平面问题的极坐标解答

平面问题的极坐标解答要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：——平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。弹性力学§4-1极坐标中的平衡微分方程§4-2极坐标中的几何方程与物理方程§4-3极坐标中的应力函数与相容方程§4-4应力分量的坐标变换式§4-5轴对称应力与相应的位移§4-6圆环或圆筒受均布压力压力隧洞§4-7曲梁的纯弯曲§4-8圆盘在匀速转动中的应力与位移§4-9圆孔的孔边应力集中§4-10楔形体的楔顶与楔面受力§4-11半平面体在边界上受法向集中力§4-12半平面体在边界上受法向分布力主要内容

弹性力学§4-1极坐标中的平衡微分方程1.极坐标中的微元体xyOPABC体力：应力：PA面PB面BC面BC面应力正向规定：正应力——拉为正，压为负；剪应力——

r、θ的正面上，与坐标方向一致时为正；r、θ的负面上，与坐标方向相反时为正。弹性力学xyOPABC2.平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为1）：将上式化开：（高阶小量，舍去）弹性力学xyOPABC两边同除以：两边同除以，并略去高阶小量：弹性力学xyOPABC——剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：（4－1）方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。弹性力学§4-2极坐标中的几何方程与物理方程1.几何方程xyOPAB(1)只有径向变形，无环向变形。径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）弹性力学xyOPBA径向线段PA的相对伸长：（a）径向线段PA的转角：（b）环向线段PB的相对伸长：（c）环向线段PB的转角：（d）剪应变为：（e）弹性力学yxOPBA(2)只有环向变形，无径向变形。径向线段PA的相对伸长：（f）径向线段PA的转角：（g）环向线段PB的相对伸长：环向线段PB的转角：（h）（i）剪应变为：（j）弹性力学(3)总应变整理得：（4－2）——极坐标下的几何方程弹性力学2.物理方程平面应力情形：平面应变情形：（4－3）（4－4）弹性力学弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：（4－1）几何方程：（4－2）物理方程：（4－3）(平面应力情形)弹性力学边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）rrr弹性力学rlr弹性力学a取半径为a的半圆分析，由其平衡得：弹性力学弹性力学§4-3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标下变形调方程（相容方程）（2-22）（2-23）（平面应力情形）（2-25）(2-27)(2-26)应力的应力函数表示：弹性力学2.极坐标下的应力分量与相容方程方法1：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：（常体力情形）（3）利用平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：（常体力情形）弹性力学方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：（2）应力分量与相容方程的坐标变换：应力分量的坐标变换弹性力学(a)(b)弹性力学(c)xyOrPxy由直角坐蛮标下应力速函数与应斜力的关系类（2－2众6）：弹性力学弹性力学极坐标曾下应力虚分量计互算公式腾：（4－5蜻）可以证明下：式（4朝－5）满夕足平衡方喊程（4－兔1）。相容方期程的坐怜标变换说明：式被（4－5监）仅给出膨体力为零纷时的应力劝分量表达浑式。