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文档简介

第六章不等式在日常生活和生产实践中,我们经常会遇到这样一些问题:1.小丽的家离学校akm,如果步行速度为bkm/h,为了保证上午八点钟以前到校,小丽最晚什么时候出发?2.为什么用相同材料做成圆柱型的容器比做成棱柱型的容器的容积大?在这两个问题中,前者是解不等式问题,后者是证明不等式问题,但它们的解决都离不开不等式知识和方法的系统掌握。自然界中的等量关系是相对的,而不等量关系是绝对的,不等量关系比等量关系的存在更具有普遍性,所以不等关系的研究具有重要的意义,在中学数学中是重要的内容。本章将在前面学过的一元一次不等式、一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法的基础上,进一步学习不等式的概念、不等式的性质、不等式的证明和一些简单不等式的解法。§不等式的性质【学习目标要求】运用数形结合的观点,认识实数顺序的规定,掌握判断两个实数大小的充要条件。理解不等式的重要性质,掌握这些性质的证明方法。会用不等式的性质解决一些简单问题。【基础知识导学】不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式。说明:(1)不等号的种类:>、<、≥(≮)、≤(≯)、≠。(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等)(3)不等式研究的范围是实数集R。2.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b,在a>b,a=b,a<b三种关系中有且仅有一种成立。判断两个实数大小的充要条件是a>bab>0a=bab=0a<bab<0由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号就可以了,这好比站在同一水平面上的两个人,只要看一下他们的差距,就可以判断他们的高矮了。3.不等式的性质定理1(反对称性)定理1(反对称性)a>bb<a定理4(乘以正负数)a>b,c>0ac>bca>b,c<0ac<bca>b>0as>bs(s为有理数)定理3(可加性)a>ba+c>b+c定理2(传递性)a>b,b>ca>c移项法则a+c>ba>b-c推论(加法法则)a>b,c>da+c>b+d推论1(乘法法则)a>b>0,c>d>0ac>bd推论2(可乘方)a>b>0an>bn(n为正整数)定理5(可开方)a>b>0(s为有理数)a>bab>0a=bab=0a<bab<0 不等式的性质是学好本章的基础,也是重点和难点,要掌握好需要注意以下几个问题:(1)充分重视不等式成立的条件,如b,c>da+c>b+d成立的条件是a、b、c、d可以是任何实数;a>b>0,c>d>0ac>bd成立需要的是两个同向不等式;a>b,ab>0成立只要a、b同号,因此,在运用不等式的性质时,多观察、多思考,考虑问题一定要全面细致。(2)注意比较“等式”与“不等式”的异同,如下表等式不等式说明a=bb=aa>bb<a改变不等式号方向a=bac=bc(c≠0)a>bacbc讨论c的符号a=b(ab≠0)a>b,ab>0不等式成立的条件是a、b要同号且不等式方向要改变不等号是不等式的特性,每次变形都要十分注意不等号的方向。(3)注意利用函数的观点来理解不等式的性质,例如由于函数y=x2在(0,+∞)上单调递增函数,故容易得a>b>0a2>b2。【重点热点解析】【例1】设A=(a2+a+1)(a2-a+1)-1,B=(a2+a+1)(a2-a+1)+a,(a∈R)试比较A与B的大小。【分析】由于A、B的表达式比较复杂,因此,判断一个数(或式子)A-B的正负比直接判断两个数(或式子)A、B的大小更有办法,故考虑用求差比较法来比较二者的大小。【解】A–B=[(a2+1)2-2a2-1]-[(a2+1)2-a2+a]=-a2-a-1=-∵a∈R,∴,-<0∴A<B.【评述】1.本例是用求差比较法来比较两个数A、B的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断。这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要。2.对于两个正数比较大小也可以“作商”:作商——变形(研究商是大于1、等于1、还是小于1)——判断。