问题中,包含15个未知函数：6个应力分量σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx；6个应变形变分量εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx；3个位移分量u,v,w。它们都是坐标（x,y,z）的函数。

现在是1页\一共有46页\编辑于星期日在弹性区域内部，要考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，分别建立3套基本方程：平衡微分方程，几何方程，物理方程。然后在边界条件下求解这些方程，得出应力分量、形变分量和位移分量。空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴对称问题。现在是2页\一共有46页\编辑于星期日球对称问题球对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状只能是圆球(实心或空心球）。在球对称问题中，应力、应变、位移等分量都只是径向坐标ρ的函数。现在是3页\一共有46页\编辑于星期日轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。轴对称问题ρ现在是4页\一共有46页\编辑于星期日在外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部分也将保持平衡。从中取出一个单元体加以分析。§5-1平衡微分方程现在是5页\一共有46页\编辑于星期日现在是6页\一共有46页\编辑于星期日考虑图示单元体z轴方向的平衡:

在z面的负面z处，正应力为在x面的负面处，切应力为

τxz；xyzoz正面z+dz处正应力为x正面x+dx处切应力为

在物体内的任一点P取一微小的正六面体，其六面垂直于坐标轴，棱长为dx,dy,dz。现在是7页\一共有46页\编辑于星期日在y面的负面y处，切应力记为xyzoy正面y+dy处应力为设fz

为物体z的方向的体力分量。现在是8页\一共有46页\编辑于星期日xyzo由整理便得到z方向的平衡方程:现在是9页\一共有46页\编辑于星期日空间问题中的平衡微分方程：（5－1）同样得到x、y方向的平衡方程。现在是10页\一共有46页\编辑于星期日证明切应力互等定律整理得：根据小变形假定，略去微量不计，得同样可以得出：以六面体前后两面中心的直线ab为矩轴,列出力矩的平衡方程：现在是11页\一共有46页\编辑于星期日§5-2物体内任一点的应力状态已知任一点P的应力分量

σx、σy、σz、τxy、τyz、τzx

，在P点附近取一平面ABC,平行于该斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC,如图所示.n’为平面ABC的外法线,其方向余弦为：

cos(n’,x)=l,cos(n’,y)=m,cos(n’,z)=n求：过该点的任一斜面上的应力。现在是12页\一共有46页\编辑于星期日

1、求ABC面上的应力分量px，py，pz除以ds,然后令dv/ds→0,得：

px=lσx+mτyx+nτzx由x方向的平衡得到：pxdS-σxldS-τyxmdS

-τzxndS+fxdv=0设px、py、pz为斜面ABC的全应力p在坐标轴上的投影。斜面△ABC的面积为ds,PABC的体积为dv。则:△BPC的面积:lds△CPA的面积:mds△APB的面积:

nds现在是13页\一共有46页\编辑于星期日

py=mσy+nτzy+lτxy

pz=nσz+lτxz+mτyz

同理可得y,z方向的平衡条件，于是得：

px=lσx+mτyx+nτzx（5-2）现在是14页\一共有46页\编辑于星期日特殊情况下，如果ABC是物体受面力作用的边界sσ，则px，py，pz成为面力分量上式即是空间物体的应力边界条件，表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。由式（5－2）得出应力边界条件：

lσx+mτyx+nτzxnσz+lτxz+mτyz

mσy+nτzy+lτxy在sσ上现在是15页\一共有46页\编辑于星期日2、求ABC面上的正应力σn和切应力分量τn

ABC面上的正应力σn：（5－3）将式（5－2）代入得：

py=mσy+nτzy+lτxy

pz=nσz+lτxz+mτyz

px=lσx+mτyx+nτzx（5-2）现在是16页\一共有46页\编辑于星期日（5－3）

ABC面上的切应力τn

：可见，若已知坐标面上的6个应力分量，就可求任一斜面上的正应力和切应力。6个应力分量完全决定了一点的应力状态。（5－4）现在是17页\一共有46页\编辑于星期日则有：将式（5-2）代入得：若经过任一点P的某一面上的τn

＝0，则该面为P点的一个应力主面，σn＝σ即为P点的一个主应力，该斜面的法线方向即为P点的一个应力主向。

(a)§5-3P点的主应力、最大与最小的应力

px=lσ，py=mσ,pz=nσ现在是18页\一共有46页\编辑于星期日（b）利用方向余弦的关系式：联立求解式(a),(b),能够得出l,m,n,σ一组解答，就得到P点的一个主应力及对应的应力主面和应力主向。为求解方便，将式(a)改写为：

(c)现在是19页\一共有46页\编辑于星期日（5－6）由于l,m,n不能全为0，故系数行列式应该等于零：展开得：解方程得出σ的3个实根σ1

，σ2

，σ3，即为P点的3个主应力。现在是20页\一共有46页\编辑于星期日主应力的个数设三次方程（5－6）至少有1个实根，因而至少存在1个主应力以及与之对应的主平面。若设该主应力为σ3，并将z轴放在这个应力主向，则有：σz

