2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第06讲：向量问题三含解析

2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第06讲：向量问题三（解

析版）第四讲：向量问题（二）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；

拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和

钝角）.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生

的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的

计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：直径圆中，点与圆的位置

关系，即在圆上时，对应的角度为直角，在圆内，对应的角度为钝角，在圆外，对应的角度为锐角，并用

向量进行表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。

1,在圆上

直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当＜4,6＞为直角时，则e/7=0：

2、在圆内

直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当＜。力＞为钝角时，则。方＜0;

3、在圆外

直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当＜。力＞为锐角时，则a2＞0；

【考点剖析】

考点一：直径圆过定点(已知定点)

例1.已知椭圆/+/=l(a>b>0)的离心率e=；,过点A(0,—〃)和B(a,O)的直线与原点的距离为差I.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知定点E(-1,O),若直线y=H+2(AwO)与椭圆交于C,。两点，问：是否存在人的值，使以CD为直

径的圆过E点？请说明理由.

变式训练1：已知椭圆C的离心率6=正，长轴的左右端点分别为4(-&，。)，A(72,0)

(1)求椭圆C的方程；

⑵设动直线/：了="+6与曲线C有且只有一个公共点产，且与直线x=2相交于点Q,求证：以PQ为直径

的圆过定点N(l,0).

22

变式训练2：椭圆C：5+W=M“>b>0)的离心率为设0为坐标原点，A为椭圆C的左顶点，动直线乙

过线段A。的中点8,且与椭圆C相交于P、。两点.已知当直线4的倾斜角为45时，\PQ\-y.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在定直线4：x=f,使得直线a、AQ分别与《相交于M、N两点，且点B总在以线段MN为直

径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线4的方程；若不存在，请说明理由.

变式训练3：已知椭圆C与双曲线£=1有公共焦点，且右顶点为N(2,0).

(1)求椭圆C的标准方程：

⑵设直线/：>=履+机与椭圆C交于不同的A,8两点(A,B不是左右顶点)，若以AB为直径的圆经过

点N.求证：直线过定点，并求出定点.

考点二：直径圆过定点(求定点)

例1.设椭圆C：m+W=l(a>〃>°)的离心率为J，点A为椭圆上一点，片4行的周长为6.

a'b'2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设动直线/：丫=丘+加与椭圆C有且只有一个公共点尸，且与直线x=4相交于点。.问：x轴上是否存在

定点M，使得以尸。为直径的圆恒过定点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

变式训练1：己知点片(—1,0),圆工：(x-iy+V=8,点Q在圆尸2上运动，。耳的垂直平分线交于点R

(1)求动点P的轨迹的方程C；

(2)过点(0,-；)的动直线/交曲线C于48两点，在轴上是否存在定点T,使以他为直径的圆恒过这个

点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

22

变式训练2：如图，椭圆E：r方v=l(a>b>0)的左焦点为人，右焦点为尸2,_离心率e=]1,过£的直线

交椭圆于A8两点，且AAB用的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线/：丫=履+机与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线

x=4相交于点Q,试探究：在x轴上是否存在定点用，使得以PQ为直

径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

22

变式训练3：已知A：x+y+4X-20=0,直线/过3(2,0)且与A交于C,。两点，过点B作直线AC的平

行线交A。于点E.

⑴求证：|胡|+怛身为定值，并求点E的轨迹T的方程；

(2)设动直线〃:y=H+〃z与T相切于点P,且与直线x=3交于点。，在x轴上是否

存在定点M。,。)，使得以也为直径的圆恒过定点”？若存在，求出M的坐标；

若不存在，说明理由.

考点三：直径圆过定点(求圆的方程)

3

例1.已知定点A(O,g),8(0,-6)，动点P与AB连线的斜率之积勺N%=-不

(1)设动点P的轨迹为G,求G的方程；

(2)若是G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC,BD与x轴分别交于点M,N.试判断以MN为直径

的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.

22

变式训练1：如图所示，椭圆C:£+W=l(">〃>0)的左、右焦点分别为6、外,左、右顶点分别为A、

B,尸为椭圆上一点，连接P耳并延长交椭圆于点Q,已知椭圆的离心率为△PQE的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点尸的坐标为.

