控制理论基础

控制理论基础第1页，共108页，2023年，2月20日，星期一第四章控制系统的稳定性分析4.1稳定性的基本概念4.2代数判据4.4Nyquist稳定性判据4.5稳定性裕量4.3米哈伊洛夫稳定性判据作业第2页，共108页，2023年，2月20日，星期一4.1稳定性的基本概念例稳定性的定义稳定的充要条件稳定的必要条件例1例3例2课堂练习第3页，共108页，2023年，2月20日，星期一稳定的摆不稳定的摆第4页，共108页，2023年，2月20日，星期一1940年11月7日，一阵风引起了桥的晃动，而且晃动越来越大，直到整座桥断裂。跨越华盛顿州塔科马峡谷的首座大桥，开通于1940年7月1日。只要有风，这座大桥就会晃动。第5页，共108页，2023年，2月20日，星期一无限放大直到饱和无输入时因干拢直至饱和第6页，共108页，2023年，2月20日，星期一控制系统在外部拢动作用下偏离其原来的平衡状态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态。(a)外加扰动注意：以上定义只适用于线形定常系统。稳定性的定义第7页，共108页，2023年，2月20日，星期一(b)稳定(c)不稳定注意：控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。第8页，共108页，2023年，2月20日，星期一大范围稳定:不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能够恢复到原有的平衡状态。(a)大范围稳定第9页，共108页，2023年，2月20日，星期一(b)小范围稳定否则系统就是小范围稳定的。注意：对于线性系统，小范围稳定大范围稳定。第10页，共108页，2023年，2月20日，星期一(a)不稳定第11页，共108页，2023年，2月20日，星期一临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化；(2)实际系统参数的时变特性；(3)系统必须具备一定的稳定裕量。第12页，共108页，2023年，2月20日，星期一假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号δ(t)的作用，此时系统的输出增量（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t→∞时，若：系统（渐近）稳定。

稳定的条件：稳定的充要条件第13页，共108页，2023年，2月20日，星期一理想脉冲函数作用下

R(s)=1。对于稳定系统,t

时,输出量

c(t)=0。第14页，共108页，2023年，2月20日，星期一由上式知：如果pi和i均为负值,

当t时,c(t)0。第15页，共108页，2023年，2月20日，星期一自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意：稳定性与零点无关S平面系统特征方程第16页，共108页，2023年，2月20日，星期一结果：共轭复根，具有负实部，系统稳定。第17页，共108页，2023年，2月20日，星期一系统稳定的必要条件系统特征各项系数具有相同的符号，且无零系数。设系统特征根为p1、p2、…、pn-1、pn各根之和每次取两根乘积之和每次取三根乘积之和各根之积全部根具有负实部第18页，共108页，2023年，2月20日，星期一某水位控制系统如图，讨论该系统的稳定性。为被控对象水箱的传递函数； 为执行电动机的传递函数；K1为进水阀门的传递系数；Kp为杠杆比；H0为希望水位高；H为实际水位高。第19页，共108页，2023年，2月20日，星期一由系统结构图可得出系统的闭环特征方程为

第20页，共108页，2023年，2月20日，星期一令 ,为系统的开环放大系数，则特征方程展开写为为三阶系统,但缺少s项，即对应的特征多项式的中有系数为0，不满足系统稳定的必要条件，所以该系统不稳定。无论怎样调整系统的参数,如(K、Tm)，都不能使系统稳定。结构不稳定系统校正装置第21页，共108页，2023年，2月20日，星期一无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。劳思(routh)判据劳思阵列赫尔维茨(Hurwitz)判据赫尔维茨行列式例课堂习题劳思(routh)判据的特殊情况4.2代数判据第22页，共108页，2023年，2月20日，星期一性质：第一列符号改变次数==系统特征方程含有正实部根的个数。劳思阵列第23页，共108页，2023年，2月20日，星期一特征方程：

劳斯阵列：

第24页，共108页，2023年，2月20日，星期一如果符号相同系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定；如果符号不同符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。“第一列中各数”注：通常a0>0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。劳思(routh)判据第25页，共108页，2023年，2月20日，星期一劳思判据判定稳定性第26页，共108页，2023年，2月20日，星期一第27页，共108页，2023年，2月20日，星期一第28页，共108页，2023年，2月20日，星期一劳斯判据判断系统的相对稳定性第29页，共108页，2023年，2月20日，星期一特殊情况1：第一列出现0

