2023年长沙市长郡高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直三棱柱ABC—A8C中，CA=CC、=2CB,ACVBC,则直线BQ与A4所成的角的余弦值为()

A石n6r275八3

A.——B.-----C.-----D.一

5355

2.设复数二满足|z-3|=2,z在复平面内对应的点为则M不可能为()

A.(2,aB.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

3.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为()

［开始］

［伍1］

A.1B.2C.3D.4

八，、［a,a.,b

4.已知函数/(x)=2tanGyxXey>0)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为万，若定义max｛兄耳=。々。

(7T3乃)

则函数〃(x)=max｛/(x),/(x)cosx｝在区间匕方)内的图象是()

5.已知定点A,8都在平面a内，定点尸史a,。是a内异于A3的动点，且PC_LAC,那么动点C在平面

a内的轨迹是()

A.圆，但要去掉两个点B.椭圆，但要去掉两个点

C.双曲线，但要去掉两个点D.抛物线，但要去掉两个点

6.设函数/(x),g(x)的定义域都为R,且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()

A./(x)-g(x)是偶函数B.|/(x»g(x)是奇函数

C..|g(x)|是奇函数D.是奇函数

7,若a>b>0,0<c<l,则

ccab

A.Ioguc<logbcB.logca<logcbC.a<bD.c>c

Q

8.已知｛a,,｝为正项等比数列，S“是它的前〃项和，若q=16,且应与%的等差中项为6，则其的值是()

O

A.29B.30C.31D.32

9.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业

的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是()

我国新闻出版产业和数字出版业营收增长情况

□数字出版业营业收入(亿元)

□新同出版业营业收入(亿元)

A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加

B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍

C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍

D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一

10.已知函数/(x)=lnx,g(x)=(2〃?+3)x+〃，若Vxe(0,+oo)总有〃x)Wg(x)恒成立.记(2〃z+3)”的最小

值为尸(/〃,〃)，则/(/%〃)的最大值为()

111

A.1B.-C.-rD.—

eee'

log〃x+a,x>0/、/、

11.已知a>()且a/1,函数/(x)=,,r<0-若仆)=3,贝4(一。)=()

J—1,Xsu

228

A.2B.-C.——D.——

339

12.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几

何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数，〃后的余数为〃，则记为N=”(modm),例如

U=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的"等于().

A.21B.22C.23D.24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(2X—')6的展开式中常数项是.

x

k

14.圆心在曲线y=：(x>O,k>。)上的圆中，存在与直线2x+y+1=()相切且面积为5兀的圆，则当上取最大值时，

该圆的标准方程为.

15.“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈.”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2

天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月(按30天计算)共织布390尺.”则每天

增加的数量为一尺，设该女子一个月中第“天所织布的尺数为七,则％4+《5+46+《7=

16.一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2023年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从

速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为

得到如图所示的频率分布直方图:

（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列2x2列联表补充完整，并判断能否在犯

错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？

擅长不擅长合计

男性30

女性50

合计100

P(K2>k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-be，

其中〃=a+h+c+4)

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

18.(12分)在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，NBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

的中点.

(1)证明：PO//平面A£C；

(2)设尸是线段。C上的动点，当点E到平面24尸距离最大时，求三棱锥P-AFE的体积.

19.(12分)某精密仪器生产车间每天生产〃个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合

格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布

M10,0.12)(单位：微米，〃?)，且相互独立.若零件的长度d满足9.7〃m则认为该零件是合格的，

否则该零件不合格.

(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X,求尸(X22)及X的数学期望EX；

(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一

个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设〃充分大，为了使损失尽量小，小张是

否需要检查其余所有零件，试说明理由.

附：若随机变量自服从正态分布则

-3b<自<〃+3<T)=0.9987,0.998750=0.9370,0.998749x0.0013=0.0012.

X=I+V2COS(p

20.(12分)在直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为(。为参数)，以原点为极点，工轴的非负

y=l+>/2sin/

半轴为极轴建立极坐标系，射线4的极坐标方程为。射线/，的极坐标方程为。=。+工.

Vf>Oy2

(I)写出曲线。的极坐标方程，并指出是何种曲线；

(II)若射线4与曲线C交于O、A两点，射线4与曲线。交于。、8两点，求AAH9面积的取值范围.

