研究生入学考试《概率论与数理统计教程》课后习题解答

第一章事件与概率

1.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件•B表示被选学生是三年级

学生，事件C表示该生是运动员。

(1)叙述ABC的意义。

(2)在什么条件下ABC=C成立？

(3)什么时候关系式CuB是正确的？

(4)什么时候,=8成立？

解(1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2)ABC=C等价于CuA6,表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，

1.3一个工人生产了n个零件，以事件表示他生产的第i个零件是合格品(1Wi<〃用A,表

示下列事件：

(D没有一个零件是不合格品；

(2)至少有一个零件是不合格品；

(3)仅仅只有一个零件是不合格品；

(4)至少有两个零件是不合格品。

解⑴仆4；(2)］；⑶0区(14)］；

i=l/=1i=li=lj=l

加

n

(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；

7=1

i*j

1.5在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个

分数，求所得分数为既约分数的概率。

解样本点总数为府=8X7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、

4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含

A；+2A；xA；=2x3x6个样本点。于是

2x3x69

P(A)=

8x7L4

1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9x10—1=89个不同位置，当它处于和红“车”同

行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

17

P(A)=—

89

1.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起

离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9’。事件

A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所

1.10某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车,

其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

-94r9Y

解用A表示“牌照号码中有数字8"，显然P(A)=--------=—，所以

10000<ioj

P(A)=1-P(A)=1-

10000

L11任取一个正数，求下列事件的概率：

(2)该数的四次方的末位数字是1；

(3)该数的立方的最后两位数字都是1；

42

解(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1,所以答案为一=一

105

(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。

用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1"，则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字

为a,则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1,必须a=7,因此A所

包含的样本点只有71这一点，于是

1.12一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个

尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2"根草的情形。

解(1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它

未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5・31种接法，同样对尾也有5・3•1种

接法，所以样本点总数为(5・3•。用A表示“6根草恰好连成一个环”,这种连接，对头而言仍有5-3-1

种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能

和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4-2。所以A包

(531)(4•2)8

含的样本点数为(5.3-1)(4-2),于是P(A)=一』，'=—

(5-3-1)

(2)2〃根草的情形和(1)类似得

几—]]

1.15在A48C中任取-点P,证明AA8P与AABC的面积之比大于——的概率为二。

nn

解截取CD'=LC。，当且仅当点尸落入△C4'8'之内时A48尸与A4BC的面积之比大于

万

fl—IAA'B'C有面积CDr3

——，因此所求概率为尸(A)

的面积^5CD'〃

1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分

别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

解分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。•一艘船到达泊位时必须等待当且仅当

242--X232--X222

0<x-y<2,0<y-x<L因此所求概率为P(A)=-------~———------0.121

1.17在线段上任取三点尤九2,无3，求：

(1)%2位于匹与尤3之间的概率。

(2)4玉,A%2,A%3能构成一个三角形的概率。

;1，—3〜x-1x-1.

解(1)P(A)=-(2)P(B)=------C

312

1.20甲、乙两人从装有a个白球与人个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都

有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球

的概率。

史

解均表示白，02表示黑白，例表示黑黑白，…你+］表示黑•一黑白，

则样本空间。=｛。1，@，…，七+J,并且P(｛0j)=，一，

a+b

a、、bb-\a

--------，尸(｛仆｝)=---------------------------，…，

。+〃一1a+ba+h-ia+b—2

b-1/？-(/-2)a

p(⑷户总

a+b-1a+b—(i-2)a+b-(i-l)

bla

P({%})=

{a+b\a+b-X)--•a

甲取胜的概率为P({0j)+P({03})+P({05})+-

乙取胜的概率为P({02})+尸({汲,})+P({0})+…

1.21设事件A,8及AD8的概率分别为p、g及r,求P(AB),P(AB),P(AB),P(AB)

解由P(A。8)=P(A)+P(B)-P(AB)得

P(AB)=P(4)+P(6)-P(Au8)=p+q-r

P(Ag)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=r-q,P(AB)^r-p

P(AB)=P(AuB)=1一尸(Au8)=1-r

1.22设A2为两个随机事件，证明:

⑴P(A[4)=1-p(A)—P(A2)+P(A,A2)；

(2)尸(])-(月)<(U

1-PP44)<P(A,A2)<P(A,)+P(A2).

