4-1-第二讲直线和圆的位置关系-三圆的切线的性质及判定定理-“江南联赛”一等奖

切线长定理教学目的：1.使学生理解切线长的概念，掌握切线长定理．2．使学生学会运用切线长定理解有关问题．教学重点和难点：切线长定理是教学的重点．切线长定理的灵活运用是教学的难点．教学过程：一、复习提间：1．背诵切线的判定定理和性质定理．2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？二、讲授新课：1．切线长的概念(主要讲清“切线长”与“切线”的区别，其次交待一下为什么要定义“切线长”).教师先画出图形，图1，然后板书：已知P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点．接着，直接告诉学生：切线PA、PB是直线，但在研究切线的一些特性时，需要用到线段PA、PB或者它们的长度(同学们在以后做题时将体会到)所以给图中的线段PA、PB的长起个名字叫做“切线长”．切线长的定义是：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(教师边说边指示图形，然后再重复一次．)教师一定要强调指出，切线和切线长是两个不同的概念：切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点．2．切线长定理(讲清定理的条件和结论、证明方法，并要求学生课上基本记住)．教师先让学生观察上图，想一想，猜一猜，图形可能存在着什么关系(线段PA=PB)，能不能证明出线段PA=PB呢？我们先从已知条件考虑：由“PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点”可以得出什么？(连结OA、OB则∠OAP=Rt∠，∠OBP=Rt∠，且OA=OB)．再想一想能否证出PA=PB(连结OP得△OAP≌△OBP)．通过三角形全等，不但证明了PA=PB，而且证出了∠OPA=∠OPB．教师板书证明过程证明：连结OA、OB、OP．PA、PB切⊙O于A、B上面的内容概括成一个定理叫做切线长定理；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角(板书上面定理)．引导学生分析定理的条件和结论，并指出：这个定理是由一个条件和两个结论构成的．(给学生一点时间看图形、证明过程并记定理)．3.切线长定理的应用．(1)例已知：如图2，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线．A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．分析：本题给出两个条件，由条件“P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点“可得PA=PB，∠OPA=∠OPB．由条件“BC是直径”可得OB=OC，和直径有关的定理还有“直径所对的圆周角是直角”、“垂径定理”等．利用原有的图形，不能把“已知”和“求证”串联到一起，这就需要添加辅助线．(让学生说一说．然后教师归纳)“连结AB”后，可得出∠CAB=90°，PO垂直平分AB，这就把“已知”和“求证”之间的线路接通了．证明：连结AB、PA、PB分别切⊙O于A、B还可以得出另一种证法．证明：连结AB交OP于D．PA、PB分别切⊙O于A、B若“连结AO”也能证出此题，留给同学课下思考．(2)分析以切线长定理为基础的常见图形．已知：如图3，PA、PB切⊙O于A、B．①连结AB，可得出什么结果？(PA=PB，∠PAB=∠PBA)②再连结OP，可得出什么结果？(增加∠OPA=∠OPB，OP⊥AB，AC=BC，)．③如图4，连结OA、OB可得出什么结果？(∠OAP=∠OBP=90°，四边形AOBP内接于圆，∠AOB+∠APB=180°)④把上述辅助线都添加在同一图形中，可得出什么结果？(增加三角形全等，三角形相似及射影定理等内容)教师让学生再观察一次上面的图形，以加深印象，并指明它们都是轴对称图形，对称轴是直线OP．三、小结：本节主要学习了切线长定义和切线长定理．同学们要注意切线长和切线的区别；要注意切线长定理的灵活运用．要熟习添加不同的辅助线以后所得出的结果．四、课堂练习学生先看课文，然后练习．1．已知：⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm．求两条切线的夹角及切线长．2．PA和PB是⊙O的切线，A和B是切点．求证：OP垂直平分弦AB．3．如图5，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C．(1)写出图中所有的垂直关系．(2)写出图中所有的全等三角形．教师巡视，下课前做简要的讲评．五、作业：1．阅读课文并思考：什么叫做圆外一点到圆的切线长？切线长定理的内容是什么？这个定理是怎样证明的？2．已知：PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径.、CD是⊙O的切线，AB∥CD；EF也是⊙O的切线，它和AB、CD分别相交于点E和F．求证：∠EOF=90°．作业提示：3．利用“两直线平行同旁内角互补”和切线长定理可得∠OEF+∠OFE=90°．附注：1．若有学生提出定理中为什么用“引”字，可以大致解释为：“从一点引圆的切线”就是“从那一点出发向圆画切线”的意