111

①当阿丽’M成等差数列时，求点尸的坐标;

②若直线R4、所分别与直线x=4交于点M、N,以MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出

定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

22

【答案】⑴?+]=1；(2)①P(0,6)或P(0,-6)；②过定点(7,0)、(1,0),理由见解析.

变式训练2：已知椭圆C:，+¥=l(a>b>0)过点A(O,1),离心率为远.

«b-3

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点A作直线/,/与直线y=2和椭圆C分别交于两点M,N(N与A不重合).判断以MN为直径的圆

是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.

考点四：点在圆内或圆外

例1.己知椭圆C：E+《=l(a>"0),离心率为正，椭圆上任一点P满足归川+|尸鸟|=4.

ab2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若动直线y=笈-2与椭圆c相交于M、N两点，若坐标原点。总在以MN为直径的圆外时，求A的取

值范围.

->>>

变式训练i：已知椭圆c：二+与=1以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积

a'b'

为8的正方形，斜率为我的直线/经过点M(O,1),与椭圆C交于不同两点A、B.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当椭圆C的右焦点厂在以A3为直径的圆内时，求左的取值范围.

变式训练2：已知椭圆C：/+3/=3,点耳，亮分别为椭圆的左、右焦点.

(1)求椭圆C的短轴长和点「，K的坐标；

(2)设为椭圆C上一点，且在第一象限内，直线工尸与y轴相交于点。，若点片在以为直径的

圆的外部，求％的取值范围.

22

变式训练3：如图，椭圆C：£+斗=1("＞人＞0)的离心率e为9左顶点为A,直线/过其右焦点F且与

椭圆交于£＞E两点，己知三角形AH＞面积的最大值为3相.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线A。、AE分别与一条定直线x=m(m＞0)交于M,

点尸始终在以MN为直径的圆内，求机的取值范围.

【当堂小结】

1、知识清单：

(1)椭圆，双曲线，抛物线的基本性质；

(2)直径所对圆周角为乌，即向量的数量积为零；

2

(3)在圆内，所对应的角为钝角，向量的数量积小于零；在圆外，所对应的角为锐角，向量的数量积大于

零；

2、易错点：圆内，圆外的角度翻译，即向量数量积与零的大小关系；

3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1.已知椭圆C：]+，=Ma>b>0)经过点A(o,—1),设右焦点F,椭圆上存在点。，使QF垂直于X轴

且网考

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点3(0,2)的直线/与椭圆交于RG两点.是否存在直线/使得以DG为直径的圆过点凤-1,0)?若存在,

求出直线/的方程，若不存在，说明理由.

2.已知抛物线C：V=4x,直线/经过点A(〃?,0),且与抛物线C交于MN两点，其中帆>0.

⑴若，"=1,且|刎=4,求点M的坐标；

(2)是否存在正数加，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O,若存在，请求出正数”?，若不存在，请说明

理由.

3.已知焦点在y轴上的抛物线过P（2,2）

（1）求抛物线的标准方程及准线方程；

（2）已知直线/：y=x+b（。*。）与抛物线交于点A,B,若以AB为直径的圆过原点0,求直线/的方程.

4.已知椭圆C:£+方=1（〃＞方＞0）的左、右顶点分别为A，上下顶点分别为g，B2,四边形ABIAB?

4

的面积为4,且该四边形内切圆的方程为

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/：y=^+，〃（h”，均为常数）与椭圆C相交于M,N两个不同的点（M,N异于A,&）,若以MN为

直径的圆过椭圆C的右顶点&,试判断直线/能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，请说明理由.

5.已知抛物线。：/=24(0>0)的焦点为尸，点P&2)在抛物线C上，。为坐标原点，△OPR是直角三

角形.

(1)求抛物线C的方程.

(2)若点尸在第一象限，直线/与抛物线C交于异于点P的48两点，以线段A8为直径的圆经过点P.直线

/是否过定点？若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由.

6.已知椭圆C:[+[=l(a>8>0),耳,Q为椭圆的左、右焦点，焦距为2石，点尸在C上，且居面积的最

a~o

大值为

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点作直线/交椭圆于4,8两点，以A8为直径的圆是否恒过犬轴上的定点。(m,0)?若存在该

定点，请求出"，的值；若不存在，请说明理由.

7.已知抛物线C的顶点是坐标原点O,对称轴为x轴，焦点为F,抛物线上点A的横坐标为1，且F404=4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线/交抛物线C于两点M,N,直线x=l分别交直线OM,ON于点

A和点5,求证：以为直径的圆经过x轴上的两个定点.

