三角形中考复习

1第四单元三角形第1课时角、相交线和平行线〔含命题〕有关概念

中考考点清单考点1线段、直线、射线考点2角及角平分线考点3相交线考点4平行线性质及判定考点5命题第四单元三角形1第一页，共101页。2常考类型剖析类型一相交线中角的计算类型二平行线的性质

第四单元三角形2第二页，共101页。3

：过两点有且只有一条直线．2.线段公理：过两点的所有连线中,①最短．3.线段的中点：如图①，点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与AC，这时B点叫做线段AC的中点，即AB=BC=AC．

线段图①返回目录考点1线段、直线、射线第四单元三角形3第三页，共101页。4返回目录

1.角的概念：一条射线绕它的端点从一个位置旋转到另一位置时所成的图形叫做角．如图①．图①第四单元三角形4第四页，共101页。5返回目录

(1)概念：以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个②的角，这条射线叫做该角的角平分线；如图②，假设OC平分∠AOB，那么∠AOC=③=∠AOB．(2)定理：角平分线上的点到角两边的距离④；如图②，假设OC平分∠AOB，点P在OC上，那么PM⊥OA，PN⊥OB，那么PM=PN．图②温馨提示◆到角两边距离相等的点在角的平分线上．相等∠BOC相等第四单元三角形5第五页，共101页。6返回目录

３.角的分类分类锐角直角钝角平角周角度数0°＜α＜90°α=90°⑤_α=180°α=360°90°＜α＜180°(1)分类

(2)周角、平角、直角之间的关系和度数1周角=2平角=4直角=360°；1平角=2直角=180°，1直角=90°；1°=60′，1′=60″，1′=()°，1″=()′.考点2角及角平分线第四单元三角形6第六页，共101页。7返回目录

４.补角和余角平角直角(1)补角的定义：如果两个角的和等于一个⑥〔即等于180°〕，这两个角互为补角，或者说其中一个是另一个的补角．(2)余角的定义：如果两个角的和等于一个⑦〔即等于90°〕，这两个角互为余角，或者说其中一个是另一个的余角．(3)补角、余角的性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等．第四单元三角形7第七页，共101页。8返回目录

相等180°图③(1)对顶角和邻补角对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，如图③,∠1与∠3，∠2与∠4都是对顶角．对顶角的性质：对顶角⑧．邻补角：两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线．如图③，∠1与∠2，∠1与∠4，∠2与∠3，∠3与∠4都是邻补角．邻补角的和为⑨．考点3相交线第四单元三角形8第八页，共101页。9

直角垂直垂线垂足直角垂线段的长度最短(1)垂线：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是⑭，我们就说这两条直线⑮，其中一条直线叫做另一条直线的⑯，两条直线的交点叫做垂足．(2)垂线段：过直线外一点，作直线的垂线，该点与⑰之间线段．(3)点到直线的距·离：从直线外一点到这条直线的⑱．(4)垂线的根本性质：过一点有且只有一条直线垂直于直线；垂线段的性质：垂线段⑲.例题链接第四单元三角形9第九页，共101页。10

(2)三线八角〔如图④〕同位角：∠1与∠5，∠2与⑩，∠4与⑪，∠3与∠7．内错角：∠2与⑫，∠3与∠5．(3)同旁内角：∠3与∠8，∠2与⑬．∠8∠6∠8∠5图④例题链接第四单元三角形10第十页，共101页。平行线1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。11第十一页，共101页。12

２.平行线的性质(1)两直线平行，同位角⑳

； (2)两直线平行，内错角

；(3)两直线平行，同旁内角

；(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(5)两条平行线的所有公垂线都相等．相等相等互补例题链接考点4平行线性质及判定〔高频考点〕第四单元三角形12第十二页，共101页。13返回目录

３.平行线的判定相等相等互补(1)同位角

，两直线平行；(2)内错角

两直线平行；(3)同旁内角

，两直线平行；(4)平行于同一条直线的两条直线平行；(5)在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行．第四单元三角形13第十三页，共101页。1.命题的概念:判断一件事情的句子，叫做命题。命题必须是一个完整的句子;这个句子必须对某件事情做出肯定或者否认的判断。两者缺一不可。2.命题的组成:每个命是由题设、结论两局部组成。题设是事项;结论是由事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……〞的形式。或“假设……，那么……〞等形式。14第十四页，共101页。真命题和假命题:

命题是一个判断，这个判断可能是正确的，也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题。真命题就是:

如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

假命题就是:

如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命题。15第十五页，共101页。1616返回考点

类型一相交线中角的计算〔重点〕例1题图C【解析】∵射线OC平分∠DOB，∠COB=35°，∴∠DOB=2∠COB=2×35°=70°.∴∠AOD=180°－∠DOB=110°．【点评与拓展】相交线中角的计算，常常需要借助邻补角，对顶角，角平分线，平行线的性质、判定以及三角形的内、外角和定理等知识点，联合一起解决问题．突破方法是：正确理解、掌握上述概念、定理．例１〔’13大连〕如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．假设∠COB=35°，那么∠AOD等于〔〕Ａ．35°Ｂ．70°Ｃ．110°Ｄ．145°第四单元三角形16第十六页，共101页。1717返回考点

变式题１〔’13南通〕如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=20°，那么∠COE等于度．变式题1图【解析】∵OE⊥AB，∴∠EOA=90°，又∠AOC=∠BOD=20°，∴∠COE=90°－20°=70°.70第四单元三角形17第十七页，共101页。1818返回考点

类型二平行线的性质〔重点〕【解析】∵AB∥CD，∴∠BAC+∠C=180°，∴∠C=180°－∠BAC=60°，∵AC∥DF∴∠CDF=∠C=60°．例2题图A例2〔’13黄冈〕如图，AB∥CD∥EF，AC∥DF，假设∠BAC=120°，那么∠CDF=〔〕A．60°B．120°C．150°D．180°第四单元三角形18第十八页，共101页。1919返回考点

【思维方式】(1)解决平行线性质问题，通常可以利用“F型〞、“Z型〞、“H型〞等根本模型找准同位角或内错角或同旁内角．(2)利用平行线的性质求角,常见的思路为：①先根据平行线的性质求得与未知角互补或相等的角，再利用互补或相等关系，求未知的角；②先求得与未知角互补或相等的角，再利用平行线的性质求未知角的大小．第四单元三角形19第十九页，共101页。2020返回考点

变式题2〔’13成都〕如图，∠B=30°，假设AB∥CD，CB平分∠ACD，那么∠ACD=度.变式题2图【解析】∵AB∥CD∴∠BCD=∠B=30°．∵CD平分∠ACD，∴∠ACD=2∠BCD=2×30°=60°．60第四单元三角形20第二十页，共101页。例1．：如图5，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED.ABEDC（图5）证明：过点E作EF∥AB，∴∠B=∠1〔两直线平行，内错角相等〕.∵AB∥CD〔〕，又∵EF∥AB〔已作〕，∴EF∥CD〔平行于同一直线的两条直线互相平行〕.∴∠D=∠2〔两直线平行，内错角相等〕.又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D〔等量代换〕.12F21第二十一页，共101页。/变式1.：如图6，AB∥CD，求证：∠BED=360°-〔∠B+∠D〕.ABECD(图6)12F证明：过点E作EF∥AB，∴∠B+∠1=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕.∵AB∥CD〔〕，EF∥AB〔已作〕，∴EF∥CD〔平行于同一直线的两条直线互相平行〕.∴∠D+∠2=180°〔两直线平行，同旁内角互补〕.∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°〔等式的性质〕.又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°〔等量代换〕.∴∠BED=360°-〔∠B+∠D〕〔等式的性质〕.22第二十二页，共101页。23第2课时三角形的根本概念与性质

中考考点清单考点1三角形的分类考点2三角形的根本性质考点3三角形中的重要线段常考类型剖析类型一三角形的三边关系类型二三角形的内角和定理类型三三角形的中位线第四单元三角形23第二十三页，共101页。24考点1三角形的分类

