4-5-第二讲证明不等式的基本方法-二综合法与分析法“衡水赛”一等奖

不等式·用分析法证明不等式·教案

教学目标知识与技能：通过教学，学生掌握和应用分析法证明不等式．教学重点和难点理解分析法的证题格式并能熟练应用．教学过程设计师：我们已经学习了综合法证明不等式．综合法是从已知条件入手去探明解题途径，概括地说，就是“从已知，看已知，逐步推向未知”．综合法的思路如下：（从上往下看）（用投影片）师：其中，A表示已知条件，由A可以得到它的许多性质，如B，B1，B2，而由B又可以得到C，由B1还可以得到C1，C2，由B2又可以得到C3，…，而到达结D的只有C，于是我们便找到了A→B→C→D这条通路．当然，有时也可以有其他的途径达到D，比如A→B1→C1→D等．但是有许多不等式的证明题，已知条件很隐蔽，使用综合法证明有一定困难．这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手，今天我们介绍用分析法证明不等式，来解决这个问题．（复习了旧知识，并指出单一用综合法证明的不足之处，说明了学习分析法的必要性）分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，从而找出解题途径．概括地说，就是“从未知，看需知，逐步靠拢已知”．分析法的思路如下：（从下往上看）（用投影片）师：欲使结论D成立，可能有C，C1，C2三条途径，而欲使C成立，又有B这条途径，欲使C1成立，又有B1这条途径，欲使C2成立，又有B2，B3两条途径，在B，B1，B2，B3中，只有B可以从A得到，于是便找到了A→B→C→D这条解题途径．（对比综合法叙述分析法及其思路，便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系）师：用分析法论证“若A到B”这个命题的模式是：（用投影片）欲证命题B为真，只需证命题B1为真，只需证命题B2为真，……只需证命题A为真，今已知A真，故B必真．师：在运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途径．下面举例说明如何用分析法证明不等式．首先解决刚才提出的问题．（板书）（此题以教师讲解，板书为主，主要讲清证题格式）师：请看投影，这个题还有一种证法．（投影片）师：这种证法是综合法．可以看出，综合法有时正好是分析过程的逆推．证法2虽然用综合法表述，但若不先用分析法思索，显然用综合法时无从入手，有时综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此．师：若此题改为下面的证法是否有错？（投影片）

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦因为63＜64成立，

⑧

⑨（学生自由讨论后，请一位同学回答）生：我认为第②步到⑦步有错，不等式①两边都是负的，不能平方．师：这位同学找到了证明过程中的错误，但错误原因叙述得不够准确．这种证法错在违背了不等式的性质．若a＞b＞0，则a2＞b2；若0＜a＜b，则a2＞b2．（不失时机地联系旧知识，在以新代旧的过程中，数学知识可以不断得到深化，学生的思维能力可以得到提高）师：下面看第二个例题．（板书）（学生推证，教师巡视，请一学生口答）因为c＞1，即证-1＜0，因为-1＜0显然成立，师：以上两个例题充分显示了分析法的优越性．师：这个题目我们曾经用比较法进行过证明，请同学们考虑用分析法如何证明？（学生讨论，请一学生回答）生：因为b＞0，所以b＋1＞0，去分母，化为a（b＋1）＜b（a＋1），就是a＜b，这个式子就是已知条件，所以求证的不等式成立．（学生理解了分析法的原理，应予以肯定，但这个回答不能作为证明过程，学生往往忽略分析法证明的格式，要及时纠正）师：这位同学“执果索因”，逐步逆找结论成立的充分条件，直至找到明显成立的不等式为止．很明显，逆找的过程正是把“欲证”由繁化简的过程，因而分析法对于形式复杂的证明题是一种行之有效的方法．但是作为证明过程，这位同学的回答不符合要求．应该如何证明呢？（请一位同学板书）因为b＞0，b＋1＞0，故只需证a（b＋1）＜b（a＋1），即证ab＋a＜ab＋b，即证a＜b，师：如果将这个题变化为其证明方法与例3相同．此题表明：分子、分母都是正的真分数，分子、分母同加上正数m，分数值变大——但不超过1，这是分数的何？（讲完一个例题后，将例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使学生的认识得到“升华”，发展学生的思维，并起到触类旁通，举一反三的效果）例4

已知：a，b∈R＋，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b＋ab2．生甲：我用求差比较法可以证明．（学生口答，教师板书简单过程）证法1：（a3＋b3）-（a2b＋ab2）=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）=（a＋b）（a2-2ab＋b2）=（a＋b）（a-b）2．由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，则（a-b）2＞0，进而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，所以a3＋b3＞a2b-ab2．生乙：我是用分析法证明的．证法2：欲证a3＋b3＞a2b＋ab2，即证（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），因为a＋b＞0，故只需证a2-ab＋b2＞ab，即证a2-2ab＋b2＞0，即证（a-b）2＞0，因为a≠b，所以（a-b）2＞0成立，所以a3＋b3＞a2b＋ab2成立．生丙：那我可以用综合法证明．证法3：由a≠b，知（a-b）2＞0，即a2-2ab＋b2＞0，则a2-ab＋b2＞ab，又a＋b＞0，则（a＋b）·（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），即a3＋b3＞a2b＋ab2．师：以上三位同学熟练地应用学过的证明方法，对同一命题用三种方法进行了证明，开阔了思路．同学们应学会针对具体题目，灵活地选取方法．（分析法和综合法是对立统一的两个方法，对同一命题分别用这两种方法证明，便于对比，在教学中，应着眼于培养学生的能力，使学生能针对具体问题，进行具体分析，灵活地运用各种证法）例5

若a，b，c是不全相等的正数，（师生共同进行分析）证明：且上述三式中的等号不全成立，所以师：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，意箭头的方向．课堂练习：（投影片）3．若a，b∈R＋，求证：a5＋b5＞a3b2＋a2b3．（第3题是例4的推广．所谓推广，就是把真命题放在更广的范围内考查，因而是一种创造性的思维活动．要想做出推广，认清式子的“结构特征”是突破口．就例4中的a3＋b3＞a2b＋ab2而言，不等号两边都是二元的三次齐次式，推广至少有两个方向：（i）次数能否提高？（ii）“元”能否增多？对学有余力的同学不妨试试看）（请同学做以上三个练习，巩固本节课所学内容．教师巡视，发现问题，当堂指正）小结：师：这节课主要学习了用分析法证明不等式．分析法是证明不等式时一种常用的基本方法，在证题不知从何下手时，有时可以运用分析法而获得解决．在“执果索因”逆推过程中，请同学们小结常用技巧．生：可以通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母、两边乘方、开方．师：使用这些技巧变形时，注意遵循不等式性质，还有什么补充？生：还有指数，对数性质．师：（再补充）以及三角公式等等，运用同学们总结出的这些技巧，目的是将“求证”由繁化简，直至逆推出已知或显然成立的结论．另外，分析法和综合法是对立统一的两个方面．有时我们可以用分析法思索，而用综合法书写证明过程，或者分析法，综合法相结合，共同完成证明过程．作业：根据三角函数的有界性，sin2α≤1成立，所以原不等式成立）课堂教学设计说明教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程．因此，教师应及时提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题的解决．一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直至完成本节课的教学任务