2021北京十一学校高二（下）期中数学试题及答案解析

1/12021北京十一学校高二（下）期中数学满分：150分时间：120分钟命题人：朱浩楠尹理理一、选择题（每小题5分，共10小题：共50分）1．（5分）已知，则n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．72．（5分）如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．从甲地到丁地的不同路线共有（）A．12条 B．15条 C．18条 D．72条3．（5分）由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有（）A．48个 B．60个 C．96个 D．120个4．（5分）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A．A B．A+A C．AA D．AA5．（5分）一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（）A． B． C． D．6．（5分）已知随机变量X服从二项分布X～B（6，），则P（X＝2）等于（）A． B． C． D．7．（5分）将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中顺序为“A、B、C”或“B、C、A”（可以不相邻），这样的排列数有多少种（）A．12种 B．20种 C．40种 D．60种8．（5分）如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.5769．（5分）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）A．150种 B．180种 C．200种 D．280种10．（5分）某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30．如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是（）A．0.175 B．0.085 C．0.125 D．0.225二、填空题（每小题5分，共8小题；共40分）11．（5分）已知盒子里有10个编号不同的球（除颜色和编号外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球．甲、乙两人依次不放回地各摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为．12．（5分）一射手对同一目标独立地进行3次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为．13．（5分）已知随机变量X的分布列如表，又随机变量Y＝2X+3，则Y的均值是．X﹣101Pa14．（5分）设随机变量X服从正态分布N（0，1），如果P（X≤1）＝0.8413，则P（﹣1＜X＜0）＝．15．（5分）已知展开式（3x﹣1）n＝a0+a1x+a2x2+⋯+anxn（n∈N*）中，所有项的二项式系数之和64，则a0+a1+a2+⋯+an＝．16．（5分）的展开式中所有项的系数和为，常数项为．17．（5分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率为．18．（5分）高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考．已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如表：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数24281415ab下面给出关于该班学生选考科目的四个结论：①若a＝19，则b＝11；②选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共4小题；共60分，19题10分，20题18分，21题18分，22题14分）19．（10分）已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，（1）求n，（2）求展开式中x的一次项的系数．20．（18分）甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是和，每次投篮相互独立互不影响．（1）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；（2）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；（3）甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的方差．21．（18分）在某区“创文明城区”（简称“创城”）活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中校按各校人数分层抽样调查，将调查情况进行整理后制成如表：学校ABCD抽查人数50151025“创城”活动中参与的人数4010915（注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值）假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．（Ⅰ）若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；（Ⅱ）在随机抽查的100名高中学生中，从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，求恰有1人参与“创城”活动的概率；（Ⅲ）若将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，求这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．22．（14分）某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为a，b．项目计划招募人数报名人数A50100B60aC80bD160200甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为甲同学最终被招募的项目个数，已知P（ξ＝0）＝，P（ξ＝4）＝．（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；（Ⅱ）求a，b的值；（Ⅲ）假设有十名报了项目A的志愿者（不包含甲）调整到项目D，试判断Eξ如何变化（结论不要求证明）．

2021北京十一学校高二（下）期中数学参考答案一、选择题（每小题5分，共10小题：共50分）1．【分析】利用排列数公式求解即可．【解答】解：，可得n（n﹣1）＝20，则n＝5．故选：B．【点评】本题考查排列数公式的应用，是基础题．2．【分析】先分类，再分步，即可求出答案．【解答】解：分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有3×2＝6种，第二类，从甲到丙再到丁，共有3×4＝12种，根据分类计数原理可得，共有6+12＝18种，故从甲地到丁地共有18条不同的路线．故选：C．【点评】本题考查了分步和分类计数原理，属于基础题．3．【分析】根据题意，利用排列数公式求解即可．【解答】解：根据题意，由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有：＝5×4×3＝60．故选：B．【点评】本题考查排列的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4．【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①将4名学生站成一排，有A44种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有A53种情况；则有A44A53种排法；故选：D．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5．【分析】先求出从这批产品中抽取4个，则事件总数，然后求出其中恰好有一个二等品的事件的个数，最后根据古典概型的公式求出恰好有一个二等品的概率．【解答】解：从这批产品中抽取4个，则事件总数为C1004个，其中恰好有一个二等品的事件有C101•C903个，根据古典概型的公式可知恰好有一个二等品的概率为，故选：D．【点评】本题考查的是随机事件概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．6．【分析】根据二项分布的概率公式求解即可．【解答】解：∵随机变量X服从二项分布X～B（6，），∴P（X＝2）＝×（）2×（1﹣）4＝，故选：D．【点评】本题考查了二项分布与独立重复试验的公式，关键是记忆公式，准确计算．7．【分析】根据定序问题进行求解即可．【解答】解：A，B，C为定序问题，先安排D，E，剩余3个按照一定的顺序排A，B，C，即可．则对应的排列有2＝40种，故选：C．【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用定序问题组合法是解决本题的关键，是基础题．8．