第四讲：向量问题（二）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；

拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和

钝角）.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生

的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的

计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：直径圆中，点与圆的位置

关系，即在圆上时，对应的角度为直角，在圆内，对应的角度为钝角，在圆外，对应的角度为锐角，并用

向量进行表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。

1、在圆上

直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当＜。力＞为直角时，则4/=0；

2、在圆内

直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当＞为钝角时，则人〃＜0;

3、在圆外

直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当＜“力＞为锐角时，则42＞（）；

【考点剖析】

考点一：直径圆过定点（已知定点）

例1.已知椭圆，+£=1（。＞人＞0）的离心率e=g,过点A（o,"）和W&O）的直线与原点的距离为率.

（1）求椭圆的方程;

⑵已知定点E（-1,O）,若直线尸丘+2（心0）与椭圆交于C,3两点，问：是否存在"的值，使以CZ）为直

径的圆过£点？请说明理由.

【答案】（1）《+片=1;（2）k=-l+娅或々=-1-亚

4344

解析：（1）由已知可得，e=£=（，

a2

过点&。,血和阳。）的直线方程为:六I,即处"3=。,

则潦筌等

又。2=匕»2,

联立解得a=2,b=5/3,c=1.

椭圆的方程为《+上=1;

43

y=kx+2

X2y2，得(3+4F)f+16依+4=0.

—+—=1

(43

△=(16()2-16(3+41)》0①

—16k4

设C(须,>,),D(X2,%),则X[+,=m//，为々=?4『②

3।4K3十今工

而弘丁2=(依+2)(区2+2)=k2%％2+22(玉+%2)+4,

要使以CO为直径的圆过点旦-1,0）,即CELOE,

贝I]-^77--^-j-=T,即y%+(X+1)(%+1)=0;

X1+1”2十1

2

;.(k+l)x,x2+(2k+1)(%,+工2)+5=0③

将②式代入③整理即(斤+1)・二^+(2上+1)-^^+5=0,即纵公+1)_16乂24+1)+5(3+4/)=0,解得

%=-1+—^―或女=-1---.

44

经验证，4=-1+还或太=-1-地使①成立.

44

故存在《=_1+亚或4=_1一地，使得以CD为直径的圆过点E.

44

变式训练1：已知椭圆C的离心率6=乎，长轴的左右端点分别为4（一血,0）,4（V2,o）

（1）求椭圆c的方程；

（2）设动直线/：丫=丘+匕与曲线C有且只有一个公共点P,且与直线x=2相交于点。，求证：以PQ为直径

的圆过定点N(1,O).

【答案】⑴/+丁=1；(2)证明见解析.

2

22

解析：(1)椭圆长轴端点在X轴上一••可设椭圆方程为£+3=1(“>〃>0),

a2=b2+c2

“=及，

CV2

由题意可得:e=—=——解得：6=1，，椭圆C的方程为：—+/=1；

a2c=l2

a=42

八21

(2)由5得：(1+2公卜?+4必X+»2-2=0,

y=kx+b

曲线C与直线/只有一个公共点，.・・♦=8(1+2公一从)=0,即从=2r+1,

4kb2kb2k

设P(呼，力)，则X"-而和"铲=一了，

(y=kx+b[x=2/、

由9得：“+/,即Q2,2左+。；

[x=2[y=2k+b

N(l,0),.•.NP=L-1，W，NQ=(\,2k+b),

2k2k+b

:.NPNQ=--------1+--------=0,即NP_LN。，

hh

・••以PQ为直径的圆恒过定点N(l,0).

变式训练2：椭圆C:5+/=l(a>〃>())的离心率为设。为坐标原点，A为椭圆C的左顶点，动直线《

74

过线段A。的中点8,且与椭圆C相交于尸、Q两点.已知当直线4的倾斜角为45时，\PQ\=~.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在定直线4：x=f,使得直线的、AQ分别与％相交于M、N两点，且点B总在以线段MN为直

径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线4的方程；若不存在，请说明理由.

