高等数学第10章 无穷级数PPT

高等数学（第3版）下册目录CONTENTS第10章无穷级数第1节第2节第3节第4节常数项级数的概念和性质常数项级数的审敛法幂级数函数展开成幂级数第5节傅里叶级数第1节常数项级数的概念和性质01一、常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质一、常数项级数的概念

引例圆的面积问题.依次作圆内接正边形,这个和越近似于圆的面积S.设a1

表示即内接正六边形面积,ak

表示边数增加时增加的面积,如此继续进行n次，定义1设给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第

n

项称为级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.次相加,简记为如果{sn}没有极限，则称无穷级数发散，这时级数没有和．当级数收敛时，其部分和sn是级数和s的近似值，称rn＝s－sn＝un+1＋un+2＋…＋un＋k＋…为级数

的余项．则称无穷级数收敛，s称为级数的和，记作如果级数

的部分和数列{sn}有极限s，即定义2讨论公比为q

的等比级数(又称几何级数)的敛散性.解:

若因而等比级数收敛,因而则部分和这时等比级数发散.其和为例10.1.3若因此等比级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,这时等比级数发散.二、收敛级数的基本性质性质1

如果级数收敛于和s,则各项乘以常数

k

所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,且和为ks.

说明:级数的每一项同乘一个非零常数后，它的敛散性不会改变.即其和为ks.性质2

设有两个收敛级数则级数必收敛,且其和为证:

令则这说明级数也收敛,其和为说明：两个收敛级数逐项相加(相减)所得级数仍收敛．性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不改变级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.极限状况相同,故新旧两级所得新级数性质4如果级数收敛，则对这个级数的各项间任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变．证:

设级数

前n项的部分和为sn，加括号所成的级数前k项部分和为Ak，则注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.例如，数列{Ak}是数列{sn}的一个子数列．由数列{sn}的收敛性以及收敛数列与其子数列的关系可知，数列{Ak}必定收敛，且有(1)若级数

收敛，

发散，则必定发散．(2)若级数

发散，

也发散，则不一定发散．(3)若级数发散，则级数

与不一定都发散．(4)若加括号之后的级数发散，则原级数必定发散．(5)如果级数的各项都大于零，且按某规律加括号后所得的级数收敛，则去括号后所得的级数也收敛．(6)若级数

发散，则添括号后所得的新级数不一定发散．如果级数

收敛，则必有证:

可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于零,因此这个级数发散.性质5

(级数收敛的必要条件)注意:并非级数收敛的充分条件.对调和级数虽然但此级数发散.事实上

,假设调和级数收敛于s,则但矛盾!所以假设不真.例10.1.4作业P1651；2(2),(4)；3(3),(4)；

4(2),(4);5(2),(3);1.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为备用例题2.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.第2节常数项级数的审敛法02一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、牛顿–莱布尼茨公式一、正项级数及其审敛法若定理1

正项级数收敛部分和数列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”则收敛,定理2(比较审敛法)设且(1)如果级数则级数(2)如果级数则级数收敛,也收敛;发散,也发散.都是正项级数,(n＝1,2，…).证：(1)由定理1可知，当级数

收敛时，其部分和数列必有界，于是有M>0，使得又un≤vn(n＝1,2，…)，故因而级数

的部分和数列有界，级数收敛．则级数

必发散．(2)若级数发散,推论设(1)如果级数则级数(2)如果级数则级数收敛,也收敛;发散,也发散.都是正项级数,并且un≤kvn

(k>0，n≥N，N为某一自然数).讨论p-

级数的敛散性，其中常数p>0.解:

当因为对一切又调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,例10.2.3因为当故考虑强级数的部分和故级数收敛,由比较审敛法知

p

级数收敛.时,

当判定级数的敛散性.解:

因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例10.2.4定理3(比较审敛法的极限形式)则有(2)当

l=+∞

证:(1)由极限定义,对设两正项级数满足(1)当0≤l<+∞,而级数收敛，根据比较审敛法的推论，知级数

收敛.(2)按已知条件存在，如果级数

收敛，则由结论(1)必有

收敛，但已知级数

发散，因此级数

不可能收敛，即级数

发散．～判定级数的敛散性.

