人教课标实验B版-选修1-1-圆锥曲线与方程-椭圆-椭圆的几何性质“黄冈赛”一等奖

直线和椭圆的关系[复习目标]1．掌握椭圆的几何性质，掌握用坐标法研究直线与椭圆的位置关系，熟练地求弦长、面积、对称等问题.2．培养对数学的理解能力及分析问题、解决问题的能力.[几点说明][要点1]直线与椭圆的位置关系由直线与圆的位置关系不难推知直线与椭圆的位置关系有：直线与椭圆相交（有二个交点），直线与椭圆相切（有一个交点），直线与椭圆相离（没有交点）.[要点2]直线与椭圆的位置关系的研究方法.由直线与圆的位置关系研究方法不难推知直线与椭圆的位置关系的研究方法，即解方程组的思想方法.[重难点归纳]本节的重点是直线与椭圆的位置关系，难点是直线与椭圆的位置关系的研究方法的形成.[例题]例1已知椭圆.（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.分析：用方程组解的情况来判断，从方程角度看，主要是一元二次方程根的判别式△≥0.解：（1）解方程组，.∴弦长当m=0时，L取得取大值为，此时直线方程为y=x.例2中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线y=3x－2所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程.分析：根据题意可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用中点公式求得弦的中点的横坐标，最后解关于a、b的方程组即可.解：设所求椭圆方程为①把直线方程y=3x－2代入椭圆方程，整理得，设弦的两个端点为，则由根与系数的关系得∴②解：①、②得.故所求的椭圆方程为.例3过椭圆内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在的直线方程.分析：本例与例2有相似之处，可仿例2解法进行.由于本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究.解法一：设所求直线方程为y－1=k(x－2),代入椭圆方程并整理，得又M为AB的中点，∴故所求直线方程为x+2y－4=0.解法二：设直线与椭圆的交点为为AB的中点，∴.又A、B两点在椭圆上，则两式相减得∴故所求直线方程为x+2y－4=0.解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，由于中点为M(2,1)，则另一个交点为B(4－x,2－y).∵A、B两点在椭圆上，∴有①②①－②得，x+2y－4=0.由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为x+2y－4=0.例4椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴，，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程.解：当PQ⊥x轴时，F(－c,0),又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|.即.∴ac=a2－b2,∴e2+e－1=0∴所以PQ不垂直x轴.∵，∴.所以椭圆方程可化为①∵OP⊥OQ，∴，即.∴②解②得，，代入①解得c2=3.∴,椭圆方程为例5试确定实数m的取值范围，使椭圆上存在两点关于直线y=2x+m对称.（1986年广东高考题改编题）分析：作图分析可知，要使椭圆上存在两点关于所给直线对称，则必须确保所给直线与椭圆有两个交点，同时保证两个交点的中点在所给直线上.解法一：设存在∴AB的中点为.因M在直线y=2x+m上，∴解法二：设存在AB的中点为，∴，又A、B两点在椭圆上，两式相减得①又②解①、②得，因点在椭圆内，∴评注：（1）本题考查直线和椭圆的基础知识、位置关系及计算能力和逻辑推理能力.（2）原高考题是：已知椭圆C的方程为.试确定实数m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称.（答案：）练习（一）基础训练1．已知(0,－4)是椭圆的一个焦点，则实数k的值是（）A．6B．C．24D．2．若直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤1B．0＜a＜7C．1≤a＜7D．1＜a≤73．中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（）A．B．C．D．4．短轴长为的椭圆两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）A．3B．6C．12D．245．以椭圆的两个焦点为直径端点的圆交椭圆于四个点，若顺次连接这四个点及两个焦点恰好组成一个正六边形，则椭圆的离心率是________.1．D2．C3．C4．B5．

练习（二）能力训练6．已知M为椭圆上一点，F1、F2是其两个焦点，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于M点，若直线MF1（F1为左焦点）是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．已知直线l:（1）当m为何值时，l与C有两个不同的交点？一个交点？没有交点？（2）当m为何值时，直线，l被C所截得的弦长为？9．已知椭圆相交于A、B两点.（1）当时，求实数b的取值范围；（2）当且AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为时，求椭圆的方程.10．已知椭圆与直线x+y=1相交于A、B两点，C是AB的中点，若