证明(1)uu

P(AA2)=P(A,A,)=1-P(A,A2)=1-P(A,)-P(A2)+P(AtA2)

(2)由(1)和P(1可)>0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。

1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45乐订乙报的

有35%,订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有

5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比：

(1)只订甲报的；

(2)只订甲、乙两报的：

(3)只订一种报纸的；

(4)正好订两种报纸的；

(5)至少订一种报纸的；

(6)不订任何报纸的。

解事件A表示订甲报，事件8表示订乙报，事件C表示订丙报。

(1)P(ABC)=P(A-(ABuAC))=P(A)-P(ABuAC)=30%

(2)P(ABC)=P(AB-ABC)=7%

(3)P(BAC)=P(B)一[P(AB)+P(BC)-尸(ABC)]=23%

P(CAB)=P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ABC)]=20%

P(ABCU+BAC+CAB)=P(A8C)+P(BAC)+尸(CAB)=73%

(4)P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14%

(5)P(A+8+C)=90%

(6)P(ABC)=\-P(A+B+C)=1-90%=10%

1.26某班有“个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少

有一张考没有被抽到的概率是多少？

N

解用4表示“第，张考签没有被抽到"，i=l,2,…，N。要求P(Ud)。

i=l

P(A，)=(M)'"44)=(写)’……，P(A…A")=(空)=°

%展1与1

N-2]

~N~)

NN

所以p（Ua）=z（-i）i

1=1I=I(M

1.29已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是

男孩或是女孩是等可能的）。

解用仇g分别表示男孩和女孩。则样本空间为:

Cl={(b,b,b),(b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(,b,g,g)g,b,g}(g,g,b)(g,g,g)}

其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”，B表示"有男孩”，则

P(AB)_6/8_6

P(B|A)=

P(A)7/87

1.30设M件产品中有机件是不合格品，从中任取两件，

（1）在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。

（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。

解（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，8表示“所取产品都是不合格品”，则

（2）设C表示“所取产品中至少有一件合格品”，。表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。

则

m(znYM一舟(M2-nAj

P(C)=P(O)=

MM

2m

M+m-l

1.31〃个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求:

⑴已知前2—1伏<〃）个人都没摸到，求第k个人摸到的概率;

⑵第攵（％<n）个人摸到的概率。

解设A,表示“第i个人摸到“，i=l,2,・・・，〃。

--I1

（1）

〃一女+1

——H—1n-21_1

⑵尸（&）=p（%…Aj4）=——

nn-\n-k+\n

1.32已知一个母鸡生及个蛋的概率为一eT（/l>0）,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p,证

K\

明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为二即。

r!

解用4人表示“母鸡生攵个蛋”，3表示“母鸡恰有r个下一代”，则

88夕女。一2（攵、

P（B）=£P（A）P（BIA«）=Z-P'Q-P）j

k=rk-r

_（4P）'U（1-PH"'_（4P）—/l（l-p）

r!£（k-ry.r!

