专升本复习高等数学

xn1，…（对于每一个正整数nxnxnxn=（n在几何上，数列{xn}可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1,x2,x3,...xn定义对于数列{xnn→∞时，xnA，则称当n趋于无穷大时，数列{xn}以常数A为极限，或称数列收敛于A

否则，对于数列{xn}，如果当n→∞时，xn不是无限地趋于一个确定的常数，：135，（2n1，…数列极限的几何意义将常数A及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{xnAnxn点A，即xnA距离|xn-A|0。定理1.1（惟一性）若数列{xn}收敛，则其极限值必定惟一。定理1.2（有界性）若数列{xn}收敛，则它必定有界。 定理1.3（两面夹准则）若数列{xn},{yn},{zn（2），定理1.5 时当x→x0f（x）x→x0f（x）y=f（xAx→x0时，函数f（x）A，记作或f（x）→A（当x→x0时）当x→x0时f（x）y=f（xx从x0x0f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的左极限是A，记作或f（x0-当x→x0f（x）y=f（xx从x0x0f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→x0时，函数f（x）的右极限是A，记作x00f（x）1显然，函数的左极限 右极限与函数的极限1.6当x→x0时，函数f（x）的极限等于Ax→1时，当x→1f（x）22当x→∞时，函数f（x）x→∞时，函数f（x）的极限y=f(x)=1+ y=f（x称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作y=f（x，如果当则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作 例：函数f（x）=2+e-x，当x→+∞时，f（x）→？x→-∞时，函数f（x）y=f（x称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作则f(x)=2+ f(x)=2+→2例：函数，当x→-∞时，f（x）→？解：当x→-∞时，-x→+∞x→∞，x→+∞，xf（x）f（x）A充分必要条件是当x→+∞以及x→-∞时，函数f（x）有相同的极限A。f（x）也无限地趋于同一个常数1，因此称当x→∞时的极限是1，即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）x)=1+即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。定理1.8（两面夹定理）设函数在点 注意：上述定理1.7及定理1.8对 1.9则 定理1.10函数 以A为极限的必要充分条件是：可表示为A与一个无穷小量之和。越变越小的变量也不一定是无穷小量，例如当x越变越大时，就越 （∞定理1.11在同一变化过程中，如果 当当2（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无 是 是 令其中e（银行家常数）（2） D.[答 C.D.低阶的无穷小量 与x（1）[0208][答（1）[0316]计算[答（2）[9516][答 D.[答（2）[0006][答解:（1）[0416]计算[答]（2）[0118]计算[答，8.用等价无穷小代换定理求极限[0317][答]0 ， 求a,b的值. 令 ，则k= 函数在点x01y=f（x）x0量△x（x0）0y0y=f（x）x0y=f（x）x02y=f（x）在点x0x→x0数y=f（x）的极限值存在，且等于x0处的函数值f（x0），即定义3设函数y=f（x），如果，则称函数f（x）在点x0处左连续；如果，则称函数f（x）在点x0处右连续。由上述2y=f（x）x0f（x）x0定义如果函数f（x）在闭区间[a，bxf（x）在闭区间[a，b]上连续，并称f（x）为[a，b]上的连续函数。连续，是指满足关系：，即f（x）在左端点a处是右连续，在右端点b处是左连续。定义如果函数f（x）在点x0处不连续则称点x0为f（x）f（x）x0在点x0处，f（x）在点x0处，f（x）虽然在点x0处f（x）有定义，且存在，但则点x0是f（x），则f（x）在A.x=0,x=1处都间断B.x=0,x=1解：x=0处，f（0）=0x=0f（x）的间断点x=1处，f（1）=1 x=0处连续，则k 例3[0209]设在x=0处连续，则a=？：（）e f（x，g（x）（1）f（x）±g（x）在x0处连续（2）f（xg（x）（3）（3）若（x≠，1.13（复合函数的连续性）设函数u=g（x）=x0y=f（u）在u=g（x）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在xx0续。u=g（x增加（或严格单调减少x=f-（）也在对应区间上连续，f（x1.15（有界性定理）f（x）在闭区间[a，bf（x）定理1.16（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，MmmMC，在[a，b]上至f（x）x0f（x）x0处连例1.证明三次代数方程x-5x+1=0在区间（0,1