22o

【答案】⑴上+^=1；(2)存在，且直线4的方程为x=-4或

435

c1I

解析：(1)因为一=7,则Q=2T,b=y]a2—c2=>/3c»

a2

22

所以，椭圆C的方程为=+二=1,即3V+4y2=12/,

4c~3c

易知点A（-2c,0）,则点B（-c,0）,当直线6的倾斜角为45时，直线4的方程为了=》+。,

设点尸（/％，x、）、。伍/，必、），联立、+y3=dx++4c），2=12。2，可得7炉+8廿一8c2=0,

222

A=64c+4x7x8c=32x9c>0>由韦达定理可得%+々=一~亍，x,x2='

所以，|PQ|=Jl+F.J（X1+XJ-4X1X2="T号j+^^=^=与,

22

解得c=l,则a=2,b=y/3,因此，椭圆C的标准方程为匕+乙=1.

43

（2）易知点8（-1,0）,若直线4与x轴重合，则尸、。为椭圆C长轴的两个端点，不合乎题意.

设直线4的方程为*=冲-1,设点P（X”X）、。（当，必），

x=my-l

联立可得(3m2+4)y2-6my-9=0,

3x2+4y2=12

A=36/n2+36(3w2+4)=144(/n2+l)>0,

由韦达定理可得。，w?，，

3w+43m-+4

直线AP的斜率为砥/>=士=七7,直线赫的方程为丫=’17（尤+2），

%+2fny1+1myi+1

1(f+i)x、

故点M,同理可得点Nr?——

、‘my+Ll吵+1J

((/+2)凶)((/+2)%)

BM=\t+——5,BN=t+l^——在

Imy+i)l6%+1)

由题意可得BM-8N=（+1）2+-0+2）0%_=（/+1）2-2"+2）2=0,

江%%+“（％+%）+14、

Q

解得f=T或r==.

Q

因此，存在满足题设条件的直线3且直线4的方程为x=-4或*=-1,点8总在以线段MN为直径的圆上.

变式训练3：已知椭圆C与双曲线丁-《=1有公共焦点，且右顶点为N（2,0）.

（1）求椭圆C的标准方程;

⑵设直线/：y=+m与椭圆。交于不同的A,5两点(A,4不是左右顶点)，若以A8为直径的圆经过

点N.求证：直线过定点，并求出定点.

【答案】(1)'+〉2=1；(2)证明过程见解析，定点为(±0).

45

解析：(1)双曲线/一'=1的半焦距为：心+(扬2=6,所以椭圆的焦点坐标为：(6,0),(-6,0),椭圆

的右顶点为N(2,o),

22

设椭圆的标准方程为：5+马=1(。>人>0),

azb-

所以a=2,c=G=>b2=a2—c2=4-3=1,

因此椭圆的标准方程为：—+/=1;

4

(2)直线/方程与椭圆方程联立，

M21

得｛4'n(l+4%2)x~+8A/nx+4m2_4=0,设以对,卜旗々,当)，

y=kx+m

于是有：A=(8fon)2-4(1+4k2)(4w2-4)>0=>m2<4k2+1,

8km4加之-4

…"b-=77而’

因为以AB为直径的圆经过点N,

所以附_1凡8=^4.凡8=0=(4-2,凹)&-2,%)=0=(内_2)(马_2)+%%=0，

即4-2(X[+々)+玉2+(g+m)(kx2+m)=0,化简得：

22

(k+l)xtx2+(km-2)(xt+x2)+4+m=0,而玉+x2=-:

所以有：伙2+1).驯口_(切L2>-^3+4+〃/=0,化简得：

1+441+4匕

5m2+\6km+l2k2=0=(5m+6攵)(〃7+2攵)=0=>机=一《攵或机=一2攵,

显然满足疗v4〃+1,

当帆=-2左时，y=kx+m^>y=kx-2k^>y=k(x-2),此时直线/过椭圆的右顶点不符合题意;

当初=—|左时，y=kx+m=>y=kx-k=^y=k(x-)f此时直线/恒过点号,0),

综上所述：直线过定点，定点为4,0).

考点二：直径圆过定点(求定点)

例1.设椭圆C：V+与=1(。>6>0)的离心率为:，点A为椭圆上一点，耳4鸟的周长为6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设动直线/：丫="+m与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.问：x轴上是否存在

定点”，使得以尸。为直径的圆恒过定点M?若存在，求出点”的坐标；若不存在，说明理由.

22

【答案】(1)三+工=1；(2)存在，M(1,O).