锐角钝角返回目录第四单元三角形24第二十四页，共101页。25

1.三角形的三边关系图①如图①，我们知道“连接两点的所有连线中，线段最短〞，因此有：AC+CB＞AB，BA+AC＞BC，AB+BC＞AC．由此可见，三角形三边之间有如下关系：三角形任意两边之和③第三边．大于例题链接考点2三角形的根本性质第四单元三角形25第二十五页，共101页。26

(1)三角形内角和性质：三角形的内角和等于④

.(2)三角形一个外角等于与它不相邻的两内角⑤

；一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．如图②，∠ACD=∠A+∠B，∠ACD＞∠B，∠ACD＞∠A．图②180°和返回目录第四单元三角形26第二十六页，共101页。27

１.三角形的角平分线图③三角形的角平分线的描述方式，如图③所示：(1)AD是△ABC的角平分线；(2)AD平分∠BAC交BC于点D；(3)∠1=∠2=

∠BAC，即∠BAC=2∠1=2∠2.返回目录考点3三角形中的重要线段第四单元三角形27第二十七页，共101页。28

图④2．三角形的中线的描述方式，如图④所示：(1)AM是△ABC的中线；(2)AM是△ABC中BC边上的中线；(3)点M是BC边的中点；(4)BM=CM．返回目录第四单元三角形28第二十八页，共101页。29

3．三角形的高线从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．

温馨提示

◆三角形的高所处位置与其形状有关，如图：锐角三角形直角三角形钝角三角形返回目录第四单元三角形29第二十九页，共101页。30

４．三角形的中位线(1)定义：连接三角形⑥的线段叫做三角形的中位线．(2)中位线的性质：三角形的中位线⑦第三边，并且等于⑧．如图⑤，△ABC三边中点分别为D、E、F，那么(1)DFBC，DEAC，EFAB．(2)S△ADF=S△DBE=S△FEC=S△EFD=S△ABC.图⑤两边中点第三边的一半平行返回目录第四单元三角形30第三十页，共101页。3131

类型一三角形的三边关系〔重点〕【解析】①3、6、8，3+6＞8，能构成；②3、6、9,3+6=9，不能构成；③3、8、9，3+8＞9，能构成；④6、8、9，6+8＞9，能构成．故最多能组成三个三角形．例１〔’13南通〕有2cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，那么最多能组成三角形的个数为〔〕Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4C返回目录第四单元三角形31第三十一页，共101页。32【点评与拓展】(1)三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边；②三角形的两边之差小于第三边；实际操作时，只要验证：两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．(2)三角形的三边关系一般和不等式组联系，甚至涉及分类讨论的思想方法.例如求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.

返回目录第四单元三角形32第三十二页，共101页。33

变式题１〔’13海南〕一个三角形的三条边长分别为1、2、x，那么ｘ的取值范围是〔〕A．1≤x≤3B．1＜x≤3C．1≤x＜3D．1＜x＜3【解析】∵三角形两边的长分别是1和2，∴第三边x的范围是2－1＜x＜1+2即1＜x＜3．D返回目录第四单元三角形33第三十三页，共101页。3434

类型二三角形内角和定理〔重难点〕【解析】∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ACB=∠B=45°，∵∠EDF=90°,∠E=30°，∴∠F=90°－∠E=60°，∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°,∴∠CDF=∠ACE－∠F=∠BCE+∠ACB－∠F=45°+40°-60°=25°．例2题图例2〔’13威海〕将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．∠A=∠EDF=90°，AB=AC.∠E=30°，∠BEC=40°，那么∠CDF=.25°返回目录34第三十四页，共101页。3535

变式题2〔’12湖州〕如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC,∠A=46°，∠1=52°，那么∠2=度．变式题2图【解析】∵∠DEC是△ADE的外角,∠A=46°，∠1=52°，∴∠DEC=∠A+∠1=46°+52°=98°，∵DE∥BC,∴∠2=∠DEC=98°98返回目录第四单元三角形35第三十五页，共101页。3636

类型三三角形的中位线【解析】因为三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，所以BC=2EF=4cm.例3题图例3〔’11湘西州〕如图,在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，假设中位线=2cm，那么BC边的长是()A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm【点评与拓展】此题考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半.D返回目录第四单元三角形36第三十六页，共101页。3737