弹性力学相容方截程的坐并标变换(a)(b)将式(糠a)与损(b)恨相加，铃得弹性力律学得到极骨坐标下键的衬Lap估lac拔e微笛分算子检：极坐标下拾的相容方亮程为：（4－6角）方程（4蛇－6）为速常体力情爷形的相容兴方程。说明：弹性力学弹性力学踩极坐标求记解归结为结论：（1）由问题的隐条件求出环满足式（产4－6）讽的应力函奏数（4－6漆）（2）由式（4耗－5）求享出相应的锄应力分量泼：（4－窜5）（3）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移边界仿条件：应力边佛界条件杆：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单徐值条件）弹性力学3.弓轴对称胖问题应喷力分量哑与相容没方程轴对称甲问题：qO（4－5）（4－6）由式（锯4－5缴）和（闯4－6柱）得应氧力分量台和相容熔方程为挣：（4－1袜0）应力分液量：相容方愈程：弹性力学§4-4凯应力帅分量的坐哑标变换式(1)用极坐标谋下的应力委分量表示洪直角坐标煮下的应力洽分量(2)用直角坐糊标下的应抵力分量表宅示极坐标供下的应力帆分量（4－8蚕）（4－9辛）弹性力学§4-趣5违轴对棵称应力可与相应棵的位移求解方晓法：——逆栏解法1.轴修对称问题高应力分量盲与相容方瓦程（1）抛应力分树量（4－眠10）（2）相乳容方程2.相庄容方程的已求解将相容消方程表足示为：4阶变料系数齐亲次微分子方程将其展开昨，有弹性力学——4阶变系数齐次微分方程方程两边同乘以：——歼Eul挎er其齐次微忠分方程令：有代入上述方程其特征方程为方程的特征值弹性力崭学方程的特辟征根为：于是，方悬程的解为毛：将代回：（4－肉11）——拖轴对称问血题相容方寺程的通解勾，A、B、C、D为待定研常数。3.笑应道力分量（4－1蜜0）将方程（越4-11闪）代入应鹊力分量表嫁达式（4－1盘2）——扭轴对称平况面问题的蝴应力分量治表达式弹性力献学4.位移分量对于平面挡应力问题剩，有物理怀方程（a）积分式（果a），有弹性力学（b）——是任意的待定函数将式（熊b）代冶入式（筋a）中阔第二式浇，得将上式段积分，叙得:（c）——是r任意函数将式（滑b）代房诚入式（弹c）中旧第三式停，得或写成档：要使该式棚成立，两紧边须为同嚷一常数。弹性力周学（d）（e）式中F为常数糕。对其刚积分有怎：（f）其中H为常数乔。对式剩（e）剑两边求歼导其解为：（g）（h）将式（f朝）（h蹈）代入式胁（b）踢（c），筛得（b）（c）（4-1昼3）弹性力即学平面轴对搏称问题小疯结：（4－1梢1）（1）应力函数（2）应力分量（4－1绑2）（3）位移分量（4-1响3）式中：A、B术、C、要H、I贡、K由应力脉和位移馅边界条杂件确定个。弹性力蜂学（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K由应力和位移边界条件确定。由式（瓦4-1线3）可沸以看出绩：应力轴仪对称并涝不表示斜位移也耐是轴对泄称的。但在轴箩对称应楚力情况占下，若采物体的麦几何形句状、受顶力、位音移约束益都是轴猎对称的巷，则位历移也应堆该是轴古对称的播。这时刮，物体兄内各点撞都不会有环向位缎移，即不雀论r和θ取何值，茫都应有：不。对这种幅情形，清有式（4拴-13每）变为遵：[4-嘉13（疏a）]弹性力板学弹性力学绝平面问题爬极坐标求奥解的基本化方程：平衡微颜分方程汉：（4－置1）几何方程绑：（4－2艘）物理方程采：（4－趋3）(平面应耳力情形)弹性力蔽学弹性力依学平面弓问题极雁坐标求藏解步骤畜：（1）由问题的旬条件求出醋满足式（句4－6）等的应力函雪数（4－役6）（2）由式（给4－5糟）求出监相应的笋应力分酷量：（4－盯5）（3）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移边界疾条件：应力边休界条件鹿：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移单吼值条件）弹性力学平面轴对盾称问题的购求解：（4－农11）（1）应力函数（2）应力分量（4－1渔2）（3）位移分绍量（4-1匆3）式中：A、B、严C、H、码I、K由应力和决位移边界桐条件确定晕。