特殊情况2：某一行元素均为0劳思(routh)判据的特殊情况第30页，共108页，2023年，2月20日，星期一特殊情况：第一列出现0。各项系数均为正数解决方法：用任意小正数代之。特殊情况1：第一列出现0第31页，共108页，2023年，2月20日，星期一特殊情况：某一行元素均为0解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。各项系数均为正数求导得:例如：特殊情况2：某一行元素均为0第32页，共108页，2023年，2月20日，星期一劳斯阵列出现全零行:系统在s平面有对称分布的根大小相等符号相反的实根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根第33页，共108页，2023年，2月20日，星期一系统的n阶赫乐维茨行列式取各阶主子行列式作为1阶~（n-1）阶赫尔维兹行列式赫尔维茨行列式第34页，共108页，2023年，2月20日，星期一控制系统稳定的充分必要条件是：当a0>0时，各阶赫尔维茨行列式1、2、…、n均大于零。一阶系统二阶系统a0>0时,a1>0(全部系数数同号)a0>0时,a1>0,a2>0(全部系数数同号)a0>0时a0>0时赫尔维茨(Hurwitz)判据第35页，共108页，2023年，2月20日，星期一三阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0(全部系数数同号)a0>0时a1a2>a0a3第36页，共108页，2023年，2月20日，星期一四阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0,a4>0

(全部系数数同号)a0>0时第37页，共108页，2023年，2月20日，星期一一阶系统a1>0(全部系数数同号)a1>0,a2>0(全部系数数同号)a1>0,a2>0,a3>0(全部系数数同号)a1a2>a0a3a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系数数同号)归纳：a0>0时二阶系统三阶系统四阶系统第38页，共108页，2023年，2月20日，星期一a1>0,a2>0,a3>0,a4>0K值的稳定范围各项系数均为正数a0>0时,第39页，共108页，2023年，2月20日，星期一单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节数目对系统稳定性的影响。第40页，共108页，2023年，2月20日，星期一系统1的闭环特征方程为：系统3的闭环特征方程为：系统2的闭环特征方程为：K的稳定域为：K的稳定域为：结论：增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利。由于特征方程缺项，不存在K的稳定域。第41页，共108页，2023年，2月20日，星期一特征矢量幅角变化与稳定性关系一阶系统D(s)可视为复平面上的向量。特征方程：D(s)=s+p＝04.3米哈伊洛夫稳定性判据第42页，共108页，2023年，2月20日，星期一当ω变化时，D(jω)的端点沿虚轴滑动，其相角相应发生变化。在频域：D(jω)=p+jω若特征根为负实根，系统稳定若特征根为正实根，系统不稳定第43页，共108页，2023年，2月20日，星期一二阶系统特征方程：D(s)=s2+2ns+n2＝(s+p1)(s+p2)=0实根情形(ξ≥1)当ω由0变化到∞时：第44页，共108页，2023年，2月20日，星期一共轭虚根情形(0<ξ<1)设根位于左半s平面当ω由0变化到∞时，jω+p1的相角变化范围：-0~π/2变化量：π/2+0

jω+p2的相角变化范围：0~π/2变化量：π/2-0

第45页，共108页，2023年，2月20日，星期一根位于右半s平面共轭虚根情形(0<ξ<1)当ω由0变化到∞时，jω+p1的相角变化量：-π/2-0jω+p2的相角变化量：-π/2+0