2

21.(12分)设函数/(X)=\x-a\+\x+-\(a>0).

a

2

(1)若不等式/(x)-|x+—|%x的解集为{“降1},求实数a的值；

a

(2)证明：/(x)>272.

/、x=tcosa

22.(10分)在平面直角坐标系中，点直线/的参数方程为《.。为参数)，以坐标原点为

[y=-i+tsina

极点，以工轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为。+pcos26=8s%e.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线C相交于不同的两点A,B,M是线段A3的中点，当1PMi=与时，求si总的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【解析】

设C4=CC|=2CB=2,延长A至。，使得连BD,CQ,可证4V/BO,得到NC/。（或补角）

为所求的角，分别求出BG，Ag，C。，解AGB。即可.

【详解】

设CA=CG=2C8=2,延长A4至。，使得4瓦=4。，

连8D,CQ,在直三棱柱ABC-44G中，AB//AlBi,AB=AtBt,

AB//B,D,AB=B、D,四边形A8O4为平行四边形，

:.ABJIBD,:.NC\BD（或补角）为直线与A用所成的角,

在RfABCq中,Be】ZcCj+BC?=小,

2

在m△A4cl中，A4={A]C：+B]C：=d,cosNB[4G=7r

在中,

C,D2^C,2+A,D2-2^0,-A,DcosZB^C,=4+20—16=8,

2523

在中，AB,=7M+AI=-'-BD=AB]=3,

8G2+B£)2—CQ25+9-8石

在△8C[£)中,cosZCjBD=

2BC~BD—66―T

故选：A.

【点睛】

本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.

2.D

【解析】

依题意，设z=a+4,由|z-3|=2,得（。-3）2+〃=4,再一一验证.

【详解】

^z=a+bi,

因为|z-3|=2,

所以（。一3）2+/=4,

经验证M（4,1）不满足，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.

3.C

【解析】

试题分析：根据题意，当了«2时，令/一1=3,得％=±2；当x>2时，令1。82%=3,得

x=9,故输入的实数x值的个数为1.

考点：程序框图.

4.A

【解析】

71

由题知/（x）=2tan（5）3>0）,利用了=时求出。，再根据题给定义，化简求出入⑴的解析式，结合正弦函数和

正切函数图象判断，即可得出答案.

【详解】

根据题意，f(x)=2tan(0x)(0>0)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为兀,

所以/(x)=2tan(s)((y>0)的周期为万，则。=1=&=1,

2sinx,xe

所以〃(x)=max{2tanx,2sinx}=

3%

由正弦函数和正切函数图象可知A正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.

5.A

【解析】

根据题意可得AC_L3C,即知C在以AB为直径的圆上.

【详解】

,/PBLa,ACua>

:.PB±AC,

又尸C_LAC,PBcPC=P,

AC±平面PBC,又8Cu平面PBC

ACIBC,

故。在以AB为直径的圆上，

又C是戊内异于A,B的动点，

所以C的轨迹是圆，但要去掉两个点A,3

故选：A

【点睛】

本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.

6.C

【解析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论.

【详解】

解：•♦•/(X)是奇函数，g(x)是偶函数,

/(-x)=-/(X),g(-x)=g(x),

/(-x).g(-x)=-/(x)・g(x),故函数是奇函数，故A错误，

|/(-x)|.g(-x)=|f(x)同(x)为偶函数，故B错误，

/(-x)4g(—x)|=-/(x)dg(x)I是奇函数，故C正确.

"(—x).g(—x)H/(x).g(x)|为偶函数,故。错误，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.

7.B

【解析】

试题分析：对于选项A,logac=-^,logbc=-^1,VO<C<1,.•.lgc<0,而a>b>0,所以lga>lgZ?,但不

Igaigb

能确定lga、lgb的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B,log,.。=丝,log,匕=默，Iga>Igb,两边同乘以

IgeIge

一个负数J一改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C,利用y=x,在第一象限内是增函数即可得到优〉加，

所以C错误;对于选项D,利用y=c'在R上为减函数易得c“<cJ所以D错误.所以本题选B.

【考点】指数函数与对数函数的性质

【名师点睛】比较幕或对数值的大小,若塞的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比

较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.

8.B

【解析】

设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计

算即可得到所求.

【详解】

设正项等比数列的公比为q,

则a4=16q3,a?=16q6,

9

a』与a7的等差中项为w，

o

9

即有34+a7=-，

4

9

BP16q3+16q6,=-,

4

解得q=g（负值舍去），

付q（l-0164一；）

则有s$=」_LL=——、7"=1.

