电工学及答案

第四章正弦交流电路

当电路中的激励(电源)为正弦量时，电路中各部分的响应(电压或电流)也为正弦量，这样的电路就是正弦交流电路。交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生器所输出信号电压都是随时间按正弦规律变化的。因此，正弦交流电路是电工学中很重要的部分。4.1正弦电压与电流

（统称正弦量）前三章所讨论的都是直流电路，其中的电流和电压的大小和方向都是不随时间变化的。0I,Ut正弦电压和电流都是按正弦规律周期性随时间变化的，其波形图可用正弦曲线来表示：0i,ut+_

图中：“+”表示电流(或电压)为正值，称为正半周，电流(或电压)的实际方向与参考方向一致；“–”表示电流(或电压)为负值，称为负半周，电流(或电压)的实际方向与参考方向相反。0i,ut+_uiR正半周uiR负半周正弦量的三要素i特征三角函数式：波形图：三要素变化的快慢大小初始值频率（或周期）幅值初相位1.周期

T：变化一周所需的时间

单位：秒（S）一、周期、频率、角频率(表示变化快慢)3.角频率

ω：每秒变化的弧度

单位：弧度/秒(rad/s)2.频率

f：每秒变化的次数

单位：赫兹(Hz)iT“工频”：f=50Hz,T=0.02s，二、瞬时值、最大值、有效值(表示变化大小)1.瞬时值：正弦量在任一瞬间的值。用小写字母表示，如：3.有效值：

2.最大值(幅值)：瞬时值中最大的数值。用大写字母并带下标m表示，如：Um、Im、Em一般所讲的正弦电压或电流的大小，例如交流电压380V或220V,都是指它的有效值。一般交流电压表和电流表的刻度也是根据有效值来定的。则有（方均根值）可得当

时，交流直流热效应相当有效值电量必须大写，如：U、I有效值概念交流电流

i通过电阻R在一个周期T内产生的热量与一直流电流I通过同一电阻在同一时间T内产生的热量相等，则称I的数值为i的有效值瞬时值i可写为：瞬时值u可写为：同理:2mUU=，可得可得当

时，问题与讨论

电器~220V最高耐压

=300V

若购得一台耐压为

300V的电器，是否可用于

220V的线路上?

该电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以不能用。有效值

U=220V最大值

Um

=220V=311V电源电压：t=0

时的相位，称为初相位角或初相位。说明：

给出了观察正弦量的起点或参考点，常用于描述多个正弦量彼此之间的相位关系。i：正弦量的相位角或相位三、相位、初相位、相位差(表示变化进程)()()2121

jjjwjwj-=+-+=tt

两个同频率正弦量间的相位差(即初相位之差)

t>0=0<0的相位差：与两个同频率正弦量之间的相位关系同相位超前于相位超前相位差为0与同相位滞后于相位滞后21

jjj-=90-（-90

）=180=如果相位差为+180或-180,称两者反相例:()()2211

sin

sinw90w-=+

=tIitIimm90求相位差例有效值：频率：初相位：已知：A求有效值、频率、初相位。结论:

因角频率（）不变，所以以下讨论同频率正弦波时，可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。幅度、相位变化频率不变三角函数式表示相量图表示相量式表示必须小写前两种不便于运算，本节重点介绍相量表示法。波形图表示i4.2

正弦量的相量表示法

I正弦量的相量表示法矢量长度

=矢量与横轴夹角

=

初相位ω矢量以角速度

按逆时针方向旋转ω正弦量的相量表示法正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数表示，所以正弦量可用复数表示。ω正弦量在某时刻的瞬时值可以由旋转有向线段在该瞬时在纵轴上的投影值来表示。有向线段的复数表示1.代数形式（直角坐标形式）ab+12.三角形式jjsincosjrr+=A3.指数形式4.极坐标形式欧拉公式ab+1欧拉公式j=erj

指数式

极坐标形式

jj+=+=jrjbaA)sin(cosab+1代数式三角形式前面回顾了有向线段的复数表示，有上述四种复数式。如果用复数来表示正弦量的话，则复数的模即为正弦量的幅值或有效值，复数的辐角即为正弦量的初相位。为了与一般的复数加以区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打“.”如：例如

用复数表示正弦电压或幅值相量有效值相量实际应用中，更多采用有效值相量由于在分析线性电路时，正弦激励和响应均为同频率的正弦量，频率是已知的或特定的，可不必考虑，只要求出正弦量的幅值（或有效值）和初相位即可。按照各个正弦量的大小和相位关系，用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。正弦量的相量图表示举例例：将u1、u2

用相量图表示

相位：幅度：相量大小设：U1U2相位哪一个超前？哪一个滞后？U2U1超前相量图能形象地表示出各个正弦量的大小和相互间的相位关系。注意：1.只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。2.只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。3.表示正弦量的相量有两种形式：相量图和相量式（复数式）相量的复数运算1.复数加、减运算222111jbaUjbaU+=+=设：jjUebbjaaUUU=±+±=±=)()(212121则：相量在进行加减运算时，应采用代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。2.复数乘、除法运算)(212121jj+==jeAAAAA乘法：212211jjjjeAAeAA==设：()212121jj-=jeAAAA除法：相量在进行乘除运算时，宜采用指数式或极坐标式，模与模相乘除，辐角与辐角相加减。±j称为90°旋转因子乘以+j使相量逆时针转90°乘以-j使相量顺时针转90°=±o90eAjA)(j±说明：设：任一相量则：例：已知相量，求相量设a、b为正实数jjeUjbaU=+=在第一象限在第四象限jjeUjbaU=-=jjeUjbaU=+-=在第二象限jjeUjbaU=--=在第三象限在一、二象限，一般取值：在三、四象限，一般取值：+1U11=60°2=120°U2U33=-120°计算相量的相位角时，要注意所在象限。如：43jU--=43jU+-=43jU-=43jU+=例：复数表示法应用举例例1:已知瞬时值，求相量表示。已知:

求：

i

、u

的相量式及相量图表示解：

IU

IU超前相位哪一个超前？哪一个滞后？已知相量图表示：例：

写出其相量式并画出相量图。

求：例2：已知相量，求瞬时值。解：已知两个频率都为

1000Hz的正弦电流其相量式为：波形图三角函数式相量图相量式小结：正弦量的四种表示法U

Tu例4.2.1图示电路，设试求总电流i。解ii1i2本题可用几种方法求解计算。1.用三角函数式求解两个同频率正弦量相加仍得到一个同频率的正弦量，设此正弦量为ii1i2则因此，总电流i

的幅值为总电流i

的初相位为代入数据I1m=100A,I2m=60A,1=45,2=–30,则故得2.用正弦波形求解100sin(t+45)60sin(t–30)129sin(t–18.3)0it纵坐标相加6030o10045o12918o20’3.用相量图求解4.用相量式（复数式）求解可见：三角函数式进行计算，非常繁琐。但三角函数式是正弦量的基本表示法。正弦波形形象，但作图不便，且结果不准确。相量图法比较简便，是分析正弦量的常用方法。相量式可以把正弦量用复数表示，把三角函数的运算变换为代数运算，并能同时计算出正弦量的大小和相位，是分析正弦交流电路的主要运算方法。符号说明瞬时值

---小写u