第46页，共108页，2023年，2月20日，星期一若所有特征根都在左半s平面，则当ω由0变化到∞时若有q个特征根在右半s平面，则当ω由0变化到∞时n阶系统第47页，共108页，2023年，2月20日，星期一n阶系统稳定的条件：当ω由0变化到∞时，矢量D(jω)的相角变化量第48页，共108页，2023年，2月20日，星期一稳定系统不稳定系统临界稳定系统第49页，共108页，2023年，2月20日，星期一Nyquist稳定判据系统各特征多项式间的关系开环含有积分环节例1例2例3例4例1例2Nyquist稳定判据穿越法Bode图中的Nyquist稳定判据例2例1例2例3例4例14.4Nyquist稳定性判据第50页，共108页，2023年，2月20日，星期一系统的开环传递函数系统的闭环传递函数闭环特征多项式开环特征多项式设新变量F(s)建立了系统的闭环特征多项式、开环特征多项式和开环传递函数G(s)H(s)之间的关系系统各特征多项式间的关系第51页，共108页，2023年，2月20日，星期一S=j代入引言:Nyquist稳定性判据是通过图解方法判断系统是否满足稳定的充分必要条件。也就是利用系统开环幅频特性G(jω)H(jω)来判断闭环系统的稳定性。Nyquist稳定判据第52页，共108页，2023年，2月20日，星期一闭环稳定开环稳定系统在开环状态稳定的条件,闭环稳定的充要条件是：当ω由0变化到∞时，1+G(j)H(j)轨迹不包围[1+GH]平面的原点。第53页，共108页，2023年，2月20日，星期一系统在开环状态稳定的条件,闭环稳定的充要条件是：当ω由0变化到∞时，开环G(j)H(j)轨迹不包围GH平面的(-1,j0)点。在复平面上将1+G(jω)H(jω)的轨迹向左移动一个单位，便得到G(jω)H(jω)的轨迹第54页，共108页，2023年，2月20日，星期一闭环稳定要求设系统开环特征根有m个位于右半s平面。若系统开环不稳定，且有m个开环特征根位于右半s平面，则闭环系统稳定的充要条件：当ω由0变化到∞时，开环G(j)H(j)轨迹逆时针包围GH平面(-1，j0)点m/2次。ω:0∞第55页，共108页，2023年，2月20日，星期一单位反馈系统的开环传递函数其中T1=0.1s,T2=0.05s,T3=0.01s试求K值为多大时,闭环系统是稳定的。T1、

T2、

T3

均为正，系统开环稳定第56页，共108页，2023年，2月20日，星期一闭环系统稳定条件：取第57页，共108页，2023年，2月20日，星期一已知系统开环传递函数应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。当K>1时，系统闭环稳定当K<1时，系统闭环不稳定当K=1时，系统临界稳定第58页，共108页，2023年，2月20日，星期一系统在闭环状态下是稳定的。开环状态是不稳定的(m=2)G(j)H(j)轨迹逆时针方向包围(-1,j0)点一次第59页，共108页，2023年，2月20日，星期一开环稳定G(j)轨迹不包围(-1,j0)点闭环系统稳定。开环稳定第60页，共108页，2023年，2月20日，星期一开环含有积分环节（原点处存在极点）或者在虚轴上存在极点。不可直接应用米哈伊洛夫稳定定理获得该极点对应的向量jω+pi

在ω由0变化到∞时的相角变化量。用半径ε→0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半s平面。开环含有积分环节第61页，共108页，2023年，2月20日，星期一在复平面的虚轴上，当ω很小时，圆弧的数学方程式rej,r0时，从0变到/2。当ω很小时，采用替换值rejG(jω)的绝对值无穷大幅角从0变为。第62页，共108页，2023年，2月20日，星期一常规方法：(1)作出ω由0+→∞变化时的Nyquist曲线；(2)从G(j0+)开始，以∞的半径逆时针补画v90°的圆弧(辅助线)。ω由0→0+变化时的轨迹第63页，共108页，2023年，2月20日，星期一具有零根的开环G(jω)H(jω)轨迹(b)(a)第64页，共108页，2023年，2月20日，星期一以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和G(jω)H(jω)轨迹的起始端。对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。(c)第65页，共108页，2023年，2月20日，星期一单位反馈系统的开环传递函数为应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。开环稳定m=0，开环Nyquist曲线不包围(-1,j0)点系统闭环稳定。第66页，共108页，2023年，2月20日，星期一已知系统的开环传递函数如下，应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。ω＝0+：A(0+)＝∞，(0+)＝－270°Nyquist曲线顺时针包围(-1,j0)点半次，而m＝1系统闭环不稳定。第67页，共108页，2023年，2月20日，星期一穿越：指开环Nyquist曲线穿过(-1,j0)点左边实轴时的情况。正穿越：ω增大时，Nyquist曲线由上而下穿过-1~-∞段实轴。正穿越时相当于Nyquist曲线正向包围(-1,j0)点一圈。负穿越：ω增大时，Nyquist曲线由下而上穿过-1~-∞段实轴。负穿越相当于Nyquist曲线反向包围(-1,j0)点一圈。Nyquist稳定判据穿越法第68页，共108页，2023年，2月20日，星期一图例第69页，共108页，2023年，2月20日，星期一半次穿越：G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于(-1,j0)点以左的负实轴。+1/2次穿越-1/2次穿越第70页，共108页，2023年，2月20日，星期一当ω由0变化到∞时，Nyquist曲线在(-1,j0)点左边实轴上的正负穿越次数之差等于m/2时(m为系统开环右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。开环不稳定闭环稳定开环稳定闭环稳定第71页，共108页，2023年，2月20日，星期一系统在闭环状态下是稳定的。开环状态是不稳定的(m=2)G(j)H(j)轨迹逆时针方向包围(-1,j0)点一次。++-第72页，共108页，2023年，2月20日，星期一开环不稳定m=1½次穿越闭环稳定第73页，共108页，2023年，2月20日，星期一Nyquist图与Bode图的对应关系原点为圆心的单位圆0分贝线。单位圆以外L(ω)>0的部分；单位圆内部L(ω)<0的部分。负实轴－180°线。相连(v为开环积分环节的数目)起始点(0+)