…1-1

2

故选C.

【点睛】

本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题.

9.C

【解析】

通过图表所给数据，逐个选项验证.

【详解】

根据图示数据可知选项A正确;对于选项B：1935.5x2=3871<5720.9，正确;对于选项C：16635.3x1.5>23595.8,

故C不正确；对于选项D：23595.8x1®7865>5720.9,正确.选C.

3

【点睛】

本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.

10.C

【解析】

根据VxG（O,-HX））总有/（x）<g（x）恒成立可构造函数/?（x）=Inx-（2m+3）x-〃,求导后分情况讨论〃（x）的最大

值可得最大值最大值h|J二]=一In（2〃?+3）-1-“，

即一In（2加+3）-1一〃W0.根据题意化简可得（2〃?+3）“N（2机+3）[-In（2加+3）-1],求得

打〃?,〃）=（2加+3）[-111（2m+3）-1],再换元求导分析最大值即可.

【详解】

由题，VXG（0,+OO）总有lnx<（2m+3）x+n即lnx-（2加+3）x-“40恒成立.

设/?（x）=lnx-（2H?+3）X-〃,则〃（x）的最大值小于等于0.

又〃<x）=J__（2根+3）,

若2m+3W0则〃'（x）＞0,〃（x）在（0,+“）上单调递增，h［x｝无最大值.

若2根+3＞0,则当》＞易看时,"（x）＜0,〃（x）在［立g，+°°］上单调递减，

当0＜x＜金与时，〃'（%）＞°，&（可在上单调递增.

故在人上处〃⑴取得最大值〃（备卜0焉-〜=-叭2加+3）-1-〃.

故一In（2帆+3）—1一〃＜（）,化简得（2m+3）〃2（2m+3）［-ln（2a+3）-l］.

故77（加,〃）=（2徵+3）［-111（2m+3）-1］,令.=2机+3,（，＞（））,可令％（，）=-，111/1+1）,

故K（f）=-Inf-2,当时，K⑺＜（）/（/）在仪，引递减；

当0＜,＜5时，攵'（。＞0,«）在递增.

故在f=4•处〃（f）取得极大值，为人［；）=一~Vf111!+1］=!.

e\^e）ee）e

故网机〃）的最大值为J.

故选：c

【点睛】

本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题，需要根据题意分析导数中参数的范围，再分析函数的最值，进而求导构造

函数求解（2〃?+3）〃的最大值.属于难题.

11.C

【解析】

根据分段函数的解析式，知当xWO时，/（》）=3日一1,且〃x）＜3,由于“。）=3,则/（a）=log"+a=3,即

可求出a.

【详解】

由题意知：

当xKO时，/（x）=3x+1-l,ja/（x）＜3

由于/（。）=3,则可知：。＞。，

贝jl/(a)=log/+a=3,

・'・a=2,贝！J-。=-2,

?

贝！1/(-。)=/(-2)=3--=-

,2

即/(-«)=---

故选：C.

【点睛】

本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.

12.C

【解析】

从21开始，输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.-160

【解析】

试题分析：常数项为7；=低(2幻3(一_1)3=-160.

X

考点：二项展开式系数问题.

14.(1)2+(>-2)2=5

【解析】

由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可

得攵的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程.

【详解】

设圆的半径为「，由题意可得万r=5万，所以「=行，

k

由题意设圆心c(。,一)，由题意可得。>o,

a

k

由直线与圆相切可得+仁,所以|2。+&+1|=5,

3"a

kIki—

而左>0,a>0,所以5=2a+-+122j2a•—+1,即22疡，解得A<2,

ava

所以人的最大值为2,当且仅当2a=&时取等号，可得。=1,

所以圆心坐标为：(1,2),半径为正,

所以圆的标准方程为：(x—l>+(y—2)2=5.

故答案为：(x—l)2+(y—2)2=5.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运

算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件.

15.—52

29

【解析】

设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布,由等差数列前〃项和公式求出d=会,由此利用等差数列通项公式能求出

%4+"15+"[6+"17•

【详解】

设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，

30x29

贝!ISo=30x5+—^4=390,

解得d=II，即每天增加的数量为',

。]4+《5+46+47=4+13d+q+14d+4+15d+q+16d

=4。I+58d

=4x5+58x—=52,故答案为一，52.