【分析】首先记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C，易得当K正常工作与A1、A2至少有一个正常工作为相互独立事件，而“A1、A2至少有一个正常工作”与“A1、A2都不正常工作”为对立事件，易得A1、A2至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，记K、A1、A2正常工作分别为事件A、B、C；则P（A）＝0.9；A1、A2至少有一个正常工作的概率为1﹣P（）P（）＝1﹣0.2×0.2＝0.96；则系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864；故选：B．【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系．9．【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3；分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3若是1，1，3，则有＝60种，若是1，2，2，则有＝90种所以共有150种，故选：A．【点评】本题考查组合的运用，难点在于分组的情况的确定．10．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出一个被保险人在一年内出事故的概率．【解答】解：某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这3类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30．“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则一个被保险人在一年内出事故的概率是：P＝0.05×20%+0.15×50%+0.30×30%＝0.175．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．二、填空题（每小题5分，共8小题；共40分）11．【分析】先求出甲摸到红球的情况下，剩下3个红球，6个白球，然后由古典概型的概率公式求解即可．【解答】解：共有10个球，其中4个红球，6个白球，甲、乙两人依次不放回地各摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，则剩下3个红球，6个白球，所以在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率问题的求解，条件概率的理解与应用，古典概型概率公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．12．【分析】设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1﹣x，又由题意，可得3次射击全部没有命中目标的概率为，即（1﹣x）3＝，可得答案．【解答】解：设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1﹣x，根据题意，该射手对同一目标独立地进行3次射击，已知至少命中一次的概率为，即3次射击全部没有命中目标的概率为1﹣＝，有（1﹣x）3＝，解得x＝，故答案为：．【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，注意利用对立事件概率的性质进行分析解题．13．【分析】由随机变量X的分布列求出a＝，求出E（X）＝﹣，由Y＝2X+3，得E（Y）＝2E（X）+3，由此能求出结果．【解答】解：由随机变量X的分布列得：，解得a＝，∴E（X）＝﹣1×＝﹣，∵Y＝2X+3，∴E（Y）＝2E（X）+3＝﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．【分析】根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于x＝0对称，得到一对对称区间的概率之间的关系，即可得到要求的区间的概率．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（0，1），∴曲线关于直线x＝0对称，∵P（X≤1）＝0.8413，∴P（﹣1＜X＜0）＝P（X≤1）﹣0.5＝0.3413，故答案为：0.3413．【点评】本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x＝μ对称；（2）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．15．【分析】由已知，可得2n＝64，求出n，再令x＝1即可求解．【解答】解：由已知，可得2n＝64，所以n＝6，则二项式为（3x﹣1）6，令x＝1，则a＝26＝64，故答案为：64．【点评】本题考查了二项式系数和问题，涉及到赋值法的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．16．【分析】令x＝1可解决第一个空，再根据的展开式的通项分别求x2的系数以及常数项，再与第一个括号内形结合即可求解第二个空．【解答】解：将x＝1代入得所有项的系数和为：3×1＝3．因为的展开式中含的项为的展开式中含常数项，所以的展开式中的常数项为60+2×（﹣160）＝﹣260．故答案为：3，﹣260．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．17．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，满足条件的事件是3人中至少有1名女生，没有女生，用组合数写出事件数，得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4名男生和2名女生中任选3人，共有C63＝20种结果，满足条件的事件是3人中不超过1名女生，包括有1个女生，没有女生，共有C42C21+C43＝16种结果，根据等可能事件的概率公式得到P＝＝．故答案为：【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．18．【分析】利用全班一共有37个人，结合每个学生可以任选3个科目对每个选项进行逐一的分析判断即可．【解答】解：因为全班有37个人，一共有37×3种选法，若a＝19，则有24+28+14+15+19+b＝37×3，解得b＝11，故选项①正确；一共有37个人，其中有28个人选化学，则共有9人未选化学，所以选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人，故选项②正确；选考化学的所有学生中，还可以再选两科，即5科中选2科，一共有种选法，故选项③正确；因为在所给的已知条件中，a和b的值都是未知的，故选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数和选考科目组合为“生物+历史+政”的学生人数不确定谁多谁少，故选项④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查了命题真假的判断，涉及了排列组合的应用，主要考查的是学生的逻辑推理能力．三、解答题（共4小题；共60分，19题10分，20题18分，21题18分，22题14分）19．【分析】（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得，由此求得n的值．（2）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中x的一次项的系数．【解答】解：（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得，解得n＝11．（2）由（1）知，展开式的第r+1项为：，令得r＝3，此时，所以，展开式中x的一次项的系数为﹣1320．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．20．【分析】（1）先求出甲、乙两人都没投中的概率，再利用对立事件概率计算公式能求出事件A发生的概率．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的对值对应的概率，即可得分布列，进而求出数学期望．（3）随机变量ξ～B（5，），根据二项分布的性质能求出概率和方差．【解答】解：（1）设甲投中为事件B，乙投中为事件C，则P（）＝，P（）＝，甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，则事件A发生的概率P（A）＝1﹣P（）P（）＝1﹣＝．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，∴X的分布列为：X012PE（X）＝＝．（3）随机变量ξ～B（5，），P（ξ＝2）＝＝，D（ξ）＝＝．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．【分析】（Ⅰ）由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数．（Ⅱ）设事件A表示“抽取A校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，事件C表示“抽取C校高中学生，且这名学生参与‘创城’活动”，则从A，C两学校抽出的高中学生中各随机抽取1名学生，恰有1人参与“创城”活动的概率：P＝P（A+）＝P（A）P（）+P（）P（C），由此能求出结果．（Ⅲ）将表中的参与率视为概率，从A学校高中学生中随机抽取3人，这3人参与“创城”活动人数X～B（3，），由此能求出这3人参与“创城”活动人数的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）该区共2000名高中学生，由分层抽样性质估计A学校参与“创城”活动的人数为：2000×＝800．（Ⅱ）设