解:

根据比较审敛法的极限形式知例10.2.5定理4

比值审敛法(D’Alembert判别法)设为正项级数(un>0),且则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知(3)当时,级数可能收敛也可能发散．因此所以级数发散.时(2)当(3)

当时,级数可能收敛也可能发散.例如,

p–级数但级数收敛;级数发散.从而判别级数的敛散性.解:

所以根据比值审敛法知，所给级数发散．例10.2.7定理5(根值审敛法,柯西判别法)设为正项则(3)当ρ＝1时级数可能收敛也可能发散．级数,且解:

根据根值审敛法知，所给级数发散．判别级数

的敛散性．例10.2.9二、交错级数及其审敛法

则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6(莱布尼茨判别法)

若交错级数满足如下条件:则级数收敛,且其和其余项满足证:

是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故收敛收敛用莱布尼茨判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛

定义:

对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,数为条件收敛.为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛

.则称原级定理7

绝对收敛的级数必收敛.证:

设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令判定级数的敛散性.解：由可知当n→∞时，|un|不趋于零，即un也不趋于零，故所给级数发散．例10.2.132.判别正项级数敛散性的方法与步骤必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限内容小结3.任意项级数审敛法为收敛级数莱布尼茨判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.思考与练习作业P1751(1),(3),(5);2(1),(4);3(2),(4);4(2),(4),(6);5(1),(3),(5)备用例题1.

判别级数的敛散性:解:

(1)发散,故原级数发散.不是p–级数(2)发散,故原级数发散.第3节幂级数03一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的(函数项)级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域

;若常数项级数是定义在区间I上的函数列,收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域

.为级数的和函数

,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n

项部分和,即在收敛域上,函数项级数的和是

x

的函数称它考察级数解它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数的收敛域和发散域．例10.3.1二、幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数

.即是此种情形.的情形,即称收敛发散定理1(阿贝尔定理)如果幂级数则对满足不等式的任何x

幂级数都绝对收敛.反之,若当的任何x

,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:

设收敛,则必有于是存在常数M>0,使发散发散收

敛当

时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.

时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,(1)当|x|<R时，幂级数绝对收敛；

推论如果幂级数

不仅在x＝0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必存在一个完全确定的正数R，它具有这样的性质：(2)当|x|>R时，幂级数发散；(3)当x＝R与x＝－R时，幂级数可能收敛也可能发散.幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R

表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=+

时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.发散发散收敛收敛发散定理2若的相邻系数满足证:(1)若0<l<＋∞,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,(1)当0<l<＋∞时,(2)当l＝0时,(3)当l＝+∞时,即时,则(2)若则根据比值审敛法可知,级数绝对收敛,(3)若则对除去x=0以外的一切x原级对任意

x原因此因此因此级数的收敛半径数发散,

对端点

x=－1,

的收敛半径与收敛域.解:因对端点x=1,收敛;

级数为发散.因此，收敛域是求幂级数

级数为交错级数例10.3.2求幂级数的收敛半径(记号0!＝1).解:所以收敛半径R＝0，即幂级数仅在x＝0处收敛．例10.3.4求幂级数的收敛域.解:

令级数变为当y=5

时,级数为此级数发散;当y=–5时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为例10.3.6三、幂级数的运算性质1

设有两幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.性质2幂级数

的和函数s(x)在收敛域I上连续．性质3幂级数

的和函数s(x)在其收敛区间(－R，R)内可导，并且有逐项求导公式即求导运算与求和运算可互换次序．性质4

幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积，且有逐项积分公式即积分运算与求和运算可互换次序．求幂级数的和函数.解:

易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,x=1时级数发散,例10.3.7因此由和函数的连续性得:而x=0时级数收敛于1,及1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.内容小结2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.3.求和函数的常用方法—利用幂级数的性质作业P1841(2),(4),(6)2(3),(4)阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,1.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,故直接由比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为备用例题解:

级数的收敛半径R＝+∞.2.则故有故得的和函数.因此得设3.解:

设则而故第4节函数展开成幂级数04一、泰勒级数二、函数展开成幂级数三、函数的幂级数展开式的应用一、泰勒级数

其中(

在

x

与x0

之间)称为拉格朗日余项.则在复习:

f(x)的n

阶泰勒公式若函数的某邻域内具有n+1阶导数,该邻域内有:为f(x)

的泰勒级数.则称当x0

=0

时,泰勒级数又称为麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,定理1各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式余项满足:证明:令设函数

f(x)在点x0的某一邻域内具有定理2如果f(x)能展开成x

的幂级数,且与它的麦克劳林级数相同.证:

