2023年浙东北联盟 高二数学第二学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数f（x）＝，若函数f（x）的最大值为﹣1，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣2]2．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l1和l2，已知在两人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法正确的是()A．直线l1和直线l2有交点(s，t) B．直线l1和直线l2相交，但交点未必是点(s，t)C．直线l1和直线l2必定重合 D．直线l1和直线l2由于斜率相等，所以必定平行3．在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，则（）A． B． C． D．4．复数在复平面内对应的点在（）A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限5．设且，则“”是“”的()A．必要不充分条件B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件6．在椭圆中，分别是其左右焦点，若，则该椭圆离心率的取值范围是()A． B． C． D．7．函数（为自然对数的底数）的递增区间为（）A． B． C． D．8．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则的取值范围是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）9．函数y＝﹣ln（﹣x）的图象大致为（）A． B．C． D．10．设曲线及直线所围成的封闭图形为区域，不等式组所确定的区域为，在区域内随机取一点，则该点恰好在区域内的概率为（）A． B． C． D．11．已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A．1 B． C． D．312．已知直线与曲线相切，则实数k的值为（）A． B．1 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点，设函数（为自然对数的底数），定义在上的连续函数满足，且当时，，若存在，且为函数一个不动点，则实数的最小值为________。14．已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式为_________．15．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a＝________.16．设，则二项式的展开式的常数项是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设（Ⅰ）求的单调区间.（Ⅱ）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.18．（12分）已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为(为参数）.（1）写出直线的一般方程与曲线的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，得到曲线，设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的取值范围.19．（12分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC,PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求二面角E-AC-B的大小．20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），过原点的两条直线分别与曲线交于异于原点的、两点，且,其中的倾斜角为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求和的极坐标方程；（2）求的最大值.21．（12分）已知关于的不等式.（1）当时，解不等式；（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.22．（10分）已知复数，i为虚数单位．（1）求；（2）若复数z满足，求的最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

考虑x≥1时，f（x）递减，可得f（x）≤﹣1，当x＜1时，由二次函数的单调性可得f（x）max＝1+a，由题意可得1+a≤﹣1，可得a的范围．【详解】当x≥1时，f（x）＝﹣log1（x+1）递减，可得f（x）≤f（1）＝﹣1，当且仅当x＝1时，f（x）取得最大值﹣1；当x＜1时，f（x）＝﹣（x+1）1+1+a，当x＝﹣1时，f（x）取得最大值1+a，由题意可得1+a≤﹣1，解得a≤﹣1．故选：D．【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．2、A【解析】

根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。【详解】由于回归直线必过样本的数据中心点，则回归直线和回归直线都过点，做了两次试验，两条回归直线的斜率没有必然的联系，若斜率不相等，则两回归直线必交于点，若斜率相等，则两回归直线重合，所以，A选项正确，B、C、D选项错误，故选：A.【点睛】本题考查回归直线的性质，考查“回归直线过样本数据的中心点”这个结论，同时也要抓住回归直线的斜率来理解，考查分析理解能力，属于基础题。3、B【解析】分析：将两方程联立求出，再根据的几何意义即可得到OA的值.详解：由题可得：，由的几何意义可得，故选B.点睛：考查极坐标的定义和的几何意义：表示原点到A的距离，属于基础题.4、B【解析】

利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点的位置．【详解】，对应的点的坐标为，所对应的点在虚轴上，故选B．【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题．5、C【解析】或;而时,有可能为.所以两者没有包含关系,故选.6、B【解析】解：根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，将设|PF1|=2|PF2|代入得|PF2|=根据椭圆的几何性质，|PF2|≥a-c，故≥a-c，即a≤3ce≥，又e＜1，故该椭圆离心率的取值范围故选B．7、D【解析】,由于恒成立,所以当时,,则增区间为.,故选择D.8、D【解析】

由方程的解与函数图象的交点关系得：方程有五个不同的实数根等价于的图象与的图象有5个交点，作图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可。利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，得解．【详解】设，则的图象与的图象关于原点对称，方程有五个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有5个交点，由图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与切于点，，由，则过原点的直线与相切，，又此直线过点，所以，所以，即（e），即过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，故选．【点睛】本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程。9、C【解析】