43

解析：(1)由e=g可得a=2c,①

书人心的周长为10,所以耳A++耳心=10,

即2a+2c=6②

联57.①②得：。=2，c=1,Z?=Ja?—/=\/4—1=5/3f

.•.椭圆的方程为片+£=1;

43

(2)

设点2%,%）.

y=kx+m

由“J，得（3+4%2b2+8叱+4（/_3）=（）,

-1--=1

43

△=（86）2-4（3+442）.4（/-3）=0,化简得必2_/+3=0,

4km4k3

一行TK%=获

m）

y=kx+tn

由・』,得室,4+办

假设存在点M（40）,

4k3

则例尸=（----x—）,知。=（4一%,4k+根），

mptn

V以P。为直径的圆恒过“（七,0）点，JMPMQ=O,

]6k43212A

即----+——L-4x+x+——+3=0,

tnm[lm

（4x,-4）—+A7-4玉+3=（）对任意攵，机都成立.

4%—4=0

则|x：_45+3=0解得％=1,

故存在定点”（1,0）符合题意.

变式训练1：已知点耳（-1,0）,圆&（》-1）。/=8,点Q在圆巴上运动，。耳的垂直平分线交。尸2于点匕

（1）求动点尸的轨迹的方程C；

（2）过点（0,-；）的动直线/交曲线C于AB两点,在），轴上是否存在定点T,使以他为直径的圆恒过这个

点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】⑴《+丁=1；（2）存在，mi）.

2

解析：（1）由题可知,忸耳|=|尸@，

则归町+|P闻=|PQ|+|P国=|0闻=20>2阳用=2,

由椭圆定义知P的轨迹是以Fl、K为焦点，且长轴长为2亚的椭圆,

a=^2,c=1，b1=a1—c1=1,

...P的轨迹方程为C：y+/=l；

（2）假设存在T（0,t）满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为

丁二依-!，4（%，%），8（/,必），

,1

y=kx——

联立,3,化为（1+2公卜2一如弋=0,易知A>0恒成立，

—+/=139

12

4k16

"+々=乖可**一而可*）

UliUU

由题可知，TATB=(x],yl-t)-(x2,y2-t)=^x2+(y

k(%+/)-'|+产

=x}x2+例一

=（1+公居占一快+"）

(川+占)+,[+]2/+厂="

16(1+公

4k122八

将（*）代入可得:--7---------TTH---F-/+r=0,

9(1+2公3(1+2阴93

即（18/一18*2+（9产+6/-15）=0,

18Z2-18=0

解f=l,

9Z2+6/-15=0

...在y轴上存在定点T（0,1）,使以AB为直径的圆恒过这个点T.

解析：（1）由椭圆的定义可知△,A88的周长为4。=8,即”=2,

C=1,

2

又*•*a1=b2+C1fb=百,

22

故椭圆c的方程为：三+二=1,

43

y=kx+m

（2）将/联立，消元可得（4公+3卜2+80我+4加-12=°,

----F--=1

43

♦.•动直线/：>=辰+，"与椭圆E有且只有一个公共点P,

A=（8fon）2-4（4Jt2+3）（4/n2-12）=0,

.*•4公一m2+3=0,

、

由ILy=fct+得,Q（/4,4-m）,

X—4

假设在X轴上存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M,

设M(毛,0),则MP.MQ=0,

,MQ=(4-x0,4k+m),

MP-MQ=\---x\(4-x)+-(4k+m]=0

\mn)t)m

整理得(%-1)(当+/-3)=0,

对任意实数m,k恒成立，则%=1,

故在x轴上存在定点M(LO),使得以PQ为直径的圆恒过点M.

变式训练3：已知A:X2+/+4X-20=0,直线/过3(2,0)且与A交于C,。两点，过点8作直线AC的平

行线交AO于点E.

⑴求证：|刚+|所|为定值，并求点E的轨迹7的方程；

(2)设动直线〃:丫=丘+机与T相切于点P,且与直线x=3交于点2,在x轴上是否

存在定点M,0),使得以PQ为直径的圆恒过定点M?若存在，求出M的坐标；

若不存在，说明理由.