变式题3〔’13昆明〕如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，那么∠C的度数为〔〕A．50°B．60°C．70°D．80°变式题3图【解析】由题意得，∠ADE=180°－∠A－∠ADE=70°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°.C返回目录第四单元三角形37第三十七页，共101页。38第3课时全等三角形

中考考点清单考点1全等三角形及其性质考点2三角形全等的判定常考类型剖析类型全等三角形的判定第四单元三角形38第三十八页，共101页。39考点1全等三角形及其性质返回目录

1.定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2.性质：(1)全等三角形的对应边①，对应角②．(2)全等三角形的对应线段〔角平分线、中线、高线、中位线〕相等，对应周长③，对应面积④．相等相等相等相等第四单元三角形39第三十九页，共101页。40

1.三角形全等的判定方法图①(1)SSS：⑤对应相等的两个三角形全等；如图①，在△ABC与△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF，那么△ABC≌△DEF．(2)⑥：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；如图①，在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，那么△ABC≌△AEF．SAS三边返回目录考点2三角形全等的判定第四单元三角形40第四十页，共101页。41

(3)⑦：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；如图①，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D,AB=DE，∠B=∠E，那么△ABC≌△DEF．(4)AAS：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；如图①，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，那么△ABC≌△DEF.(5)HL：在两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；如图②，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，BC=EF,那么Rt△ABC≌Rt△DEF.图②ASA返回目录第四单元三角形41第四十一页，共101页。42温馨提示

◆利用SSA和AAA两种是不能判定全等三角形的．(1)如图③，在△ABC与△DEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，AC=DF，但△ABC与△DEF不全等；(2)如图④，在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D，

∠C=∠F，∠B=∠E，但△ABC与△DEF不全等．图③图④返回目录第四单元三角形42第四十二页，共101页。43返回目录

第四单元三角形43第四十三页，共101页。44

温馨提示

◆全等三角形的应用主要有：证明线段、角相等；求线段的长度、角的度数、三角形面积；测量不可直接测量的距离等.返回目录第四单元三角形44第四十四页，共101页。4545

类型全等三角形的判定〔重点〕【思路分析】此题需先找出全等的三角形，再利用判定定理给予证明．其中，除△ADE≌△ABC外，还有三对三角形全等．证明时注意已证明过的结论，可作为未证明的条件加以利用．例〔’13仙桃〕如图，△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形〔△ABC≌△ADE除外〕，并选择其中的一对加以证明．返回目录第四单元三角形45第四十五页，共101页。46解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．〔三对任写两对即可〕(1)选择△AEM≌△ACN，理由如下：∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，∴∠EAM=∠CAN，在△AEM和△ACN中，∵∴△AEM≌△CAN〔SAS〕.

返回目录第四单元三角形46第四十六页，共101页。47(2)选择△ABN≌△ADM．，理由如下：∵△ADE≌△ABC，∴AB=AD，∠B=∠D，∵∠BAN=∠DAM，∴△ABN≌△ADM〔SAS〕．(3)选择△BMF≌△DNF，理由如下：∵△ABN≌△ADM，∴AM=AN，∴BM=DN，∵∠B=∠D，∠BFM=∠DFN，∴△BMF≌△DNF〔AAS〕．

返回目录第四单元三角形47第四十七页，共101页。48【点评与拓展】(1)要证三角形全等，至少要有一组“边〞的条件，所以一般情况下，我们一般先找对应边；(2)要证直角三角形全等，通常先考虑直角边、斜边定理〔HL〕;(3)在有一组对应边相等的前提下，我们通常找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以求第三组对应边相等，或者求两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角;假设有三组对应边分别相等,那么可以直接根据边边边〔SSS〕求解.

