定积分换元法与分部积分法习题

定积分换元法与分部积分法习题

（共20页）-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-#71sinnxdx,IL2【证明】由于卜sinaxdx71sinnxdx,IL2其中，对于「sin”xdx,作如下的处理:2作变换了=兀-当X从三单调变化到兀时，沅从三单调变化到0,2r且有sinnx=sin〃（兀-u）=sin鹿u,dx--du,于是,fm=J2sin»xdx,0J"sin»xdx=-f°sin»于是,fm=J2sin»xdx,0TOC\o"1-5"\h\z工 工 o2 2从而得J兀sin”xdx=f2sin“xdx+f71sin”xdx=212sin»xdx。证毕。0 0 02.设/⑺为连续函数，证明：(1)当fw是偶函数时，(p(x)=J"⑺成为奇函数；0【证明】当/⑺是偶函数时,有f(t),使得(P(-X)=\~xt=f\x =-\xf(u)du=—cp(x),0 0 0可知此时叭x)=J"⑺力为奇函数，证毕。0⑵当/«)是奇函数时，cp(x)=J"⑺成为偶函数。0【证明】当/⑺是奇函数时,有=使得(P(-X)=\~xt=-u =\xf(u)du=(p(x),TOC\o"1-5"\h\z0 0 0可知此时叭x)=J"(/)力为偶函数，证毕。0.设是以T为周期的连续函数，证明：对任意的常数〃，有\a+Tf(x)dx=\Tf(x)dxoa 0【证明】题设/(x)是以T为周期的连续函数，可知成立f(x±T)=f(x),由于\a+Tf(x)dx=f(x)dx+\Tf{x}dx+\a+Tf(x)dxa a Q T=—J"f(x)dx+frf(x)dx+\a+Tf(x)dxGOT

其中，对于Ja+Tf(x)dx，作如下的处理：T令x=u+T，当x从T单调变化到a+T时，u从0单调变化到a，使得Ja+Tf(x)dxx-u+TJaf(u+T)d(u+T)T 0—Jaf(u)du=Jaf(x)dx，于是有Ja+Tf(x)dx=—Jaf(x)dx+JTf(x)dx+Jaf(x)dx=JTf(x)dx，证毕。.计算下列定积分:⑴J1xe-xdx；0【解】被积函数属分部积分第一类，应选e-x为先积分部份,【解法一】套用分部积分公式，-J1(一e-x)dx=-e-1-0+J】e-xdx00J-J1(一e-x)dx=-e-1-0+J】e-xdx00——e-1—e-x1——e-1—(e-1—e0)—1—2e-1。【解法二】应用列表法符号求导积分符号求导积分J1xe-xdx=J1xe-xdx=(-xe-x-01 1 ।exInxdx— Inxd—x2——x2Inx—2(e2lne2-0)-Jee-Je1x2dlnx112121——e2一211—e2--xdx2 1211(e2-1)= (e2+1)。44e-x)1=(—1e-1—e-1)—(—0e0—e0)—1—2e-1。⑵JexInxdx；1【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选x为先积分部份,(含不可直接积分部份的分部积分不应使用列表法)⑶J1xarctanxdx;0【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选x为先积分部份，J1xarctanJ1xarctanxdx=J1arctanxd-x2=-x2arctanx1021 11=—arctanl-1—x2•.2 o2兀1/ …、=--—(x-arctanx)82-J」x2darctanxo221 £11 1 dx=——J(1- 1+x2 820 1+x21二£」(1-£)兀10 82 4 42)dx£⑷2xsin2xdx；0【解】被积函数属分部积分第一类，应选sin2x为先积分部份，1111xd(一一cos2x)=--xcos2x22=1/ _八、，1"一——(—cos兀-0)+—J2cos2xd22 20- 1 £x=一―(-1)+—sin2x24 4 0=£+1(sin兀-0)44£= 。4【解法二】应用列表法符号求导积分+xsin2x1—-cos2x2+0—-sin2x4可得J2xsin2xdx二011二(--xcos2x+—2 4sin2x)—2=-0—(£cos-221-0)+4(sin--sin0)1£1=--(--)+-(0-0)=2 2 4£—。4⑸J4lnxdx；1xx00£ £J2xsin2xdx=J2£ £ 12-J2(--cos2x)dx0 0 2【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，应选1xx为先积分部份，

x4-J42y[xdInxJ=—xcotx3+lnsinx兀.x4-J42y[xdInx=—xcotx3+lnsinx兀.i<x1二2%''xInx4-J42笃,'x•—dx=2个xlnxx4-2J4—dx1 1y'x=2%；xIn-4v•:x卜=2vx(In=2%；xIn=2[<'4(ln4-2)-<1(ln1-2)]=4[ln4-1]=4(2ln2-1)。⑹J；—x—dx；ssin2x4【解】被积函数属分部积分第一类,应选—L为先积分部份,sin2x【解法一】套用分部积分公式,J:，ssin2x4dx=J3xd(-cotx)=—xcotx4=—xcotx立3+立4式COSx,3 dx工sinx4正3正4-J：(-cotx)dxX /4=—xcotxs1s1+J3 dsinxs工sinx4正正3正4JL.3=(-xcotx+ln|sinx|)4‘兀,兀」・兀、/兀,兀」•兀、=(-一cot一+lnsin—)一(-一cot一+lnsin—)3 3 3 4 4 4兀1一•—=3v3+ln史)-(-S+ln立)

