中考复习一元二次方程根的判别式及根与系数的应用

中考复习〔一元二次方程〕3亳州市涡阳县公吉寺学区王大楼中学徐西玉1第一页，共20页。一元二次方程一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的应用把握住：一个未知数，最高次数是2，整式方程一般形式：ax²+bx+c=0〔a0〕直接开平方法：适应于形如〔x-k〕²=h〔h>0〕型配方法：适应于任何一个一元二次方程公式法：适应于任何一个一元二次方程因式分解法:适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程2第二页，共20页。

一元二次方程根的判别式

两不相等实根两相等实根无实根一元二次方程一元二次方程根的判式是:判别式的情况根的情况定理与逆定理两个不相等实根

两个相等实根

无实根(无解)一、3第三页，共20页。例1：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（3）（2）解：（1）

=

判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的实根。说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出△，然后对△进行计算，使△的符号明朗化，进而说明△的符号情况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的情况

4第四页，共20页。例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；解：△=(1).当△>0

，方程有两个不相等的实根,8k+9>0,即

(2).当△=0

，方程有两个相等的实根,8k+9=0,即

(3).当△

<0

，方程有没有实数根,8k+9<0,即

2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出△，再由题目给出的根的情况确定△的情况。从而求出待定系数的取值范围K＜5第五页，共20页。例3、已知m为非负整数，且关于x的方程：有两个实数根，求m的值。

解：∵方程有两个实数根∴解得：∵m为非负数∴m=0或m=1说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围.6第六页，共20页。例4、求证：关于x的方程：有两个不相等的实根。证明：所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。无论m取任何实数都有：即：△>03、证明方程根的情况说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出△，如果不能直接判断△情况，就利用配方法把△配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断△的情况，从而证明出方程根的情况7第七页，共20页。练习：1、不解方程，判别下列方程的根的情况（1）（3）（2）2、已知关于x的方程：有两个不相等的实数根，k为实数，求k的取值范围。3、设关于x的方程：，证明，不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根。8第八页，共20页。二、一元二次方程根与系数的关系以两个数x1、x2为根的一元二次方程〔二次项系数为1〕是

9第九页，共20页。设x1、x2是以下一元二次方程的两个根，填写下表

x1·

x2

x1+x2一元二次方程5610第十页，共20页。解：设方程的另一个根为x1，那么11第十一页，共20页。例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程

两个根的；（1）平方和；（2）倒数和解：设方程的两个根是x1x2，那么12第十二页，共20页。例3方程x2-5x-2=0，作一个新方程，使它的根分别是方程各根平方的倒数解：设x1、x2为方程x2-5x-2=0的两根，那么

x1+x2=5x1x2=-2设所求方程两根为y1、y2那么：13第十三页，共20页。例6.方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值．解：设x1、x2为方程的两根∵方程有两个实数根，解得m≤0．依题意，得

∵m≤0，

∴m＝－1．(x12+x22)-x1x2=2114第十四页，共20页。例7.试确定m的值，使关于x的方程8x2－(2m2＋m－6)x＋2m－1＝0的两根互为相反数．解：设此方程的两个根为x1、x2,要使方程的两个根互为相反数,必需满足条件:Δx1＋x2＝0,x1x2≤0．0,得2m2＋m－6＝0∴当m＝－2时，原方程的两根互为相反数．15第十五页，共20页。1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？2、已知方程的一个根是1，求它的另一个根和m的值。3、设x1、x2是方程

利用根与系数的关系，求下列各式的值：

16第十六页，共20页。三、二次三项式的因式分解中的因式

千万不能忽略。的因式时，可先用求根公式求出方程的