2023年安徽省师范大学附属中学数学高二下期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的最大值为，最小值为，则等于（）A．0 B．2 C．4 D．82．已知双曲线的一条渐近线与轴所形成的锐角为，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．或23．设函数f(x)＝axA．193 B．163 C．134．已知双曲线的实轴长为16，左焦点分别为，是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C． D．5．正项等比数列中，，若，则的最小值等于（）A．1 B． C． D．6．由曲线与直线，所围成的封闭图形面积为（）A． B． C．2 D．7．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A．在上是增函数B．在上是减函数C．在上是增函数D．在时，取极大值8．已知曲线在点处的切线方程是，且的导函数为，那么等于A． B． C． D．9．已知双曲线：1，左右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为（）A． B．11 C．12 D．1610．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（）种不同的取法A．C61C22 B．11．某单位为了解用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某天的用电量与当天气温，并制作了统计表：由表中数据得到线性回归方程，那么表中的值为（）气温（℃）181310-1用电量（度）243464A． B． C． D．12．已知某产品连续4个月的广告费用（千元）与销售额（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①广告费用和销售额之间具有较强的线性相关关系；②；③回归直线方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；那么，广告费用为8千元时，可预测销售额约为（）A．4.5万元 B．4.9万元 C．6.3万元 D．6.5万元二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于（）．14．已知直线与曲线在点P（1，1）处的切线互相垂直，则_____________.15．的展开式中常数项为__________．(有数字填写答案)16．设每门高射炮命中飞机的概率为，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少的概率命中它．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.18．（12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值，并求取最大值时的取值集合；（Ⅱ）若且，求．19．（12分）有5人进入到一列有7节车厢的地铁中，分别求下列情况的概率(用数字作最终答案)：(1)恰好有5节车厢各有一人；(2)恰好有2节不相邻的空车厢；(3)恰好有3节车厢有人．20．（12分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数．(1)解不等式：；(2)对任意，恒成立，求实数的取值范围．21．（12分）已知复数，其中i为虚数单位.（1）若复数z是实数，求实数m的值；（2）若复数z是纯虚数，求实数m的值.22．（10分）已知椭圆的离心率为，顺次连接椭圆的四个顶点，所得到的四边形面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设不垂直于坐标轴的直线与相交于两个不同的点，且直线的斜率成等比数列，求线段的中点的轨迹方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

因为，所以是奇函数，则由奇函数的性质，又因为，，即，，故，即，应选答案C．2、C【解析】

转化条件得，再利用即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为，又渐近线与轴所形成的锐角为，，双曲线离心率.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.3、D【解析】

由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数f(x)的导函数f'(x)=3ax解得a=10故选D【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题.4、A【解析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.5、D【解析】分析：先求公比，再得m,n关系式，最后根据基本不等式求最值.详解：因为，所以，因为，所以，因此当且仅当时取等号选点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6、D【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，图中从左至右三个交点分别为，所以题中所求面积为，故选D7、C【解析】分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果.详解：根据导函数图象可知，在上先减后增，错；在上先增后减，错；在上是增函数，对；在时，取极小值，错，故选C.点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.8、D【解析】

求出切线的斜率即可【详解】由题意切线方程是x+y﹣8＝0，即y＝8﹣x，f'（5）就是切线的斜率，f′（5）＝﹣1，故选：D．【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了某点处的切线斜率的求法，属于基础题．9、B【解析】

根据双曲线的定义，得到，再根据对称性得到最小值，从而得到的最小值.【详解】根据双曲线的标准方程，得到，根据双曲线的定义可得，，所以得到，根据对称性可得当为双曲线的通径时，最小.此时，所以的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的定义求线段和的最小值，双曲线的通径，考查化归与转化思想，属于中档题.10、D【解析】

直接由组合数定义得解．【详解】由题可得：一个口袋内装有大小相同的8个球中，从中取3个球，共有N=C故选D【点睛】本题主要考查了组合数的定义，属于基础题．11、C【解析】

由表中数据计算可得样本中心点，根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得的值.【详解】由表格可知，，根据回归直线经过样本中心点，代入回归方程可得，解得，故选：C.【点睛】本题考查了线性回归方程的简单应用，由回归方程求数据中的参数，属于基础题.12、C【解析】

由已知可求出，进而可求出，即可得到回归方程，令，可求出答案.【详解】由题意，，因为，所以，则回归直线方程为.当时，.故选C.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，考查了计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128.法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.128考点：相互独立事件的概率乘法公式14、【解析】15、16【解析】展开式的次项与形成常数项，展开式的常数项和1形成常数项，所以展开式的次项为，常数项为1，所以的展开式中常数项为15+1=1616、【解析】