■P）'c”

1.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定时间内需要修理的概率

之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？

9321

解则p（A,）=—,P（4）=—，尸（43）=话，^4）=—

1231

P（B\Ai）=~,P（B\A2）=~,P⑻4）=亍，P（B\A4）=-

由贝时叶斯公式得p（AjB）=P（A）P（8IA）=9

火p（4）尸⑻4）22

*=|

1.36有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.如果

他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是,、

,而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试

4312

问他是乘火车来的概率是多少？

解用4表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A,表示“朋友乘汽车来”，A,表示“朋

友乘飞机来”，8表示“朋友迟到了”。

则P（AIB）=⑻"」

之P（4）P（8|4）2

hl

1.41一个人的血型为。,A,8,A3型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03,现在任意挑选五个人,

求下列事件的概率

(1)两个人为。型，其它三个人分别为其它三种血型;

⑵三个人为。型，两个人为A型；

(3)没有一人为A3。

解(从个人任选人为。型，共有种可能，在其余人中任选一人为A型，共有三种可能,

1)52⑵3

在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一人为A3型，顺此所求概率为：

⑶2

x3x2x0.462x0.40x0.llx0.13=0.0168

(2)f5>|x0.462x0.402«0.1557

(3)(1-0.03)5=0.8587

1.43做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p,求在成功“次之前己失败了初次的概率。

解用A表示“在成功”次之前已失败了机次”，8表示“在前〃+加一1次试验中失败了九次”，

C表示“第”+加次试验成功”

贝UP(A)=P(BC)=P(B)P(C)=p"T(l_py".p

m

(〃+〃?-

=P"(l-P)"'

Im)

1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有“根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。

求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴(l<r<n)的概率。

解用4表示“甲盒中尚余i根火柴”，用玛.表示“乙盒中尚余/根火柴”，C,。分别表示“第

2〃一r次在甲盒取”，“第2〃一r次在乙盒取”，表示取了2〃一，次火柴，且第2〃一「次是

从甲盒中取的，即在前2〃一「一1在甲盒中取了〃一1,其余在乙盒中取。所以

(2〃一一1丫1丫11

由对称性知P(A,£)C)=，所求概率为：

“二

P(A0BrCkjArB0D)=2P(A0BrC)=\

第二章离散型随机变量

2.3解设随机变量J的分布列为P(4=,)=C.|-1,i=1,2,3。求C的值。

解仁如自所以c=K27

138

2.4随机变量J只取正整数N,且尸(J=N)与成反比，求J的分布列。

解根据题意知P©=N)=1，其中常数C待定。由于2M=C.[-=1，所以c=3,即4

的分布列为?e=N)=6,N取正整数。

兀“N，

2.5一个口袋中装有机个白球、〃一〃2个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。

设此时取出了J个白球，求J的分布列。

解设*=k”表示前上次取出白球，第&+1次取出黑球，则J的分布列为：

P(=k)=--------7~~:--------,左=0,1,…，加

2.6设某批电子管的合格品率为不合格品率为;，现在对该批电子管进行测试，设第J次为首

次测到合格品，求J的分布列。

解产«=%)=(；)A=1,2,….

2.9两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的

概率为0.6,求每名队员投篮次数的分布列。

解设"表示第二名队员的投篮次数，则

P(J=k)=O.6"IO.4"TO.4+O.6«O.4*TO.6=0.76-0.241«=1,2,…；

P(〃=Q=0.6*0.4*T().6+0.6*04*0.4=0.760.6*0.4*-',A:=1,2,…。2.10设随机变量

J服从普哇松分布，且P(J=1)=P(J=2),求P(J=4)。

A

解P(J=k)=——e~(A>0)Z:=0,1,2,•••o由于4&一'=——e",得％=2,乙=。(不

k\2

242

合要求)。所以P(J=4)=—e~2=-e'2o

2.11设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此

种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。

解设J为该种商品当月销售数，/为该种商品每月进货数，则尸(JW幻20.999。查普哇松分布

的数值表，得xN16。

2.12如果在时间，（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与，成正比的普哇松分布。已知

在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。

解设j为时间r内通过交叉路口的汽车数，则

f=l时，P(J=0)=e"=0.2,所以?l=ln5；f=2时，At—21n5,因而

P©>1)=1-P也=0)-P(J=1)=(24-In25)/25=0.83。

2.13一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过

500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。

解在指定的一页上出现某一个错误的概率p=\一,因而，至少出现三个错误的概率为

豹500丫1丫(499丫°°"_^pOOY1丫(499丫°°"