返回目录第四单元三角形48第四十八页，共101页。4949

变式题〔’12贵阳〕如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是〔〕A．∠BCA=∠FB．∠B=∠EC．BC∥EFD．∠A=∠EDF【解析】∵AB=DE，BC=EF，假设要使△ABC≌△DEF，那么应有∠B=∠E．B变式题图返回目录第四单元三角形49第四十九页，共101页。50第4课时特殊三角形

中考考点清单考点1等腰三角形考点2等边三角形考点3直角三角形常考类型剖析类型一等腰三角形类型二直角三角形第四单元三角形50第五十页，共101页。51

1.性质(1)等腰三角形是①图形，对称轴是顶角平分线所在直线；(2)等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和底边上的高〔“三线合一〞〕；(3)等腰三角形的两底角②．(1)有两边相等的三角形是等腰三角形；(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．轴对称相等返回目录考点1等腰三角形第四单元三角形51第五十一页，共101页。52考点2等边三角形

1.性质(1)有三条边相等的三角形是等边三角形；(2)有两个角等于④的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的⑤三角形是等边三角形．60°等腰(1)等边三角形的三个内角均相等且等于③；(2)等边三角形底边上的中线，底边上的高线和所对顶角的角平分线互相重合．60°返回目录第四单元三角形52第五十二页，共101页。53

1.勾股定理即其逆定理(1)勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+b2=c2．(2)勾股定理的逆定理如果三角形三边长为a，b，c，且满足下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c,假设△ABC为直角三角形且∠C=90°，那么a2+b2=c2,假设a2+b2=c2，那么△ABC为直角三角形，且∠C=90°．返回目录考点3直角三角形第四单元三角形53第五十三页，共101页。54性质(1)两锐角之和等于⑥；(2)斜边上的中线等于斜边的⑦；(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧；(4)勾股定理，若直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则有a2+b2=c2；(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑨；(6)直角三角形的面积等于两直角边乘积的⑩_判定(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)利用勾股定理的逆定理进行判定90°一半30°一半一半

返回目录第四单元三角形54第五十四页，共101页。55

类型一等腰三角形的性质与判定〔重点〕【解析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=４，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．例１〔’13枣庄〕如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点,连接DE，那么△CDE的周长为〔〕A．20B．12C．14D．13例1题图C返回目录第四单元三角形55第五十五页，共101页。56【点评与拓展】此题考查等腰三角形的“三线合一〞及三角形的中位线性质，等腰三角形“三线〞中的任一条时〔顶角平分线或底边上的中线或底边上的高〕，常需要运用“三线合一〞的性质；假设图形中两个或两个以上的“中点〞时，常注意运用三角形中位线的性质.

返回目录第四单元三角形56第五十六页，共101页。5757

变式题1〔’14原创〕，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且△ABD与△ADC的面积相等，求证:△ABC是等腰三角形．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵AD平分∠BAC，∴DE=DF．∵S△ABD

=AB×DE，S△ADC=

AC×DF，又∵△ABD与△ADC面积相等，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．变式题1图变式题1解图返回目录第四单元三角形57第五十七页，共101页。58

类型二直角三角形的相关计算〔重点〕【解析】在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB=

，D是AB边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB=×10=5.例2题图例2〔’14原创〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6，BC=8，D是AB上的中点，连接CD，那么CD的长是〔〕A．20B．10C．5D．C返回目录第四单元三角形58第五十八页，共101页。59【点评与拓展】此题考查了勾股定理、直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，且难度不大，解决有关直角三角形的问题时，熟练掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键.

返回目录第四单元三角形59第五十九页，共101页。6060

变式题2〔’14原创〕在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，那么点C到AB的距离是.【解析】根据题意画出相应的图形，如下图：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC=AC·BC=AB·CD，∴CD=(AC·BC)÷AB=(9×12)÷15=，那么点C到AB的距离是.返回目录第四单元三角形60第六十页，共101页。61第5课时相似三角形

中考考点清单考点1比例线段及其性质考点2相似三角形考点3相似多边形及位似常考类型剖析类型相似三角形的判定及性质第四单元三角形61第六十一页，共101页。62考点1比例线段及其性质返回目录

1.两条线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a与b的长度分别为m，n，那么把长度的比叫做这两条线段的比．线段a与线段b的比记作a∶b或．其中a叫比的前项，b叫比的后项．2.成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果线段a与b的比等于线段c与d的比，即=，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．第四单元三角形62第六十二页，共101页。63

bc返回目录第四单元三角形63第六十三页，共101页。64

4.黄金分割：点C在线段AB上，假设AC2=AB·BC，那么点C为AB的⑤．假设点C为线段AB的黄金分割点，那么或AC≈AB.黄金分割点返回目录第四单元三角形64第六十四页，共101页。65

