二阶动态电路分析

5-1

RLC串联电路的零输入响应R－uR＋＋－uCC＋－uLL

(t=0)iK电路如图所示，设uC(0－)=U0，iL(0－)=0。t=0时，开关K闭合。在图示电流、电压参考方向下，由KVL，可得：由元件伏安关系得：第一页，共37页。第一页，共37页。或特征方程为特征根为特征根S1、S2由电路本身的参数R、L、C的数值确定，根据R、L、C数值不同，特征根可能出现以下三种情况：第二页，共37页。第二页，共37页。（1）当R>（即）时，S1、S2为两个不等的负实根；（2）当R<（即）时，S1、S2为一对实部为负的共轭复根；（3）当R=（即）时，S1、S2为一对相等的负实根；第三页，共37页。第三页，共37页。一、过阻尼情况此时S1、S2为不相等的负实根，即有对应的齐次方程的解为第四页，共37页。第四页，共37页。常数A1和A2由初始条件确定联立求解，得：第五页，共37页。第五页，共37页。电路中其它响应：第六页，共37页。第六页，共37页。的波形曲线由于这种情况下，电路中电阻较大，RLC电路无法形成振荡，因此称为过阻尼情况第七页，共37页。第七页，共37页。二、欠阻尼情况此时，S1，S2为一对共轭复根，即第八页，共37页。第八页，共37页。对应的齐次方程的解为:应用欧拉公式，上式可表示为第九页，共37页。第九页，共37页。待定常数K1，K2，或K，由初始条件确定。第十页，共37页。第十页，共37页。电路中其它响应：的波形曲线

第十一页，共37页。第十一页，共37页。响应有衰减振荡的特性，其振荡幅度按指数规律衰减，称为衰减系数，d是振荡的角频率。第十二页，共37页。第十二页，共37页。R=0是欠阻尼的特例。此时的波形曲线

R＝0时，第十三页，共37页。第十三页，共37页。可见，当电路中R＝0时，各响应作无阻尼等幅自由振荡，0称为自由振荡频率。由于电路中没有能量损耗，故电容与电感间不断进行电场能量与磁场能量的交换。振荡一旦形成，就一直持续下来，永不消失。第十四页，共37页。第十四页，共37页。二、临界阻尼情况此时S1、S2为相等的负实根，即有对应的齐次方程的解为待定常数A1，A2­由初始条件确定。第十五页，共37页。第十五页，共37页。电路中其它响应：第十六页，共37页。第十六页，共37页。的波形曲线

其能量转换过程与过阻尼情况相同，电路响应呈振荡状态与非振荡状态的分界线，故称之为临界振荡情况，R称为临界电阻。第十七页，共37页。第十七页，共37页。综上所述，RLC串联零输入电路中，随着电阻R从大到小变化，电路工作状态从过阻尼，临界阻尼到欠阻尼变化，直至R=0为无阻尼状态。其工作状态仅取决于电路的固有频率S1、S2，而与初始条件无关。过阻尼的响应公式：临界阻尼的响应公式：欠阻尼的响应公式：第十八页，共37页。第十八页，共37页。[例5-1]电路如图所示。R=1Ω，L=1H，C=1F。换路前，电路处于稳态。。求零输入响应。R－uR＋＋－uCC＋－uLL

(t=0)iK解：首先求电路的固有频率

表明换路后电路处于欠阻尼状态。其对应的响应为：）第十九页，共37页。第十九页，共37页。由初始条件：第二十页，共37页。第二十页，共37页。5-2

RLC串联电路全响应R－uR＋＋－uCC＋－uLL＋－US电路如图，分析过程如前，可得电路微分方程为上式是二阶常系数线性非齐次微分方程。它的完全解由对应齐次方程的通解和非齐次方程特解组成。即第二十一页，共37页。第二十一页，共37页。通解称为固有响应分量，其模式由电路固有频率S1、S2决定，即由R、L、C的大小决定。特解为强制响应分量,是与激励具有相同模式的常量

可求得特解为：将特解代入微分方程中第二十二页，共37页。第二十二页，共37页。根据特解和通解可得二阶RLC串联电路全响应的一般形式过阻尼临界阻尼欠阻尼第二十三页，共37页。第二十三页，共37页。[例5-2]电路如图所示。已知求零状态响应uC(t)和i(t)

。解：电路对应的齐次方程的根为S1、S2为不相等的实根，故此电路属于过阻尼响应，对应的完全解为R－uR＋＋－uCC＋－uLL＋－US第二十四页，共37页。第二十四页，共37页。利用初始条件，求待定常数联立求得：第二十五页，共37页。第二十五页，共37页。

[例5-3]电路如图所示，已知L=1H，C=1/5F，R=2Ω，US1=4VUS2=6V，t<0时，电路处于稳态。时刻，K1打开，K2闭合。求时，电路的全响应。

＋US2R＋－uC(t)CLi(t)－K2t=0t=0K1＋－US1解：t<0时，电路处于稳态，根据电路可求得初始值t>0时，K1打开，K2闭合。此时电路为RLC串联电路,对应齐次方程的根为第二十六页，共37页。第二十六页，共37页。对应完全解为：利用初始条件，确定待定系数第二十七页，共37页。第二十七页，共37页。5-3

GLC并联电路全响应以iL为求解变量，代入元件伏安关系并整理得：KIS－＋u(t)GCLiG(t)iC(t)iL(t)t=0电路如图所示，根据KCL有并联电路串联电路第二十八页，共37页。第二十八页，共37页。GLC并联电路与RLC串联电路互为对偶电路。其求解方法与RLC串联电路的求解方法完全相同。特征方程为特征根为一、过阻尼情况第二十九页，共37页。第二十九页，共37页。三、临界阻尼情况二、欠阻尼情况第三十页，共37页。第三十页，共37页。5-4

一般二阶电路分析前面讨论的RLC串联或GLC并联电路，是结构形式最简单的二阶电路。对于任意结构形式的一般二阶电路，其电路激励——响应关系仍满足二阶微分方程。其分析方法并无区别，基本步骤仍为：（1）以或为变量，列写二阶微分方程。（2）根据微分方程列写特征方程并求特征根（3）根据特征根列写方程的通解（4）根据初始值，确定通解中的待定系数第三十一页，共37页。第三十一页，共37页。[例5-5]电路如图所示，试求u2满足的微分方程。＋－US－＋u1C1i1R1iC2R2i2－＋u2解：由元件伏安关系和KVL有：第三十二页，共37页。第三十二页，共37页。由KCL有：化简整理得：＋－US－＋u1C1i1R1iC2R2i2－＋u2第三十三页，共37页。第三十三页，共37页。－＋uLiCi10A＋－－＋uC0.2F2i4Ω2H[例5-6]时，电路如图所示。求时的。解：（1）选i为求解变量，列写微分方程由电感伏安关系有：由KVL有：（1）代入（1）式得：（2）第三十四页，共37页。第三十四页，共37页。对（2）式微分得：（3）由电容伏安关系，有又由KVL，有（4）－＋uLiCi10A＋－－＋