旦％JsooJ^5ooJ=1-9攵JsooJIsooJ

利用普哇松定理求近似值，取；l=〃p=500x」一=l,于是上式右端等于

500

215

l-Y-e-1=1——-0.080301

3k!2e

2.14某厂产品的不合格品率为0.03,现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至

少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？

解设每箱至少装100+x个产品，其中有％个次品，则要求X,使

e"oo+

0.9<E|O.03A0.97100+X-\

、、3k

利用普哇松分布定理求近似值，取/1=（100+4）*0.03之3,于是上式相当于0.9《£T-3,查

图k!

普哇松分布数值表，得x=5。

2.15设二维随机变量（,〃）的联合分布列为：

2P（1一/"—eUu>0,0<p<1）"2=0,1,…，〃〃=0,1,2,…

机!（〃一加!）

求边际分布列。

解P（J=n）=£P（J=〃力=m）_p，"（［一p）-m

£〃！士加（〃-加）r

n=0,1,2,•■■

n\

1、ni-Aoo•

PQ]=m)=£P(J=n,7j=m)=2~^—V---------p'"(l-p)"~m

»=()ml£；加!(〃一加)！

QP)—…

=----------tn=0,1,2,…。

/n!

2.17在一-批产品中一等品占50%,二等品占30%,三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品

的件数分别为4、n、C,求(虞7《)的联合分布列与各自的边际分布列。

4',

解「©=/〃,〃=〃，?=&)=――0.5m0,3"0.2x，%,〃«=0,1,2,3,4m+n+k^4.

m\n\k\

ra4m

p^=m)=^jo.5O.5->/M=0,1,2,3,4；

,,4',

p(/7=/2)=^O.3O.7'.n=0,1,23,4；

p(?=Q=0.2*0.84-*,k=0,123,4。

2.18抛掷三次均匀的硬币，以J表示出现正面的次数，以77表示正面出现次数与反面出现次数之差

的绝对值，求(？,")的联合分布列及边际分布列。

2.21设随机变量J与〃独立，且P(J=1)=P(t]=1)=p>0,

又PG=0)=p(77=0)=l—p>0,定义l=p若J+〃为偶数，问P取什么值时J与6

[()若4+〃为奇数

独立？

解p(c=i)=pq=o)p(〃=o)+P化=1)尸(〃=i)=(i-p)2+p2

p(《=0)=PC=0)P(7=1)+P(4=0)P(7=1)=2p(l-p)

而p©=1，=1)=P4==i)=/，由PC=1,?=i)=p©=i)P《=1)得0=1

2

2.22设随机变量J与77独立，且PC=±l)=P(Z7=±l)=g,定义？=，证明两

两独立，但不相互独立。

证明p(?=D=PC=1)P⑺=1)+PC=-1)P(7=_1)=g

p(?=-1)=PC=1)尸⑺=-D+PC=-DP⑦=1)=；

因为P(J=1,^=1)=p(J=1,77=1)=-=p(J=I)P?=1)

4

P比=1，=-1)=P(J=1,77=-i)=lp(j=i)p《=-1)

4

尸(4=_i，7=I)=PC=—I,〃=—I)=；P4=-I)P《=1)

P©=-lX=-l)=P(J=-l,Z7=l)=|P©=—1)P«=-1)

所以?,J相互独立。同理〃与，相互独立。

但是=1,〃=1/=1)。P(J=I)P(〃=1)尸«=i)，因而q&n不相互独立。

2.23设随机变量J与〃独立，，且只取值1、2、3、4、5、6,证明J+"不服从均匀分（即不可能有

P(J+"=左)=[,左=2,3,…,12o)

证明设尸尸(〃

C=k)=Pk,=k)=qk,k=1,2,…,6o

若尸(J+77=k)=[,&=2,3,・一,12,则

PC+；7=2)=pU1='(1)

