数学基础拉氏变换

自动控制(zìdònɡkònɡzhì)原理数学(shùxué)根底－－

拉普拉斯变换刘宝

第一页，共20页。11.拉普拉斯变换(biànhuàn)的定义1.1复变量和复变函数一个复数包括实部和虚部，如果实部和虚部都是变量，那么称其为复变量。在拉氏变换中，复变量用符号(fúhào)s表示，表示一个(yīɡè)复变函数F(s)是s的函数，它具有实部和虚部第二页，共20页。2幅值：如果在某一域内，复变函数F(s)及其所有(suǒyǒu)阶导数都存在，那么称该复变函数F(s)在该域内是解析的。

相角(xiānɡjiǎo)：角度从实(cónɡshí)轴开始，沿逆时针计算jωRe0F(s)FxFy第三页，共20页。3在s平面上，使函数(hánshù)F(s)解析的点称为正常点，使F(s)为非解析的点称为奇点使F(s)及其导数趋于无穷大的奇点称为极点使F(s)=0的点叫做零点且p1为2阶极点(jídiǎn)极点(jídiǎn)为例如零点为第四页，共20页。4拉普拉斯变换(biànhuàn)的定义假设f(t)是时间t的函数，且t<0时，f(t)=0;s是复变量,那么f(t)的拉氏变换(biànhuàn)F(s)定义为由拉氏变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程称为拉普拉斯反变换，定义为其中常数c选择的比F(s)的所有奇点的实部都大。第五页，共20页。51.3常用函数(hánshù)的拉氏变换(1)求阶跃函数(hánshù)f(t)=A·1(t)的拉氏变换。单位阶跃函数(hánshù)f(t)=1(t)的拉氏变换为。(2)求单位脉冲函数(hánshù)f(t)=δ(t)的拉氏变换。第六页，共20页。6〔3〕求指数函数(zhǐshùhánshù)f(t)=的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)11(t)1/s

t1/(s+a)几个重要(zhòngyào)函数的拉氏变换第七页，共20页。73.拉氏变换(biànhuàn)性质设的拉氏变换为3.1线性性质原函数之和的拉氏变换(biànhuàn)等于各原函数的拉氏变换(biànhuàn)之和3.2积分定理不定积分定积分第八页，共20页。83.3微分(wēifēn)定理第九页，共20页。93.4初值定理(dìnglǐ)3.5终值定理若存在原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。原函数的初值等于(děngyú)其象函数乘以s的自变量s趋向无穷大时的极限值。第十页，共20页。103.6延迟(yánchí)定理3.7与相乘第十一页，共20页。114.拉普拉斯反变换(biànhuàn)4.1求拉普拉斯变换(biànhuàn)的展开式拉氏变换常以如下形式(xíngshì)出现如果F(s)被分解成以下分量并且F1(s),F2(s),…,Fn(s)的拉普拉斯反变换可以容易得到，那么第十二页，共20页。124.2只包含不同极点(jídiǎn)的局部分式展开考虑(kǎolǜ)以下因式形式的F(s)如果F(s)只包含不同的极点(jídiǎn)，那么F(s)可展开成为以下简单的局部分式之和：系数ak叫做极点s=-pk上的留数，留数ak可由下式决定第十三页，共20页。13例1：求函数F(s)的拉氏逆变换解：该式可以(kěyǐ)分解为如下形式其中(qízhōng)第十四页，共20页。14所以(suǒyǐ)其对应(duìyìng)的拉氏逆变换为第十五页，共20页。15例2第十六页，共20页。164.3包含(bāohán)多重极点的F(s)局部展开通过(tōngguò)例子说明F(s)的局部(júbù)展开式包括三项式中b1,b2,b3可确定如下第十七页，共20页。17所以(suǒyǐ)其拉氏逆变换