第一节定积分

第一节定积分第1页，共28页，2023年，2月20日，星期三第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质定积分的概念及性质

第五章第2页，共28页，2023年，2月20日，星期三一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积第3页，共28页，2023年，2月20日，星期三解决步骤:1)

大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得第4页，共28页，2023年，2月20日，星期三3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积第5页，共28页，2023年，2月20日，星期三2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度n

个小段过的路程为第6页，共28页，2023年，2月20日，星期三3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限第7页，共28页，2023年，2月20日，星期三二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积

.记作第8页，共28页，2023年，2月20日，星期三积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即第9页，共28页，2023年，2月20日，星期三定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和第10页，共28页，2023年，2月20日，星期三定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略)例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n

等分,分点为取第11页，共28页，2023年，2月20日，星期三注第12页，共28页，2023年，2月20日，星期三[注]

利用得两端分别相加,得即第13页，共28页，2023年，2月20日，星期三例2.用定积分表示下列极限:解:第14页，共28页，2023年，2月20日，星期三说明:根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)第15页，共28页，2023年，2月20日，星期三(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.第16页，共28页，2023年，2月20日，星期三三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证:=右端第17页，共28页，2023年，2月20日，星期三证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是第18页，共28页，2023年，2月20日，星期三当a,b,c

的相对位置任意时,例如则有第19页，共28页，2023年，2月20日，星期三6.

若在[a,b]上则证:推论1.

若在[a,b]上则第20页，共28页，2023年，2月20日，星期三推论2.证:即7.

设则第21页，共28页，2023年，2月20日，星期三例3.

试证:证:

设则在上,有即故即第22页，共28页，2023年，2月20日，星期三8.

积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.第23页，共28页，2023年，2月20日，星期三说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因第24页，共28页，2023年，2月20日，星期三例4.

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:

已知自由落体速度为故所求平均速度第25页，共28页，2023年，2月20日，星期三内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算第26页，共28页，2023年，2月20日，星期三