【答案】⑴证明见解析，9+?=1("0)；(2)存在，M(2,0)

62

解析：(1)圆A：(x+2)2+/=24,r=2x/6

VAC=AD,：.ZACD=ZADC,又BE〃AC,:.NEBD=ZACD

：.ZEBD=：ZEDB,：.|=|ED\,故|即+|£4|=|£»|+|E4|=2几>|阴=4

点的轨迹是以A,8为焦点的椭圆，且2a=2",2c=4

22

**.b2=a2—c2=21故T：—+—=1(y00)；

62

y=kx+m

(2)由，fJ,得(1+3炉)d+6Az/Air+3帆*-6=0

---F—=1

162

A=(6〃戊)、4(3>-6乂1+3公)=0,故川=2(1+3公),

设〃(毛，儿)，贝iJx()=一若一=一竺，+相=2,

'/3K+1mm

故pf--1,。(3,34+a),

\mm)

由PMQM=0可得：(f-3)fr+—j+—(3ZC+/M)=0

ImJm

由产一3r+2+6(f-2)\=0对Vk,加恒成立

?-3z+2=0°

《nf=2

-2=0

故存在M(2,0)使得以P。为直径的圆恒过定点M

考点三：直径圆过定点(求圆的方程)

例1.已知定点40,百)，8(0,-石)，动点P与A,8连线的斜率之积勺

(1)设动点P的轨迹为G,求G的方程；

(2)若C,£＞是G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC,BO与x轴分别交于点M,N.试判断以MN为直径

的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.

22

【答案】⑴三+二=1(犬#0)；(2)以MN为直径的圆过定点，定点坐标为(0,2)和(0,-2).

43

解析：(1)设点P(x,y)(x*0),则直线PA,PB的斜率分别为：即“=匕叵，*:匕6,

XX

依题意，匕@.小叵=_3,化简整理得：^4-21=1,

xx443

,2

所以G的方程是：?+q=i(xw0).

⑵由⑴知，令C(x0,%)(x#0)是G上任意一点，则点

直线AC：卜=止立x+K,则点M(-总会,0),直线跳)：丫=生芭》-石，则点N(-百、,0),

%%-J3-玉＞%+{3

以MN为直径的圆上任意一点Q(x,y),当点Q与M,N都不重合时，MQ1NQ,有MQ.NQ=0,

当点Q与M,N之一重合时，M0N@=O也成立，

因此，以MN为直径的圆的方程为：(x+"[-HyWO,

No-6%+6

化简整理得：/+/+等乎、+与1=0,而芯.+g=1,即4_3=_?片，

%一3%—3434

则以MN为直径的圆的方程化为：/+丫2_坐『_4=0,显然当x=0时，恒有丁=4,

即圆/_幽4=0恒过两个定点(0,2)和(0,-2),

3%

所以以MN为直径的圆过定点，定点坐标为(0,2)和(0,-2).

22

变式训练1：如图所示，椭圆C:£+/=l(a>6>0)的左、右焦点分别为6、%左、右顶点分别为A、

B,P为椭圆上一点，连接尸耳并延长交椭圆于点。，已知椭圆的离心率为△PQE的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点P的坐标为(为,%).

111

①当国‘丽，两成等差数列时'求点P的坐标;

②若直线24、尸8分别与直线x=4交于点M、N,以MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出

定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

【答案】⑴工+片=1;⑵①P(0,6)或尸(0,-。);②过定点(7,0)、(1,0),理由见解析.

43

f4〃=8

\a=2「

解析：(1)由题设，易知：卜_1,可得［-1'则b=G，

...椭圆C:三+汇=1.

43

1122,

(2)①由(1)知：国j+师［=］7闰=五="令|PF"=m，则IP鸟1=2。-机=4-，〃，

A-+—1—=l,解得m=2,故|对日空|=2,此时P(0,6)或尸(0,-君)

m4一机

②由(1),A(-2,0),3(2,0),

...可令直线小：>=>j(x+2),直线「8：y=」、(x-2),

x(,+2x0-2

...将x=4代入直线可得：M(4,鼻),阳4,9)，则圆心4含+〃)且半径为R=1含一六I,

%+2

3%为)2=(3%%]

/.MN为直径的圆为(1-4)2+(y-

x(}4-2x0-2x0+2x0-2

当好。时，(x-4)2=辱，，=3(1-4)-

4一/4

J0-4)2=9(/：。)=9,可得x=7或x=l.

4一片

.•.MV为直径的圆过定点(7,0)、(1,0).