2929

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的求和公式，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.

“27兀

16.

4

【解析】

一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均

等于长方体的体对角线的长，长方体的体对角线的长为炉不覆=3，所以容器体积的最小值为兀x(|>x3=等.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)机=0.025(2)填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系

【解析】

(1)利用频率分布直方图小长方形的面积和为1列方程，解方程求得加的值.

(2)根据表格数据填写2x2列联表，计算出K?的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰

上运动与性别有关系.

【详解】

(1)由题意(0.005x2+0.015+0.02+机+0.03)x10=1,解得m=0.025.

(2)由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为(0.025+0.003)x10x100=30.

完善列联表如下：

擅长不擅长合计

男性203050

女性104050

合计3070100

2_n(ad-bc)2100x(800-300)2…。

K一=-----------------x4.762,

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)50x50x30x70

对照表格可知，4.762<6.635,

不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.

【点睛】

本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查2x2列联表独立性检验，属于基础题.

18.(1)见解析(2)旦

3

【解析】

(1)连接与AC交于。，连接OE,证明PD//OE即可得证线面平行；

(2)首先证明Q4,平面ABC。(只要取中点/，可证平面从而得B4_L3C,同理得Q4J.CO),

因此点3到直线A/的距离即为点8到平面抬尸的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积.

【详解】

(1)证明：连接DB与A。交于。，连接OE,

因为A5CD是菱形，所以。为DB的中点，

又因为£为PB的中点，

所以PD//OE,

因为PD(Z平面AEC,OEu平面AEC,

所以P£>//平面AEC.

(2)解：取3c中点M，连接AM,PM,

因为四边形ABC。是菱形，ZBAD=nO°,且PC=PB,

所以又AA/nPM=M，

所以8C_L平面APM，又APu平面APM，

所以BCJ.B4.

同理可证：DCA.PA,又8Cnr»C=C,

所以平面A8CD,

所以平面市JL平面ABCD,

又平面BAEc平面4BCD=AF,

所以点B到直线AF的距离即为点B到平面PAF的距离，

过3作直线AF■的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB=2,

因为E为的中点，故点E到平面位的最大距离为1,

此时，尸为OC的中点，即AF=百，

所以S△.”=gPA.AF=；x2x0=百，

所以VfF£=VE-PAF=；X6x1=半•

【点睛】

本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，掌握面面垂直与线面垂直的判定与性质是解题关键.

19.(1)见解析(2)需要，见解析

【解析】

(1)由零件的长度服从正态分布N(10,0.12)且相互独立，零件的长度d满足9.7〃m<d<\0.3/zm即为合格，则每一个

零件的长度合格的概率为0.9987,X满足二项分布，利用补集的思想求得P(X>2)，再根据公式求得EX；

2

(2)由题可得不合格率为否,检查的成本为10〃,求出不检查时损失的期望，与成本作差，再与0比较大小即可判断.

【详解】

(1)P(X2)=1-P(X=1)-P(X=0)=1-QQ1-0.998749().0013-0.998750=0.003,

由于X满足二项分布，故EX=0.0013x50=0.065.

2

(2)由题意可知不合格率为前，

252

若不检查,损失的期望为£(r)=260xnx--20=yn-20；

522

若检查，成本为10”,由于E(y)-10〃=1〃-20—10〃=g〃-20,

2

当〃充分大时,E(y)—=—20>0,

所以为了使损失尽量小，小张需要检查其余所有零件.

【点睛】

本题考查正态分布的应用，考查二项分布的期望,考查补集思想的应用，考查分析能力与数据处理能力.

20.(I)r=2cosq+2sinq,曲线C是以(1,1)为圆心，0为半径的圆；(II)[1,2].

【解析】

(I)由曲线C的参数方程能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线。的极坐标方程.

(II)令夕I=|Q4|=2cosa+2sina,p2=|O5|=2cos^a+^+2sin^a+y^,则晨m=；月P2，利用诱导公

式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围；

【详解】

X=1+及COSQ,、2,、2

解：(1)由(9为参数)化为普通方程为(％-1)~+。-1)~=2

y=l+vr2sin^

(pcos6—l『+(psin6^-l)2=2,整理得r=2cos”2sin4

曲线C是以(U)为圆心，0为半径的圆.

(II)令夕]=2cosa+2sina