Nyquist曲线的辅助线(0+)+v90°线第74页，共108页，2023年，2月20日，星期一正穿越对应于对数相频特曲线当ω增大时从下向上穿越－180°线(相角滞后减小)；(-1,j0)点以左实轴的穿越点L(ω)>0范围内的与－180°线的穿越点。负穿越对应于对数相频特性曲线当ω增大时，从上向下穿越－180°线(相角滞后增大)。第75页，共108页，2023年，2月20日，星期一对数频率特性稳定判据若系统开环传递函数m个位于右半s平面的特征根，则当在L(ω)>0的所有频率范围内，对数相频特性曲线(ω)(含辅助线)与-180°线的正负穿越次数之差等于m/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。第76页，共108页，2023年，2月20日，星期一开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和-1闭环不稳定。第77页，共108页，2023年，2月20日，星期一开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和+1闭环稳定。第78页，共108页，2023年，2月20日，星期一开环特征方程无右根，m=0正负穿越数之和0闭环稳定。第79页，共108页，2023年，2月20日，星期一开环特征方程无右根，m=0L()>0范围内()和-线不相交即正负穿越数之和为0闭环稳定。第80页，共108页，2023年，2月20日，星期一相对稳定性和稳定裕量增益交界频率和相位交界频率系统的稳定性裕量稳定系统不稳定系统例1用Matlab求取稳定性裕量例24.5稳定性裕量第81页，共108页，2023年，2月20日，星期一特征方程最近虚轴的根和虚轴的距离稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。相对稳定性和稳定裕量第82页，共108页，2023年，2月20日，星期一注意：虚轴是系统的临界稳定边界G(j)H(j)轨迹靠近(-1,j0)点的程度GH平面第83页，共108页，2023年，2月20日，星期一增益交界频率cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点相位交界频率gG(j)H(j)轨迹与负实轴交点GH平面ggcc1-稳定系统2-不稳定系统增益交界频率和相位交界频率第84页，共108页，2023年，2月20日，星期一单位园外单位园内增益交界频率cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点L(j)与0分贝线的交点。cg稳定系统第85页，共108页，2023年，2月20日，星期一相位交界频率gG(j)H(j)轨迹与负实轴交点(j)与-线的交点。单位园外单位园内cg不稳定系统第86页，共108页，2023年，2月20日，星期一:在增益交界频率c上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量---相位裕量。开环系统的稳定性裕量第87页，共108页，2023年，2月20日，星期一Kg:在增益交界频率g上,频率特性幅值|G(j)H(j)|的倒数——幅值裕量（增益裕度）。开环第88页，共108页，2023年，2月20日，星期一系统响应速度增益裕量相位裕量闭环系统稳定性 增益裕量 相位裕量伺服机构： 10-20分贝 40度以上过程控制： 3-10分贝 20度以上第89页，共108页，2023年，2月20日，星期一稳定系统正相位裕量正增益裕量正增益裕量正相位裕量第90页，共108页，2023年，2月20日，星期一G(j)H(j)轨迹:(1)不包围(-1,j0)点；(2)先穿过单位圆，后穿过负实轴。正相位裕量正相位裕量第91页，共108页，2