例如当0<x<1时,比较loga(1-x)与loga(1+x)的大小时,除了可以运用求差比较法,我们也可以用求商比较法来进行:设M==log1+x(1-x),∵1<1+x,0<1-x<1,∴M=-log1+x(1-x)=log1+x=log1+x>log1+x(1+x)=1,又loga(1+x)>0,loga(1-x)>loga(1+x).3.求差(商)比较法的关键是作差(商)后的变形,在变形时,常常要用到乘法公式、因式分解、配方等方法,甚至还要用到函数的有关性质。【例2】在下列命题(1)若x<y,则a2x<a2y;(2)若x<y,则x2n+1<y2n+1(n∈N*);(3)若c>x>y>0,则;(4)若x>y>1,则中,正确命题的序号是()A.(1),(3)B.(2),(3),(4)C.(2),(4)D.(1),(2)【分析】这类选择题需要逐个判断。【解】正确答案是B。对于(1),当a=0时,a2x=a2y,故命题错。对于(2),当0<x<y时,由定理4之推论(2)可知,结论成立;当x<0<y时,显然结论成立;当x<y<0时,有xy>0(x)2n+1>(y)2n+1x2n+1<y2n+1,结论成立;故命题(2)正确。对于(3),命题也是正确的,证明如下:x>yx<y0<cx<cy.故命题(3)正确。对于(4),由x>y>1,得,而函数y=logax当0<a<1时,在(0,+∞)上单调递减,故,故命题(4)也正确。综上所述,命题(1)错,命题(2)、(3)、(4)都正确,故选B。【评述】1.正确地理解和运用不等式的性质,是学好不等式的关键,在进行不等式变形时,要注意思考“理论依据”是什么,千万不可“随心所欲”。如本题中,在不等式两边同乘以某“数(式)”时,就必须认清所乘的“数(式)”的符号。2.函数的单调性往往是认识和处理不等式问题的有力武器,因此,在解决不等式问题时,应注意发挥函数的性质的作用。3.要否定一个命题,只要举一个反例即可,即用一组满足条件的特殊值进行验证即可;而要肯定一个命题,则需要进行严密的逻辑论证。【例3】已知a∈R,比较与的大小。【分析】由于a=-1时,无意义,而当a=0时,=,故对于实数a,要比较与的大小,应将R分为(-∞,-1)、(-1,0)、{0}、(0,+∞)等几部分,用分类讨论的思想进行比较。【解】而当a=0时,=.当a<-1,即a+1<0时,有-()=<0.∴<.当-1<a<0,即a+1>0时,有-()=>0.∴>.当a>0时,有-()=>0.∴>.综上所述,当a=0时,=;当a<-1时,<;当-1<a<0或a>0时,>.【评述】分类讨论是中学数学中的一种重要的数学思想方法。【例4】已知函数f(x)=ax2–c,-4≤f(1)≤-1,-1≤(2)≤5,求f(3)的取值范围。【分析】利用f(1)与f(2)设法表示a、c,然后再代入f(3)的表达式中,从而用f(1)与f(2)来表示f(3),最后运用已知条件确定f(3)的取值范围。【解】∵解得∴∵-4≤(1)≤1,故(1)又-1≤(2)≤5,故(2)把(1)和(2)的各边分别相加,得:-1≤≤20所以,-1≤(3)≤20.【评述】应当注意,下面的解法是错误的:依题意,得:由(1)(2)利用不等式的性质进行加减消元,得0≤a≤3,1≤c≤7(3)所以,由可得,-7≤(3)≤27.以上解法其错因在于,由(1)(2)得到不等式(3)是利用了不等式性质中的加法法则,而此性质是单向的,不具有可逆性,从而使得a、c的范围扩大,这样(3)的范围也就随之扩大了。【基本技能训练】选择题:如果a>b>0,c>d>0,则下列不等式中不正确的是CA.a-d>b-cB.C.a+d>b+cD.ac>bd2.如果a、b为非0实数,则不等式成立的充要条件是DA.a>b且ab<0B.a<b且ab>0C.a>b,ab<0或ab<0D.a2b-ab2<03.当a>b>c时,下列不等式恒成立的是BA.ab>acB.(a-b)∣c-b∣>0C.a∣c∣>b∣c∣D.∣ab∣>∣bc∣4.已知a、b为实数,则“a+b>2”是“a、b中至少有一个大于1”的AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件5.logm2>logn2的充要条件是CA.n>m>1或1>m>n>0B.1>m>n>0C.n>m>1或1>n>m>0D.m>n>1填空题:6.若-1<x<y<0,则,,,的大小关系为>>>。7.设角α、β满足,则α-β的取值范围为-π<α-β<0。8.若实数a>b,则a2-ab>ba-b2.(填上不等号)9.已知a>b>c,且a+b+c=0,则b2

–4ac的值的符号为正数。三、解答题:10.已知x、y均为正数,设M=,N=,试

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