＝σ3,τzx=τxz=0,τzy=τyz=0于是正六面体的应力如图所示，根据§2-3的分析，可以断定有2个主应力σ1和σ2，作用在互相垂直的2个应力主面上。说明：在受力物体内的任意一点，一定存在3个互相垂直的应力主面以及对应的3个主应力。现在是21页\一共有46页\编辑于星期日（d）(σ

–σ1)(σ

–σ2)(σ–σ3)＝0（5－6）式可写为：

展开得：σ1

+σ2+σ3

=σx+σy+σz（5-7）可见：在三个互相垂直的面上的正应力之和不随坐标变化，是不变量，并且等于三个主应力之和。可以证明：3个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，最小的一个就是该点的最小正应力。（5－6）

比较（5－6）式和（d）式中的项，得：现在是22页\一共有46页\编辑于星期日§5-4几何方程及物理方程、边界条件一、几何方程

采用与平面问题（oxy平面）相同的分析方法，可以分析oyz和ozx平面内相应微线段的变形，即可导出另外三个几何方程。现在是23页\一共有46页\编辑于星期日（5－8）

形变分量与位移分量应满足下列6个方程，即空间物体的几何方程：现在是24页\一共有46页\编辑于星期日二、空间问题的物理方程（5－9）物理方程——描述形变分量与应力分量之间的关系。现在是25页\一共有46页\编辑于星期日三、空间问题的边界条件1、位移边界条件

在给定的约束位移边界su上,位移分量还应满足下列3个位移边界条件，即空间物体的位移边界条件：

(在su上）（5－10）现在是26页\一共有46页\编辑于星期日2、应力边界条件

在给定的sσ边界上,应力分量还应满足下列3个应力边界条件：

lσx+mτyx+nτzx

nσz+lτxz+mτyz

mσy+nτzy+lτxy在sσ上现在是27页\一共有46页\编辑于星期日四、体积应变设微小正六面体的棱边长度：dx,dy,dz,变形前的体积为:v=dxdydz;变形后的体积为：

v’=（dx+εxdx)(dy+εydy)(dz+εzdz)体积应变（体应变）——单位体积的改变，称为体积应变。现在是28页\一共有46页\编辑于星期日（5－12）则体应变为：略去高阶微量，得：将几何方程代入，得：（5－11）现在是29页\一共有46页\编辑于星期日五、体积应力Θ和体积模量将物理方程中的前3项相加，得令其中：称为体积应力；则上式为：称为体积模量。（5－13）现在是30页\一共有46页\编辑于星期日六、物理方程的另外一种形式——用形变分量来表示应力分量求解σx得:由代入上式，得：现在是31页\一共有46页\编辑于星期日（5－14）于是得用形变分量来表示应力分量的物理方程：现在是32页\一共有46页\编辑于星期日总结：在一般空间问题中,包含15个未知函数：6个应力分量σx,σy,σz,τxy,τyz,τzx；

6个应变形变分量εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx

3个位移分量u,v,w。它们都是坐标（x,y,z）的函数。

在弹性区域内部，这15个未知函数应当满足15个基本方程：3个平衡微分方程；6个几何方程；6个物理方程。此外，在给定约束位移的边界su上，还应当满足位移边界条件（5－9）；在给定面力的边界sσ上，还应当满足应力边界条件（5－5）。

现在是33页\一共有46页\编辑于星期日空间问题中的平衡微分方程：空间物体的几何方程：空间问题的物理方程现在是34页\一共有46页\编辑于星期日（5－5）应力边界条件：

lσx+mτyx+nτzx

nσz+lτxz+mτyz

mσy+nτzy+lτxy在sσ上位移边界条件：

(在su上）（5－9）现在是35页\一共有46页\编辑于星期日§5-5空间轴对称问题的基本方程轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴对称问题。弹性体的形状：一般为是圆柱或半空间。ρ现在是36页\一共有46页\编辑于星期日在描述轴对称问题中的应力、形变及位移时，——圆柱坐标ρ,φ,z。特点：若对称轴为z轴，则所有的应力分量、形变分量、位移分量都将只是ρ、z的函数，不随φ而变。并且，具有方向性的各物理量应当对称于通过z轴的任何平面，凡不符合对称性的物理量必然不存在，它们应当等于零。现在是37页\一共有46页\编辑于星期日基本概念径向线应变ερ——沿ρ方向的线应变；环向线应变εφ——沿φ方向的线应变；轴向线应变εz——沿z方向的线应变；γzρ——ρ方向与z方向之间直角的改变；γρφ——ρ方向与φ方向之间直角的改变；γzφ——z方向与φ方向之间直角的改变；径向位移分量uρ——沿ρ方向的位移分量；环向位移分量uφ——沿φ方向的位移分量；轴向位移分量uz——