分析函数的定义域，利用排除法，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数的定义域为，所以可排除A、B、D，故选C．【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理使用函数的性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了判断与识别能力，属于基础题．10、C【解析】分析：求出两个区域的面积，由几何概型概率公式计算可得.详解：由题意，，∴，故选C.点睛：以面积为测度的几何概型问题是几何概型的主要问题，而积分的重要作用正是计算曲边梯形的面积，这类问题巧妙且自然地将新课标新增内容——几何概型与定积分结合在一起，是近几年各地高考及模拟中的热点题型．预计对此类问题的考查会加大力度．11、B【解析】试题分析：由题知，，，，.，又故选B．考点：1、函数的零点；2、指数运算；3、函数的最值.12、D【解析】由得，设切点为，则，，，，对比，，，故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先构造函数，研究其单调性与奇偶性，再化简不等式，解得取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出的范围，即得最小值.【详解】由，令，则为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以在上单调递减，因为存在，所以，所以，即.因为为函数一个不动点，所以在时有解，令，因为当时，，所以函数在时单调递减，且时，，所以只需，得.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属难题.14、【解析】

由，可得当时的数列的通项公式，验证时是否符合即可.【详解】当时，,

当时，，经验证当时，上式也适合，故此数列的通项公式为，故答案为.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题.已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.15、1【解析】由双曲线可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．16、6【解析】试题分析：设第项为常数项，则，令可得故答案为6考点：二项式定理三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）0.【解析】

（Ⅰ）对分三种情况讨论，利用导数求的单调区间；（Ⅱ）先求出函数h(x)在上单调递减，在上单调递增，再求出，即得解.【详解】解：（I）时，令令故在单调递增，在上单调递减；0≤≤1时，恒成立，故在单调递增.时，令令故在单调递减，在上单调递增；综上：在单调递增，在上单调递减；时在单调递增.时，在单调递减，在上单调递增.（II）当时，由于在上单调递增且故唯一存在使得即故h(x)在上单调递减，在上单调递增，故又且在上单调递增，故即依题意：有解，故又故【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究不等式存在性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1)；；直线和曲线相切.(2).【解析】

（I）直线的一般方程为，曲线的直角坐标方程为.因为，所以直线和曲线相切.（II）曲线为.曲线经过伸缩变换得到曲线的方程为，则点的参数方程为（为参数），所以，所以的取值范围为.19、（1）见解析（2）135°【解析】试题分析：（1）一般线面平行考虑连接中点，形成中位线，连BD交AC于M,连接EM即可；（2）以A为原点建系，显然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角．试题解析：∵PA⊥平面ABCD，AB，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AB，且AC⊥AB，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．（1）∵D(1,-2,0)，P(0,0∴AE=(12设平面AEC的法向量为n1=(x,y,z)，则{12x-y+z=0又B(0,2,0)，所以PB=(0,2,-2)又PB⊄平面AEC，因此，PB∥平面AEC．（2）∵平面BAC的一个法向量为AP=(由（1）知，平面AEC的法向量为n1设二面角E-AC-B的平面角为θ（θ为钝角），则cosθ=-|cos<所以二面角E-AC-B的大小为135°．20、（1），；（2）4【解析】

（1）将曲线的参数方程化为普通方程，然后由代入化简后得出曲线的极坐标方程，由直线过原点且倾斜角为可直接得出直线的极坐标方程；（2）由题干条件得出直线、的极坐标方程分别为、，然后将这两条直线的参数方程分别代入曲线的极坐标方程可得出和，利用诱导公式以及辅助角公式化简得出关于的三角函数表达式，并利用三角函数的性质求出最大值．【详解】（1）由消去参数得普通方程为，即，所以极坐标方程为，即.的极坐标方程为.（2）将代入得，将代入得因为，所以.当时，的最大值为．【点睛】本题考查参数方程与普通方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，利用极坐标解决实际问题时，需注意极坐标适用于曲线上的点与原点线段长度相关的问题，解法步骤如下：（1）将曲线方程用极坐标方程表示出来，并将与原点相连的直线用极坐标方程表示；（2）将直线方程与曲线的极坐标方程联立，求出线段长度关于极角的三函数；（3）利用三角恒等变换思想以及三角函数基本性质求解．21、(1)；(2).【解析】试题分析：（1）当时，不等式变为。由绝对值的意义，按绝对值号内的的正负，分三种情况讨论：当时，不等式变为；当时，不等式变为，恒成立，所以符合不等式；当