2021年湖南省岳阳市汨罗红花乡露水坡中学高二数学理期末试题含解析

2021年湖南省岳阳市汨罗红花乡露水坡中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（

）A.（）

B.（）

C.（）D.（）参考答案：D略2.已知直线的倾斜角，则其斜率的值为( )A. B. C． D．参考答案：B略3.圆，圆，若圆与两圆均外切，则圆心的轨迹是A.双曲线的一支

B.一条直线

C.椭圆

D.双曲线参考答案：A4.已知方程有实根b,且z＝a＋bi，则复数z=（

）A.2－2i

B.2＋2i

C.－2＋2i

D.－2－2i参考答案：A略5.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图

与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：A略6.p：x＞1，q：x＞0，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p，q的x的范围，结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：p：x＞1，q：x＞0，则p?q，当q推不出p，故p是q的充分不必要条件，故选：A7.已知函数则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B8.等差数列{an}的前项和为Sn，若a3+a8+a13=21，则S15的值是（）A．105 B．120 C．56 D．84参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式先求出a8=7，再由前n项和公式得到S15==15a8，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{an}的前项和为Sn，a3+a8+a13=21，∴a3+a8+a13=3a8=21，解得a8=7，∴S15==15a8=105．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前15项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9.点M在圆13x2+13y2–15x–36y=0上运动，点N在射线OM上（O为原点）且|OM|?|ON|=12，则N点的轨迹方程为（

）（A）5x+12y–52=0

（B）5x–12y–52=0（C）5x–12y+52=0

（D）5x+12y+52=0参考答案：A10.在△abc中，∠a∶∠b∶∠c＝1∶2∶3，那么三边之比a∶b∶c等于()．a．1∶2∶3

b．3∶2∶1c．1∶∶2

d．2∶∶1参考答案：C易知∠A＝，∠B＝，∠C＝，∴a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶∶2.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数y=x3+px2+qx，其图象与x轴切于非原点的一点，且该函数的极小值是﹣4，那么切点坐标为

．参考答案：（﹣3，0）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的综合应用．【分析】设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x2+px+q）．由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a，故可得f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2x，再利用y极小值=﹣4，可求a=﹣3，从而得到切点．【解答】解：设切点（a，0）（a≠0），f（x）=x（x2+px+q），由题意得：方程x2+px+q=0有两个相等实根a，故可得f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2xf′（x）=3x2﹣4ax+a2=（x﹣a）（3x﹣a），令f′（x）=0，则x=a或，∵f（a）=0≠﹣4，∴f（）=﹣4，于是（﹣a）2=﹣4，∴a=﹣3，即有切点为（﹣3，0），故答案为：（﹣3，0）．【点评】本题以函数为载体，考查函数的极值，考查导数的几何意义，属于中档题．12.已知向量a,b满足，，，则夹角的大小是

参考答案：13.数列{an}中，已知a1=1，若an﹣an﹣1=2(n≥2且n∈N*)，则an=

，若=2(n≥2且n∈N*)，则an=

．参考答案：2n﹣1；2n﹣1

【考点】数列递推式．【分析】由已知递推式an﹣an﹣1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在数列{an}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n﹣1；2n﹣1．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．14.曲线围成的封闭图形的面积是_____________,参考答案：略15.在随机数模拟试验中，若

,

，

表示生成到之间的随机数,共做了次试验，其中有次满足，则椭圆的面积可估计为

。参考答案：16.方程的解可视为函数的图像与函数的图像交点的横坐标.若方程的各个实根所对应的点（=1,2,…，k）均在直线的同侧（不包括在直线上），则实数a的取值范围是______.参考答案：或.17.曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是．参考答案：2π【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据余弦函数的对称性，可知①与②，③与④的面积分别相等，所以曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积即为x轴上方矩形的面积，由此可得结论．【解答】解：根据余弦函数的对称性，可知①与②，③与④的面积分别相等，∴曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积即为x轴上方矩形的面积即1×2π=2π，∴曲线y=cosx（0≤x≤2π）与直线y=1所围成的图形面积是2π，故答案为：2π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，且经过点A；（1）求满足条件的椭圆方程；（2）求该椭圆的顶点坐标，长轴长，短轴长，离心率．参考答案：解析：（1）当焦点在x轴时，设椭圆方程为，则c=1，焦点坐标为，，=4，a=2，∴.∴椭圆方程为；(2)顶点坐标：（±2，0），（0，±）；长轴长：4；短轴长：2；离心率19.一圆形纸片的半径为10cm，圆心为O，F为圆内一定点，OF=6cm，M为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M与F重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD，设CD与OM交于P点，如图（1）求点P的轨迹方程；（2）求证：直线CD为点P轨迹的切线.参考答案：(分析：（1）由题意知点M、F关于直线CD对称，可联想椭圆的定义求点P的轨迹；（2）可用反证法来证明。)解：（1）由题意知点M、F关于直线CD对称，连结PF，则PF=NF,故PF+PO=PO+PM=10>6=OF.故点P的轨迹是以O、F为焦点、长轴长为10的椭圆。以OF所在的直线为x轴，线段OF的中垂线为y轴建立平面直角坐标系。易求得点P的方程为：；………8分（2）假设CD不是点P轨迹的切线。则直线CD与椭圆一定相交。设Q是CD上异于P的另一个交点，则QF+QO=QM+QO>OM，这与点Q在椭圆上矛盾，假设不成立。故直线CD与该椭圆切于点P.

………14分20.（12分）已知直线经过点P（1，1），。（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交于两点A、B，求点P到A，B两点的距离之积参考答案：（1）直线的参数方程为，（2）因为A、B都在直线上，所以可设它们对应的参数分别为则点A，B的坐标分别为

，。以直线的参数方程代入圆的方程整理得到

①因为是方程①的解，从而所以，21.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上求证：（1）平面（2）平面平面参考答案：⑴因