设f(x)所展开成的幂级数为则显然结论成立.则这种展开式是唯一的,二、函数展开成幂级数

1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求出f(x)的各阶导数;第二步求函数及其各阶导数在x＝0处的值;第四步判别在收敛区间(－R,R)内是否为0.骤如下:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式的函数展开第三步写出幂级数，并求出收敛半径R.将函数展开成x

的幂级数.解:

其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足故(

在0与x之间)故得级数例10.4.1将函数展开成x

的幂级数.解:

得级数:其收敛半径为对任何有限数

x,其余项满足例10.4.22.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,将函数展开成x

的幂级数.解:

因为把x

换成,得将所给函数展开成幂级数.例10.4.4将函数展开成x

的幂级数.解:从0到x

积分,得定义且连续,域为利用此题可得上式右端的幂级数在x

＝1

收敛,所以展开式对x

＝1也是成立的,于是收敛例10.4.5将函数展开成x

的幂级数,其中m为任意常数.解:

易求出于是得级数由于级数在开区间(－1,1)内收敛.因此对任意常数m,例10.4.6推导则为避免研究余项,设此级数的和函数为称为二项展开式

.说明：(1)在x＝±1

处的收敛性与m

有关.(2)当m为正整数时,级数为x

的m

次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.由此得对应的二项展开式分别为附注例10.4.6将函数展开成解:

的幂级数.例10.4.8三、函数的幂级数展开式的应用

1.利用函数的幂级数展开式进行近似计算解:

因为计算的近似值，要求误差不超过0.0001.这个级数收敛很快，取前两项的和作为的近似值，其误差(也叫做截断误差)为例10.4.11为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10－4，计算时应取5位小数，然后再四舍五入，得2.利用级数计算积分

解:

我们知道e－x2的原函数不是初等函数，不能用前面的积分法求出，但可以利用幂级数展开式来求.求函数e－x2的原函数．e－x2的原函数为：例10.4.133.欧拉公式的证明复数项级数，其中un，vn(n＝1,2，…)为实常数或实函数．复数项级数的各项的实部组成的级数收敛，其和为u，各项的虚部组成的级数

收敛，其和为v，则称该复数项级数收敛，且其和为u＋iv.若

z＝x＋iy，其中x，y为实数．通常定义当

x＝0时，有z＝iy，因此由于

i2＝－1，上式可化为这就是欧拉公式．欧拉公式的另一形式：1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.内容小结当m=–1时作业P1941(2),(4),(6);3;4;5(2),(3);6(2);备用例题1.将下列函数展开成x

的幂级数解:x1时,此级数条件收敛,因此2.

将在x=0处展为幂级数.解:因此第5节傅里叶级数05一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数二、周期为2l的周期函数的傅里叶级数简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,φ为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.一、以2π为周期的函数展开成傅里叶级数组成三角级数的函数系：证:同理可证:正交

,上的积分等于零.即其中任意两个不同的函数之积在1.三角级数及三角函数系的正交性上的积分不等于零.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在设f(x)是周期为2的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有证:

由定理条件,①②对①在逐项积分,得2.函数f(x)的傅里叶级数(利用正交性)类似地,用sinkx

乘①式两边,再逐项积分可得叶系数为系数的三角级数①称为的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里的傅里叶级数.称为函数

推论

(1)当f(x)是周期为2π的奇函数时，它的傅里叶级数为正弦级数

，其中系数(2)当f(x)是周期为2π的偶函数时，它的傅里叶级数为余弦级数

其中系数定理1(收敛定理)设函数

f(x)是周期为2的周期函数,如果它满足狄利克雷(Dirichlet)条件：在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且

x

为间断点其中为f(x)

的傅里叶系数

.

x

为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.3.傅里叶级数的收敛性设

矩形波的波形函数f(x)是周期为2的周期函数,

它在上的表达式为解:

先求傅里叶系数将f(x)展开成傅里叶级数.例10.5.11)

根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明:f(x)的情况见右图.设函数f(x)定义在区间[－π,π]上并且满足收敛定理的条件，我们可以在[－π，π)或(－π，π]外补充函数f(x)的定义，使它拓广成周期为2π的周期函数F(x)．按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓．4.定义在[－π,π]或[0,π]上的函数展开成傅里叶级数设函数f(x)定义在区间[0,π]上并且满足收敛定理的条件，我们在开区间(－π，0)内补充函数f(x)的定义，得到定义在(－π，π]上的函数F(x)，使它在(－π，π)上成为奇函数(偶函数)．按这种方式拓广函数定义域的过