1.相似三角形的性质(1)两角对应相等的两个三角形相似；(2)两边对成比例且角相等的两个三角形相似；(3)三边对应成比例的两个三角形相似．(1)相似三角形的对应角⑥；(2)相似三角形的对应线段〔边、高、中线、角平分线〕成比例；(3)相似三角形的周长比等于⑦，面积比等于⑧．相等相似比相似比的平方返回目录考点2相似三角形第四单元三角形65第六十五页，共101页。66

归纳总结

返回目录第四单元三角形66第六十六页，共101页。67

归纳总结 ◆几种基本相似三角形图形

返回目录第四单元三角形67第六十七页，共101页。68考点3相似多边形及位似

1.相似多边形的概念及性质概念：我们把对应角相等，并且对应边成比例的

两个多边形叫做相似多边形．性质：(1)相似多边形的对应边⑨

； (2)相似多边形的对应角⑩； (3)相似多边形周长的比⑪

相似比，相

似多边形面积的比等于⑫

．成比例相等等于相似比的平方返回目录第四单元三角形68第六十八页，共101页。69

1.位似(1)位似变换：取一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP〔或它的反向延长线〕上一点P′，使得线段OP′与OP的比等于常数k〔k＞0〕，点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫做位似中心．(2)位似的图形：一个图形经过位似变换得到的图形叫作原图形位似的图形．(3)位似的性质：两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比返回目录第四单元三角形69第六十九页，共101页。1.以下各组图中的两个图形相似的是〔〕知识稳固ABCDC2.如图，四边形ABCD与EFGH相似，那么∠α＝_____,∠β＝_____,EH＝_______.70第七十页，共101页。3.两个相似三角形的对应中线的比为1:2,那么它们的周长比为_____,面积比为_____β

85°75°ABCD

8cm10cmα120°EFGHx

16cm1:21:471第七十一页，共101页。4.如图，E是□ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有:_________________________________________________.ABCDEF△EAF∽△EBC;△EAF∽△CDF;△EBC∽△CDF

72第七十二页，共101页。6.以下每幅图中的两个图形不是位似图形的是(〕

EABCDDFAOBCD73第七十三页，共101页。典例精析初三数学总复习图形的相似

3.小明想利用影长测量树高.把长为2.4m的标杆CD直立在地面上，此时量出标杆的影长为1.6m，树的影长为2.8m,求树高AB是多少？你能解决这个问题吗？ABCDEF74第七十四页，共101页。典例精析初三数学总复习图形的相似解:太阳光是平行光线,因此

∠

CED=∠AFB,CDEABF实际问题建立相似三角形模型数学问题利用对应边的比相等求解解题小结∴即解得AB=4.2,因此树高4.2m.又∠CDE=∠ABF=90°,∴△CDE∽△ABF.75第七十五页，共101页。小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5m，其影长为1.2m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近教学楼，有一局部影子在墙上.经测量，地面局部影长为6.4m，墙上影长为1m，那么这棵大树多高?D6.4？1ABCE1.21.5EF解：作DE⊥AB于E,∴△ADE∽△EGF.∴解得AE=8.∴AB=8+1=9m.76第七十六页，共101页。77

类型相似三角形的判定及性质【思路分析】(1)∠ACD=∠B,△ACD与△ABC有一个公共角∠A,根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证得△ACD∽△ABC；(2)由(1)中证得的相似，利用相似三角形的性质：“相似三角形的对应边成比例〞，列出式子可求得AC的长．例〔’14原创〕如图，D是△ABC的边AB上的一点，连接CD，假设AD=２，BD=４，∠ACD=∠B．(1)求证：△ABC∽△ACD；(2)求AC的长．例题图返回目录第四单元三角形77第七十七页，共101页。78解：(1)在△ABC和△ACD中，∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．〔两组角对应相等，两三角形相似〕(2)由(1)可知△ABC∽△ACD，∴，〔两三角形相似，对应边成比例〕∴AC2=AD·AB=AD·〔AD+BD〕=2×6=12，∴AC=.返回目录