对于多连秤体问题，瓜位移须满喘足位移单险值条件。弹性力揪学极坐标下奇的平面问虾题的基均本方程（4－2）几何方程：（4－壶1）物理方程：（4－3）平面应力术情形（4－4）平面应变爹情形平衡微分方程：弹性力谨学边界条件：位移边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。（位移妇单值条鸟件）相容方灶程：（4－6）——常体力情形的相描容方程。应力分混量计算猜式：（4－5）弹性力衡学弹性力疮学极坐筋标求解廉归结为（1）由问题的条件求出满足式（4－6）的应力函数（4－6）（2）由式（4－5）求出相应的应力分量：（4－5）（3）将上述应力分量满足问题的边界条件：位移边界条件：应力边界条件：（位移挤单值条蜡件）弹性力学（1）持应力分乖量（4－10）（2）吴相容方驳程轴对称员问题的漂应力分公量与相型容方程破：弹性力学平面轴骄对称问栋题小结东：（4－11）（1）应力函数（2）应力分量（4－12）（3）位移分量（4-13）式中：A、B、C、H、I、K由应力和位移边界条件确定。弹性力学§4-6滋圆环渴或圆筒受损均布压力饮压力鞠隧洞1.奥圆环或贡圆筒受均厘布压力已知：求：应力龟分布。确定应坑力分量侨的表达顺式：（4－12）边界条件川：（a）将式（浙4-1客2）代脸入，有拥：（b）弹性力学（b）式中有牵三个未傲知常数浸，二个丙方程不疼通用确非定。对于多连召体问题，案位移须满惯足位移单呆值条件。位移多值项要使单值建，须有：B=0旦，棋由式（多b）得将其代尝回应力茄分量式穴（4-杰12）突，有：弹性力学（4-1团4）（1）若稀：(二刷向等压沟情况)（2）雷若：（压应广力）（拉应百力）弹性力学（3）若各：（压应力酬）（压应缘瑞力）（4）若罗：——左具有圆形伞孔道的无叛限大弹性早体。边缘处袖的应力卧：弹性力弯学2.士压力隧喇洞问题：厚壁圆筒纠埋在无限扛大弹性体胃内，受内正压q作用，密求圆筒肯的应力孟。1.鱼分析：与以前寒相比较冤，相当届于两个谎轴对称齿问题：(a)受内外压耽力作用的啦厚壁圆筒区；(b)仅受外观压作用限的无限惯大弹性潮体。确定外压p的两个冻条件：径向变形驱连续：径向应力害连续：2.连求解弹性力区学2.黑求解(1)严圆柔筒的应塔力与边坐界条件应力：（a）边界条件粥：(2)痰无倚限大弹淘性体的显应力与葡边界条坝件应力：（b）边界条件疲：将式（中a）、徐（b）替代入相彼应的边螺界条件奋，得到甚如下方吵程：弹性力学4个方程炭不能解5迟个未知量娃，需由位移助连续条件略确定。上式也恋可整理马为：(c)(d)弹性力学利用：(e)要使对任意的成立，须有(f)对式（f卵）整理有卡，有0弹性力蚂学(g)式（g姨）中：将式（g桶）与式（译c）（d陆）联立求演解(c)(d)（4-1蜓6）当n<1燥时酱，应力级分布如汤图所示醒。弹性力趁学讨论：（1）压力隧洞置问题为最愧简单的接芝触问题（正面接触）具。完全接念触：接触面间令既不互相看脱离，也员不互相滑磨动。接触结条件为应力：位移：（1）非完全接氏触（光滑隙接触）应力：位移：接触条射件：弹性力摊学§4-熟7泛曲梁谈的纯弯志曲1.窑问题及目其描述矩形截刚面曲梁烘：内半洲径为a，外半径删为b，在两端刚受有大小芒相等而转皮向相反的丝式弯矩M作用（梁趟的厚度为蕉单位1）馆，O为曲梁的绍曲率中心测，两端面鸭间极角为β。取曲梁的伟曲率中心O为坐标的幸原点，并船按图示建苹立坐标系赠。由于各仰截面上托弯矩M相同，因骄而可假定裤各截面上抛应力相同将，构成一赶轴对称问尖题（对称推轴为z轴）。2.逝应冠力分量1.碰曲梁的万应力弹性力鸡学3.唱边界条件——扒自然满叼足（1）（2）将应力漆分量代桑入，有（a）（b）注：此处为单红连体问题源，（3）端部：（c）（d）由轴对热称问题宫应力分汉量式将其代入役式（c）弹性力学（c）（d）轴对称问题应力分量式：代入式（括c），有代入式返（d）其，有（分部小积分）00弹性力学将其代玻入，有整理，恨有（d）（a）（b）联立求挑解式（杠a）（句b）（仰d）,项可求得拣：弹性力烤学其中：将其代则入应力千分量式帽，有（f）其