设需要门高射炮，由题意得出，解出的取值范围，可得出正整数的最小值.【详解】设需要门高射炮，则命不中的概率为，由题意得出，得，解得，而，因此，至少需要门高射炮.故答案为：.【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，在涉及“至少”问题时，可以利用对立事件的概率公式来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）抽到每件产品的可能性相同，直接做比即可（2）考虑剩余产品数目和剩余次品数目再做比例。【详解】设第一次抽到次品的事件为，第二次抽到次品的事件为.（1）因为有20件产品，其中5件是次品，抽到每件产品的可能性相同，所以第一次抽到次品的概率为.（2）第一次抽到次品后，剩余件产品，其中有件次品，又因为抽到每件产品的可能性相同，所以在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为.【点睛】本题考查古典概型和条件概率，属于基础题。18、（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值，求出取最大值时的取值集合．（Ⅱ）根据且，求得，再利用两角差的余弦公式求出．【详解】（Ⅰ）∴，由，得（Ⅱ）由得，得若，则，所以，∴．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．19、（1）3602401；（2）360016807；（3）【解析】

(1)5人进入到一列有7节车厢的地铁中，基本事件总数n=75=16807，恰好有5节车厢各有一人包含的基本事件的个数m(2)恰好有2节不相邻的空车厢包含的基本事件的个数m2=A(3)恰好有3节车厢有人包含的基本事件个数m3=C【详解】(1)5人进入到一列有7节车厢的地铁中，基本事件总数n=7恰好有5节车厢各有一人包含的基本事件的个数m1所以恰好有5节车厢各有一人的概率p1(2)恰好有2节不相邻的空车厢包含的基本事件的个数m2所以恰好有2节不相邻的空车厢的概率P2(3)恰好有3节车厢有人包含的基本事件个数m3所以恰好有3节车厢有人的概率p3【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题，计算概率类题目的时候，可以先将所有的可能种类的数目算出，然后算出符合题意的可能种类的数目，两者相除，即可算出概率。20、(1);(2).【解析】分析：（1）解法一：写出分段函数的解析式，讨论的范围，求出分段函数不同自变量范围的不等式的解，再求这些解的并集即可.解法二：写出分段函数的解析式，绘制函数图象,计算函数与的交点坐标，根据函数图象确定不等式的解.解法三：根据绝对值在数轴上的几何意义，确定不等式的解.（2）将恒成立问题转化成问题，确定后，解关于的一元二次不等式，即可求出实数的取值范围．解法一：根据三角不等式，确定函数最小值解法二：根据函数图象，确定函数最小值.详解：（1）解法一：当时，，解得：；当时，，解得：；当时，，解得：，所以不等式的解集为；（1）解法二：令，两个函数的图象如图所示：由图像可知，两函数图象的交点为和，所以不等式即的解集为（注：如果作出函数的图象，写出的解集，可参照解法2的标准给分）解法三：如图，设数轴上与对应的点分别是，那么两点的距离是4，因此区间上的数都是原不等式的解．先在数轴上找出与点的距离之和为的点，将点向左移动2个单位到点，这时有,同理，将点向右移动2个单位到点，这时也有,从数轴上可以看到，点与之间的任何点到点的距离之和都小于8,点的左边或点的右边的任何点到点的距离之和都大于8，所以，原不等式的解集是（2）解法一：，当时“”成立，又任意，恒成立，∴，即，解得：，∴的取值范围为.解法二：作函数的图象如图：由图象可知，函数的最小值为4，（注：如果第（1）问用解法2，可直接由（1）得最小值为4，不必重复说明）又任意，恒成立，∴，即，解得：，∴的取值范围为.点睛：本题考查了绝对值不等式问题，考查绝对值的性质和不等式恒成立问题的求解方法.函绝对值的不等式的解法：（1）定义法；即利用去掉绝对值再解（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式；（3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如）；（4）图象法或数形结合法；（5）不等式同解变形原理．21、（1）或；（2）.【解析】

（1）由实数定义可知虚部为零，由此构造方程求得结果；（2）由纯虚数定义可知实部为零且虚部不为零，由此构造方程求得结果.【详解】（1）令，解得：或当或时，复数是实数（2）令，解得：或又，即：且当时，复数是纯虚数【点睛】本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，关键是熟练掌握实数和纯虚