P©+〃=7)=2应6+。2%+~+。6坊=5(2)

尸©+〃=12)=/?6必=5⑶

将（2）式减去（1）式，得：（06一PlMl<0，于是。6<Pl。同理46<0。因此

P<4<PM=—>与⑶式矛盾。

<n\

0—7T2

2.24已知随机变量J的分布列为2,求〃=§J+2与？=cosj的分布列。

111

<424>

解〃分布列为P(7；=2)=；,P(〃=2+g)=g,尸(z7=2+g)=；；

《的分布列为尸(4=-1)=l，=0)=—,=1)=—»

-424

，一2-1013、

2.25已知离散型随机变量J的分布列为111111，求〃=J2的分布列。

<5651530>

解P(〃=0)=:,尸(〃=1)=♦，尸⑺=4)=g,P(〃=9)=g

(013、11

设离散型随机变量。与〃的分布列为，且与〃相互独

2.26J：131,7/：j_2J

<288>\33J

立，求6=4+〃的分布歹h

(01234、

解111J_J_

、62442412,

2.27设独立随机变量J与〃分别服从二项分布：b(k;n「p)与bik;%,P)，求+〃的分布列。

解设J为〃1重贝努里试验中事件A发生的次数(在每次试验中P(A)=〃)，〃为4重贝努里试

验中事件A发生的次数(在每次试验中P(A)=p),而孑与〃相互独立，所以J+77为〃।+%重贝努

里试验中事件A发生的次数，因而

PG+〃=Q=('I；〃2卜4%+"厂上，z=0,1,,...,々+〃2。

2.28设J与〃为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为

P(J=〃)==n)=*,〃=1,2,…

求J+〃的分布列。

〃-1n-i11n—\

解PC+Z7=〃)=ZPC=%*(〃=〃—%)=Z玄

%=1k=i222

2.29设随机变量J具有分布：PC=A)=(,A=1,2,3,4,5,求EJ、E$及E(J+2)2。

解，二=；(1+2+3+4+5)=3,E^2=1(12+22+32+42+52)=11

E©+2尸=E^2+4+4=27

2.30设随机变量J具有分布：P(&=k)=Lk=l,2「..,求EJ及

2K

解心=£品立《「=2,喀=落=汽唔J"

DJ=EJ2_(咐=2

2k1

2.31设离散型随机变量J的分布列为：。[4=(一1)"下]=9，4=1,2，一•，问J是否有数学期

望？

82A[8[8]

解^i(-i)—I-=2L-,因为级数2上发散，所以j没有数学期望。

k=ik2k=ik女=1k

2.32用天平秤某种物品的重量（硅码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2

克、…、10克，现有三组祛码：

（甲组）1,2,2,5,10（克）

（乙组）1.2,3,4,10（克）

（丙组）1,1,2,5,10（克）

问哪•组祛码秤重时所用的平均祛码数最少？

解设④、虞、,分别表示及甲组、乙组、丙组祛码秤重时所用的祛码数，则有

物品重量度12345678910

41122122331

$1111222331

刍1123122341

于是E&=^（1+1+2+2+14-2+2+3+3+1）=1.8

酸=^j（l+l+1+1+2+2+2+3+3+1）=1.7

阳=^（1+1+2+3+1+2+2+3+4+1）=2

所以，用乙组祛码秤重时所用的平均祛码数最少。

2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49,±10

米的概率各是0.16,±20米的概率各是0.08,±30米的概率各是0.05,求场地面积的数学期望。

解设场地面积为S米2,边长的误差为4米，则S=6+500）2且

E&=0E&2=2（102x0.16+2（）2x0.08+3（）2x0.05）=186

所以ES=E化+500）2=E$+1000EJ+250000=250186（米？）

2.34对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，旦概率分别为P|、phPy试证发生故

障的仪器数的数学P1+P2+P3。

e[1第，・架仪器发生故障

■第i架仪器未发生故障一’’

J为发生故障的仪器数，则E&=P&=1）=p：,i=1,2,3,

所以=E&[+Ej?+E&3-Pl+P2+〃3.

