2022-2023学年九年级数学专家点拨-解直角三角形

PAGE一、考点突破中考涉及解直角三角形的试题有填空题、选择题和解答题。运用解直角三角形的知识解决与生活、生产相关的问题，是近几年中考的热点题型，以综合题形式出现的考题逐年增多。主要考查：（1）解直角三角形的概念；（2）直角三角形的四种基本类型和解法，通常与三角形的角平分线、三角形的面积等知识综合出题；（3）解直角三角形的实际应用，主要涉及测量、航海、航空、工程等。二、重难点提示重点：运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。难点：应用解直角三角形的相关知识解决实际问题。在将实际问题转化为直角三角形问题时，怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系。一、知识脉络图二、知识点拨1.三种关系（1）在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形。（2）在解直角三角形中用到的一些关系式：①三边之间的关系：②两锐角之间的关系：③边角之间的关系：2.解直角三角形的四种类型已知条件解法两条边两条直角边和一条直角边和斜边一条边和一个锐角一条直角边和锐角斜边和锐角3.应用解直角三角形的知识解一些简单的实际问题。能力提升类例1如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（）A.，B.，C.，D.，一点通：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，在直角三角形OQA中，利用三角函数可解。解：由题意，连接OQ，则OQ垂直于AQ，如图，则在直角△OAQ中有，即AP=。在直角△OAQ中，则∠O为：90°－α，由弧长公式得PQ为。故选B。点评：本题考查了直角三角形的应用，由题意，在直角三角形OAQ中，利用三角函数可解。例２图（1）表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm。如图（2），若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为一点通：由图（1）到图（2），A点按顺时针旋转了90°，由此可知A点上升的高度是6cm。解：设时钟的中心为O，3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，即O点到桌面的距离是16cm可得OA=16－10=6cm，从3点45分到3点50分，分针按顺时针旋转了30°，由此可得A点又升高了cm，所以A点距离桌面的高度是16+3=19cm。点评：本题考查了旋转和三角函数的知识，同学们一定要注意分针旋转的角度。综合运用类例3如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架DE=76厘米，∠CED=60°。（1）求垂直支架CD的长度。（结果保留根号）（2）求水箱半径OD的长度。（结果保留三个有效数字，参考数据：，）一点通：（1）首先弄清题意，了解每条线段的长度与线段之间的关系，在Rt△DCE中，利用三角函数sin60°=，求出DC的长。（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，表示出OC，AO的长度，根据sin30°=，再代入数据计算即可得到答案。解：（1）在Rt△DCE中，∠CED=60°，DE=76厘米∵sin∠CED=∴DC=DE×sin∠CED=38（厘米），答：垂直支架CD的长度为38厘米（2）设水箱半径OD=x厘米，则OC=（38+x）厘米，AO=（150+x）厘米，∵在Rt△OAC中，∠BAC=30°，∴sin30°=，即：解得：x=150－76≈18.52≈18.5（厘米）答：水箱半径OD的长度为18.5厘米点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系。例4综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸分别为AB、CD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为20米。小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠一点通：观察图形，此题需添加辅助线，将EM平移至点F处，构造直角三角形，从而利用解直角三角形的知识解决。过点F作FG∥EM交CD于G。则MG=EF=20米，根据∠FGN=∠α=36°即可求出∠GFN的度数，进而可得出FN的长，利用FR=FN×sinβ即可得出答案。解：过点F作FG∥EM交CD于G。则MG＝EF＝20米。∠FGN＝∠α＝36°。∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°。∴∠FGN＝∠GFN，∴FN＝GN＝50－20＝30（米）。在Rt△FNR中，FR＝FN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29（米）。点评：此题考查解直角三角形的应用。解题关键是添加辅助线，构造直角三角形。此题巧妙利用36°与72°之间的特殊关系，证明等腰三角形，从而简化了计算。思维拓展类例5一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长。一点通：过点B作BM⊥FD于点M（如下图），根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案。解：如图，过点B作BM⊥FD于点M。在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10,∴∠ABC=30°，BC=ACtan60°=10,∵AB∥CF，∴∠BCM=30°。∴，，在△BMD中，∠BMD=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°,∴。∴。点评：本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键先根据题意建立直角三角形，后利用所学的三角函数的关系进行解答。