第四单元三角形78第七十八页，共101页。79【归纳总结】相似三角形在解决线段的长有关计算问题中作用重大，常常是将未知线段与线段放于两个三角形中，并证明其相似，利用线段比例列方程求解.返回目录

第四单元三角形79第七十九页，共101页。80

变式题〔’13巴中〕如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)假设AB=8，AD=，AF=，求AE的长．变式题图返回目录第四单元三角形80第八十页，共101页。8181

【思路点拨】(1)要证△ADF∽△DEC，在这里要用“有两角对应相等的两个三角形相似〞这种判定方法，根据此题图形特点只要能证出∠ADF=∠CED和∠AFD=∠BCD即可；(2)根据△ADF∽△DEC可得比例式，进一步可求出DE的长度，然后在Rt△ADE中利用勾股定理求AE的长度．返回目录第四单元三角形81第八十一页，共101页。82解：(1)四边形∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CED．∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，又∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠BCD．∴△ADF∽△DEC．

返回目录第四单元三角形82第八十二页，共101页。83(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD．∵AB=8，∴CD=8，∵△ADF∽△DEC，∴．∵AD=，AF=，∴，∴DE=12．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD，∵在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝DE2，∴ .

返回目录第四单元三角形83第八十三页，共101页。84第６课时解直角三角形的应用中考考点清单考点1锐角三角形考点2解直角三角形的边角关系考点3解直角三角形的实际应用常考类型剖析类型一解直角三角形的边角关系类型二解直角三角形的实际应用

第四单元三角形84第八十四页，共101页。851．三角函数的概念如图，在Rt△ABC中，∠Ｃ＝90°，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边分别为a、ｂ、ｃ，正弦sinＡ＝;余弦cosA=①______;正切tanA=②______.考点1锐角三角函数

返回目录第四单元三角形85第八十五页，共101页。86

角度三角函数30°45°60°sinαcosαtanα1返回目录第四单元三角形86第八十六页，共101页。87

考点2

解直角三角形的边角关系

已知条件图形解法一直角边和一锐角（a，∠A）∠B=90°－∠A,c=，

（或b=）

斜边和一锐角（c，∠A）∠B＝90°－∠A，a=c·sinA，b=c·cosA（或b=）返回目录第四单元三角形87第八十七页，共101页。88

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两直角边（a，b）由

求∠A,∠B=90°－∠A一直角边和一锐角(a，∠A)由

求∠A,∠B=90°－∠A返回目录第四单元三角形88第八十八页，共101页。89

常考类型仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比),用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫做坡角．i=tanɑ=考点3解直角三角形的实际应用〔高频考点〕返回目录第四单元三角形89第八十九页，共101页。90

常考类型方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)通常表达成北(南)偏东(西)＋度，如图，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向（或西北方向）解题方法１.解直角三角形时,当所求元素不在直角三角形中时,应作辅助线构造直角三角形,或寻找已知直角三角形中的边角替代所要求的元素２．解实际问题的关键是构造几何模型,大多数问题都需要添加适当的辅助线,将问题转化为直角三角形中的边角计算问题.如:作等腰三角形底边上的高、梯形中过上底的两个顶点作梯形的高等３．注意题设中对精确度的要求,一般解直角三角形问题都要求最后结果取精确数返回目录第四单元三角形90第九十页，共101页。91

类型一直角三角形的边角关系

例1〔’12上海〕如图在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,Ｄ是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为点E.己知AC＝15.cosA=.(1)求线段CD的长；(2)求sin∠DBE的值．例1题图返回目录第四单元三角形91第九十一页，共101页。92

【思路分析】(1)利用锐角三角函数求出斜边AB的长，再依据CD＝AB求解即可;(2)先利用三角函数求出BC,再由sin∠ABC＝sin∠ECB得cos∠ECB＝,结合BC求得EC、DE、DB，求解sin∠DBE．解：(1)在Rt△ABC中，因为AC＝15,cosA=