2.37如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数

的数学期望。

解设，

1V1

则的分布列为X11，因而=——。设4为查得的不合格品数，则

<15T?J15

150150

4=E/,所以EJ=ZEq=10o

i=li=l

2.38从数字0,1,…，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

鹿一Z+]

解设J为所选两个数字之差的绝对值，则P(J=Z)==——「，％=1,2,・一，〃，

I

于是=£攵n-k+l2〃n+2

------^£[(〃+1次"]=

k=1〃(〃+1)4=13

I2)

2.39把数字1,2,-一，〃任意在排成一列，如果数字％恰好出现在第女个位置上，则称有一个匹配,

求匹配数的数学期望。

"学野黄学德置上晦的分布列为:(10)

解设J*=<11-1

0数字人不在第左个位置上

\nnJ

1nn

于是E菰=P(短=1)=一,设匹配数为4,则/=£或，因而EJ=£E氤=1。

nA=Iy

2.40设J为取非负整数值的随机变量，证明:

⑴后0(“〃)；

n=l

(2)D&=2s/PC>n)~E式E&+1).

n-\

oo

证明⑴由于£4=2〃「(4=〃)存在，所以该级数绝对收敛。从而

n=0

Eg=S〃pc=〃)=XZPG=〃)=££PC=〃)=£pc?i)。

n=\〃=1i=li=ln-ii=l

oo

(2)DJ存在,所以级数=Z〃2p(j=〃)也绝对收敛，从而

〃=0

DJ=EJ2+Ej_EJ(EJ+1)=W〃(〃+1)P(J=〃)-E氧EJ+1)

n=l

=ZiP化=〃)一E&(Eg+1)=2£»P=n)-E氢Ej+1)

n=lZ=1/=1n=i

=2£”(短〃)-酸(酸+1).

〃=1

2.41在贝努里试验中，每次试验成功的概率为°,试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试

验次数。

解设成功与失败均出现时的试验次数为则

尸(J>1)=1.P(J?〃)=p"T+q"T,〃=2,3,…(4=1-p)

oooo

利用上题的结论，EJ=PCzi)+£PC?〃)=i+Z(p"T+。1)

n=2n=2

,p,qp2-p+\

l-p\-qp(l-p)

2.42从一个装有"2个白球、几个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(D摸球是为返回的，

(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。

解略。

2.43对一批产品进行检验，如果检查到第％件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽

到第％件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产出数量很大，可以认为每次

检查到不合格品的概率都是p，问平均每批要检查多少件？

解略。

2.44流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p,当生产出％个不合格品时即停工检修一

次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。

解设第个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为i=l,2,…-，Z.又在两次检修

k

之间产品总数为则盘

/=1

因。.独立同分布，P&=j)=qJ-p,j=1,2,…G?=1—〃)，由此得：

E却=二tJQj~'P=~1，E&；=fj2q，Tp="

j=iPMP~

。。=岗-(酸)2=

p

心4*,D上冲

2.46设随机变量J与〃独立，且方差存在，则有

。（切）=。+（Ej）2.£>〃+£）］.（即产（由此并可得£）（切）？D^D?J）

证明D（5）=E$?fS）2=E针E?f-（酸）2（助）2

=E「Erf-E$（E疗+E7回『TE+“E疗

=E^Dq-的丫Dj=D/D/］+阳了.Drj+'(Eq)2

2.47在整数。到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为J和〃：(1)第一个数取后放回，再取第

二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在〃=%(0WZW9)的条件下J的分布列。

解⑴P(J=i|〃=攵)=看i=0,1,•••,9.

(2)P(J=iI〃=k)=L(z=0,1,---,9,zk),P©=k\〃