2 4 21 1 」^)k+ln43<31+1ln3。22=I —【解法二】应用列表法符号求导积分1sin2x一cotx一lnsinxsin2x(一xcotx+ln|sinx|)工3正4TOC\o"1-5"\h\z/兀x., •兀、/兀,兀「 •兀、=(-一cot一+lnsin—)-(--cot一+lnsin—)3 3 3 4 4 4上上+ln且)-(上+ln马3<3 2 4 2=I 一1+1ln3。22二⑺J2e2xcosxdx;0【解】被积函数属分部积分第一类，e【解】被积函数属分部积分第一类，e2x与cosx均可选为先积分部份，【解法一】套用分部积分公式，选e2x为先积分部份，兀 X2e2xcosxdx=2cosXdle2x二1e2xcosx

2 2-J21e2xdcosx02即得移项，=1(e兀cos三2 2-e0cos0)+f=1(0-1)+J：1sin

2 02=-1+1(e兀sin三24 2工2e2xcosxdx=-0整理得sinxdxxd1e2x

211--+—e2xsinx24-e0sin0)-11^2e2xcosxdx

401,e兀 1X一―7—+-- 2e2xcosxdx,244。f〜 ，1.C、2e2xcosxdx=—(e兀-2)。05【解法二】套用分部积分公式，选cosx为先积分部份，K 」J2e2xcosxdx=J2e2xdsmx=e2xsmxXX2-J2sinxde2x0 0兀.20X1一-2—e2xdsinx04==(e兀sin江22e2xd(—cosx)-—0)—J22江22e2xd(—cosx)=e兀一[2e2x(—cosx)

- -2—J2(—cosx)d2e2x]0 0=e兀+2e2xcosx

-24e2xcosxdx0=e兀+2(e兀cos-—2e0=e兀+2(e兀cos-—20即得J2e2xcosxdx=e-—2—4J2e2xcosxdx,00- 1 1, …移项，整理得 J2e2xcosxdx=—(e-—2)。05⑻J2xlogxdx;12【解】被积函数属分部积分第二类，套用分部积分公式，选x为先积分部份，J2J2xlogxdx=J2logxd—x21 2 1 22=2x2logx2—J22x2dlog2x二—(4log2—0)—J2—x2-—i—dx=2——J—J2xdx

2 2 12xln2 2ln21c1 1 c1.八c3=2— '一x22=2— (4—1)=2— 2ln22 14ln2 4ln2⑼J2-xcos2xdx；0【解】将三角函数降次后求解，J2兀xcosJ2兀xcos2xdx=02-1+cos2x,2兀x dx0 2=2J2-(x+xcos2x)dx1(1x2222-+J2-xcos2xdx)00=-2+—=-2+—J2-xcos2xdx

20其中，积分J2-xcos2xdx中的被积函数属分部积分第一类，套用分部积分公式，选cos2x为先积分部份，得J2-J2-xcos2xdx=J2-xd—sin2x=—xsin2x2-—02J2--sin2xdx0211二-sin4-—0+—cos2x412-=0—0+—(cos4-—cos0)041=-(1—1)=0,4c， 1cxcos2xdx=兀2+—x0=兀2。2从而得c， 1cxcos2xdx=兀2+—x0=兀2。2(10)Jesin(lnx)dx;1【解】被积函数属分部积分第二类，且已经具有Judv的结构，直接套用分部积分公式得e-Jexdsin(lnx)1 1Jee-Jexdsin(lnx)1 11=esin(Ine)—0—Jex-cos(lnx)•—dx1x=esin1—Jecos(lnx)dx1=e=esinl-[xcos(lnx)e—Jexdcos(lnx)]11即得移项、(")J"nx|dx；e、 ’一、rL「即得移项、(")J"nx|dx；e、 ’一、rL「.「」，=esin1—[ecos(lne)—cos(ln1)]+ex[—sin(lnx)]—dx=esin1—ecos1+1—Jesin(lnx)dx1Jesin(lnx)dx=e(sin1—cos1)+1—Jesin(lnx)dx,1整理得e1sin(lnx)dx=—[e(sin1—cos1)+1]。1 2【解】Je|lnx|dx=Jjlnx|dx+J[lnx|dx=J1(—lnx)dx+Jelnxdx

Al1 1 1 1x 1=—J1lnxdx+Jelnxdx=—[xlnx11 1 1-J1xdInx]+xInxe—JexdInx111 ex•—dx+elne—1 ex•—dx+elne—0— 1 2=--+1--+e—(e—1)=2--oeee—-+J1dx+e-Jedx

ee(12)Jln2x3ex2dx。0【解】这是含复合函数的积分，可用第一换元积分法，令x2=u，当x从0单调变化到＜ln2时，u从0单调变化到ln2,得Jln2x3e得Jln2x3ex2dx=0 21,

=—(ue21n2x2ex2dx2=iJln2ueudu=』Jln2ude”2020uln211-Jln2eudu)=—(in2-ein2-0)--eu

02 2ln201 11=ln2——(ein2—e0)=ln2——(2-1)二山2——。2 22x2sintx2sint dt,1t求J1xf(x)dx。0【解】JsiUdt是著名的无法用初等函数表示结果的一道积分题，因此，无法t通过确定f(x)的表达式来求解积分J1xf(x)dx,0但明显可见，易于求出f'(x)：TOC\o"1-5"\h\zd 2sint sinx2 sinx2 2f'(x)=一Jxdt= (x2)'= •2x=—sinx2dx1t x2 x2 x于是，可以通过分部积分法，由J1xf(x)dx转化出f'(x)从而解决问题:1-1-J11x2df(x)0 02J1xf(x)dx=J1f(x)d—x2=—x2f(x)0 0 22=1[12f(1)-0]-J11x2f'(x)dx=1f(1)-J11