变式训练2：已知椭圆cJ+£=l(a>b>0)过点40,1),离心率为日

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点A作直线/,/与直线丫=2和椭圆C分别交于两点M,N(N与A不重合).判断以MN为直径的圆

是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.

2

【答案】(1)二+丁=1；(2)过定点，定点为(0,-1)

3

解析：(1)由题意得，b=\,£=峥，

a3

又因为所以々2=3.

所以椭圆C的方程为《+y2=i.

3-

(2)以MN为直径的圆过定点(0，-1).理由如下：

当直线/斜率存在时，设直线/的方程为y="+l(女*0).

令》=2,得所以M(；2).

kk

y=kx+\,

由2得(1+3公)/+6-=0则x=°或—谈'

y+r=1

所以N(—1-3X)

加以(l+35'l+3k〃

设尸(x，y)是以MN为直径的圆上的任意一点，

16k1一弘2

则g=。-工/-2),?/P=(x--,y--

k+1+3公1+3Z

由题意，MP-NP=。，

则以MN为直径的圆的方程为(x+T%)(x-：)+()，-；^)(y-2)=0.

1+34-k\+3k~

2222

BP3(x+y-y-2)女3+3xk+(J^+y-3y-4)k-x=()T亘成立.

x=0,

x=0,

即，y2_y_2=0,解得

y=-i-

y2-3j-4=0,

故以MN为直径的圆恒过定点(0,-1).

当直线/斜率不存在时，以MN为直径的圆也过点(0,-1).

综上，以MN为直径的圆恒过定点(0,-1).

考点四：点在圆内或圆外

例1.已知椭圆C:£+W=l(a>〃>0),离心率为巫，椭圆上任一点P满足|P用+|尸闾=4.

a~b2

(1)求椭圆c的方程；

⑵若动直线丫=履-2与椭圆c相交于M、N两点,若坐标原点0总在以MN为直径的圆外时，求左的取

值范围.

2

【答案】⑴工+尸=1

4

(2)-<k<2^-2<k<-—

22

解析：(1)1M|+归国=4.r.2a=4,，a=2

a2=b2+c\

£=_^,解得：b2=1

依题得

a2

a=2.

椭圆C的方程为三+丁=1.

4'

⑵由已知动直线丫=米-2与椭圆C相交于M、N,

y=kx-2

联立1/,得：(1+4好》2-16日+12=0

—+V=1

I4

△=(-16"-4x12x0+4〃)>0

解得：即：k>昱或k〈-立

422

16及12

历+工2=■^而

1+4公

.坐标原点。总在以MN为直径的圆外

•，•OMON>b

2)

则：0M.ON=X/2+y必=中2+(3-2)(心-2)5=(+k^xyx2-%(卑+X2+>

即(1+日上^2酸g+4>。将(*)代入此式'

1+4/1+4公

解得：/_4<0,即-2<攵<2

k>昱或k<--

22

:.-<k<2^.-2<k<-—

22

已知椭圆C:5■+£■=

变式训练1：①>6>0),以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积

为8的正方形，斜率为&的直线/经过点M(0，D,与椭圆C交于不同两点A、B.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求z的取值范围.

r221

【答案】（1）3+牛v=1；（2）（-85）

848

解析：（1）依题意作图如下：

a=y/2b=\f2c>a2=8,Z>2=c2=4,

22

椭圆的方程为：二+二=1;

84

⑵设Aa,%)、B(x2,y2),先假设直线1的斜率k存在，则直线/的

方程为丫=履+1,

联立椭圆与直线1的方程：

-2。

£121=1

<84",解得(1+2公+4日—6=。，

y=kx-v\

由于尸（2,0）,A（XQJ,B（x2,y2）,AF=（2f,-y）,8尸=（2-吃,一%）,

点F在圆内，故AA"<0,即(%一2)(々-2)+>访<0,(1+/>丁=1+(A-2卜丁*+5<0,解得：％<:；

1十乙K1十乙KO

若k不存在，则直线1与椭圆的交点为(0,2),(0,-2),

此时圆的半径为2,点F在圆周上，不满足要求，所以女

故答案为：^-+^-=1,1-8,t).

变式训练2：已知椭圆C：/+3/=3,点”，"分别为椭圆的左、右焦点.

(1)求椭圆c的短轴长和点「，K的坐标;

(2)设尸(%,先)为椭圆c上一点，且在第一象限内，直线行P与y轴相交于点Q