例6在四边形ABCD中，AB=，BC=2，CD=3＋，∠B=135°，∠C=90°，求∠D。一点通：通过对内分割或向外补形构造直角三角形。解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F。易知∠ABF=45°，所以BF=AF=AB·cos45°==,所以DE=DC－CE=DC－BF=（3＋）－=3,AE=AF＋EF=AF＋BC=,所以D=,所以∠D=60°。点评：本题采用分割的方式，在四边形内部构造出直角三角形，也可以采用向外补形的方式求解。1.解直角三角形体现了利用直角三角形中角之间、边之间、边角之间的关系，灵活加以解决；同时，又可能构造出方程加以解决，体现了一定的综合运用知识的能力。2.在解题中，要认真审题，尽可能结合图形，增强直观效果。3.解直角三角形的实际问题时，首先要弄清题意，然后再画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解。4.非直接解直角三角形的问题，要根据图形特点，恰当画辅助线，使其转化为直角三角形或矩形问题来解。问题：曙光中学准备建一个三角形的花圃ABC，拟设计∠A＝，AC＝40米，BC＝25米，请你求出这块花圃的面积。一点通：此题已知条件是“两边和其中一边的对角”，应先画图看△ABC分几种情况，然后再作计算。解：分两种情况计算：（1）如图①，当∠B是锐角时，作CD⊥AB于D，则D点落在AB边上，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝40，图①，在Rt△BCD中，，（米2）；（2）如图②，当∠B是钝角时，作CD⊥AB交AB的延长线于D，在Rt△ACD中，，在Rt△BCD中，，（米2）。图②答：这个三角形花圃的面积为（）米2、（）米2。点评：根据所给的条件可知三角形应分为∠B为锐角、钝角两种情况进行分类讨论。（答题时间：50分钟）1.身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（）同学甲乙丙丁放出风筝线长140m100m95m90m线与地面夹角30°45°45°60°A.甲B.乙C.丙D.丁2.周末，身高均为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°。她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：EQ\r(,2)≈1.414，EQ\r(,3)≈1.73）（）A.36.21米B.37.71米C.40.98米3.如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图。其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是m。4.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC＝米。5.在一处高速公路的改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图所示），为了加快施工速度，需要在小山的另一边同时施工。从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000m，∠D＝50°。为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝m。（供选用的三角函数值：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.192）6.某厂家新开发的一种电动车如图所示，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为和，大灯A与地面的距离为1m，则该车的大灯A照亮地面的宽度BC是m。（不考虑其它因素）（参考数据：）7.如图，某小岛受到了污染，污染范围可以大致看成是以点O为圆心，AD长为直径的圆形区域，为了测量受污染的圆形区域的直径,在对应⊙O的切线BD（点D为切点）上选择相距300米的B、C两点，分别测得∠ABD=30°，∠ACD=60°，则直径AD=米。（结果精确到1米（参考数据：，）8.生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°（α为梯子与地面所成的角）时，能够使人安全攀爬，现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC。（结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）9.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度。已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°。求隧道AB的长。（参考数据：eq\r(,3)=1.73）10.如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l。小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m。请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：11.某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度。如图所示，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为。测得A，B之间的距离为4米，，，试求建筑物CD的高度。

1.D2.D3.54.1005.642.86.1.47.2608.解：由题意知，当α越大，梯子的顶端达到的最大高度越大。因为当50°≤α≤70°时，能够使人安全攀爬，所以当α=70°时AC最大。在Rt△ABC中，AB=6米，α=70°，sin70°=eq\f(AC,AB)，即0.94≈eq\f(AC,6)，解得AC≈5.6。答