（O为原点），求椭圆方程.10．分析：本例是一道综合性较强的问题，求解本题要利用中点公式求点C点坐标，从而得OC斜长，另外，还要用列弦长公式，同时有一定的运算量.解：由∴则由题得①②∴由①、②得∴椭圆方程为

谨以此篇文章献给即将走入考场的所有网校的高三毕业班学员：高考数学冲刺：小题要巧做大题勿放弃“小题要巧做、大题勿放弃。”具体有四点：其一、知识回顾。关于基础知识这一块，考生要回顾并系统地整理高中数学的基础知识和基本方法，在自己的头脑中形成明晰的知识体系。对自己感到薄弱的知识点及相关题目进行有选择的、有针对性的训练。如果有同学还想再做些新题目来训练思维的话，我建议只做中等难度的题目，切忌做难题。其二、合理安排时间。考生在选择题、填空题的答题时间应控制在40分钟左右，基础较弱的同学，最好在一个小时内完成。解答选择题和填空题的成功率力求达到85%。这块是得分的基础，一定要加强训练，得以确保。其三、考试审题须慎重。考生在审题时务必要把题设条件看清楚再动笔。有些考生为了图快，还没有理解题意，弄清条件，就急于作答，结果进入死胡同。比如：应用题的审题尤为重要。该题型的分值占的比较重，一般在20到22分之间，审题时需将那些与数学无关的内容抛开，以数学的眼光捕捉信息，构建模型。经验表明高考应用题的数学模型常常是简单的。当然还应注意将图形、文字、表格等语言转变为数学语言。其四、根据难易程度，小题要巧做，大题勿放弃。简单的选择题，每题的分值也有5分，所以像这样的小题要巧做。只要是会做的题目，就要保证不出错，建议大家解题时要一步步进行，不能跳步，因为跳步容易出错。高考毕竟是选拔人才的考试，题目会有一定的难度，每个题型都有把关的题，即便选择、填空题，也有个别题有一定难度。尤其是最后的大题一般难度较大，能做多少算多少，化整为零，争取将其中较易步骤的分拿到。高考马上就要开始了，祝所有的网校学员考出成绩！为培养你们多年全体老师及你们的父母交上一份满意的答卷。附中网校给即将参加2003年高考的同学们的寄语网校高三的学员：截止到本周，网校高三年级的同步教学数学学科内容就全部结束了。非常感谢您与附中网校的真诚合作，使我们在“教”与“学”的过程中，共同感受网络文化的熏陶，共同探究和创造人才培养的新模式。2003年全国统一高等院校招生考试就要开始了，这是您的又一次学习实践机会，也是人生的又一次挑战。我们相信，以您多年的学习积淀，只要思想放松、心态平稳，考前全面调动自己的情绪，您一定会在高考中发挥出最高水平，“奇迹是靠人创造的”。附中网校的全体老师预祝您高考取得好成绩，愿您金榜提名，迈入自己理想的大学。高考之后，您应该有适当的休息，调整身心，等待迎接大学新的学习生活。青少年的成长往往取决于几个关建时期，特别是今年高考时间的调整，使得您在高考后至上大学这个时段内，足有2个多月的时间，如何有效利用这段时间，对同学们是至关重要的。以附中多年教育经验，我们都要在高考后给学生以一些学习方面的指导意见，使学生不仅度过一个有意义的假期，而且能够为升入大学和以后的学习打下良好的基础。针对现阶段“非典”的特殊时期，应做好高考后的继续学习的活动安排。附中老师有以下的建议供参考：◎养成良好的生活及卫生习惯，积极有效预防“非典”，健康的学习和生活；◎学习与计算机有关的基础知识和基本应用；◎阅读中外名著，浏览增加人生阅历和科普知识方面的书籍；◎提前进行大学英语方面的学习，如：《二十一世纪英语》一书是各类大学较通用的教材；参加吉林大学等各大学在暑假里办的英语培训班；阅读各种英文版的小说；浏览网上的与英语有关的网站，如各大学网站、“英语城”网站等。以上建议适合于即将升入各类大学的