一类爪形三角形问题的解题策略 论文

一类“爪”型三角形问题的解决策略摘要：解三角形试题是高考常考内容之一，是历年各省高考中的重点、热点问题，常与函数、不等式及三角、几何等相关知识结合，其试题灵活多变，知识点覆盖广泛，试题体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求[]，不仅考查学生对基础知识的掌握与应用、运算能力、推理判断能力等情况，而且重视考查学生的化归转化、数形结合等思想。体现了新课程“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”[]的命题理念。 关键词：解三角形，正弦定理、余弦定理、构造相似三角形，向量，基本不等式 引言：正弦定理、余弦定理是解三角形问题中常用的两个定理，其揭示了三角形中边与角之间的内在联系，熟练运用这两个定理是解决三角形问题的关键。但是有时候出题人在设置题目时正弦定理、余弦定理是隐性的，这对于有些学生来说问题就变的不太容易起来。笔者在平时做题中发现一类“爪”型问题具有一定的通性通法，为此写下此文，下面是本人的一些浅显的看法，仅供大家参考。一、典型例题分析例题1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为abc。2sinA=3cosB+asinB。（1）求角B的大小。（2）设点D是AC边的中点，若BD=3,求a+c的最大值。分析题目，寻找思路：第（1）问可由题中给出的等式结合正弦定理的变形化边为角，从而得出角B的正切值，进而得出角B的值。第（2）问可先画出图形进行分析观察，利用两角互补时，其余弦值和为0进而找到等量关系，同样也可以借助向量基本定理和数量积或者构造相似三角形等知识结合余弦定理解决，因此，本小问设计了以下三种解法。解：(1)由题意；因为2sinA=3cosB+asinB，AsinB，所以由正弦定理得：2sinBsinA=3sinAcosB+sin1可得：sinAsinB=3sinAcosB，因为AÎ（，），则sinA≠0，所以sinB=3cosB，即tanB=3，因为BÎ（，），可得B p=3。(2)解法一、（从“两角互补时，余弦值的和为0”的角度进行分析）因为ÐBDC+ÐBDA=p,所以cosÐBDC+cosÐBDA=0(★)因为D是AC边中点，所以CD=AD b=2，又BD=3，△BCD中，cosÐBDC=BD2+CD2-BC2=(3)2 b

+()22-a23b2+4-a2①=2BDCDb2323b△BAD中cosÐBDA=BD2+AD2-AB2=(3)2 b

+()22-c23b2+4-c2②=2BDADb2323b将①②式代入（★）式并化简，可得：2a2+2c2=12+b2③由第（1）问知，B=p,所以，在△ABC中，由余弦定理得：3AC2=AB2+BC2-2ABBC×cosÐABC，即b2=a2+c2-ac④，将④式带入③式消去b2得：a2+c2=12-ac，配方、移项得：ac=(a+c)2-12，因为ac£(a+c)2(当且仅当a=c时等号2成立）所以(a+c)2-12£(a+c)2(当且仅当a=c时等号成立），2即(a+c)2£16(当且仅当a=c=2时等号成立），所以解得a+c的最大值为4。解法二、（从向量的角度进行分析）2uuur 1uuur 1uuur因为D是AC的中点，所以由向量基本定理可知：BD= BA+ BC，2 2由向量数量积的性质知：

uuurBD

2=(

1uuurBA+

1uuurBC)2=1uuurBA

2+

1uuuruuurBABC+

1uuurBC2 2 4 2 4p uuur uuur p由第（1）问知B= ，所以BA与BC的夹角为 ；3 32，所以（3）2=1c2 1+4ac 1+4a2，即12=a2+ac+c2，即ac=(a+)2-12，4因为ac£(a+c)2(当且仅当a=c时等号成立）2所以(a+c)2-12£(a+c)2(当且仅当a=c时等号成立），2即(a+c)2£16(当且仅当a=c=2时等号成立），所以解得a+c的最大值为4。解法三、（从构造全等或相似三角形角度进行分析）延长BD至点E,使得DE=BD=3，连接AE、CE，因为D是AC的中点，所图1以△ADB@△CDE，所以EC=AB=，因为∠ABC=p，所以∠ECB=2p,33在△BCE中，由余弦定理知：BE2=CE2+CB2-2CECB×cosÐBCE，即（23=2 c2+a22p+××cos3，化简可得12=a2+ac+c2，即ac=(a+c)2-12，因为ac£(a+c)2(当且仅当a=c时等号成立）2所以(a+c)2-12£(a+c)2(当且仅当a=c时等号成立），2即(a+c)2£16(当且仅当a=c=2时等号成立），所以解得a+c的最大值为4。技巧总结：在解法一中，主要利用的是“两角互补时，两角的余弦值和为0”3列方程，从而在这两个角分别所属的三角形中利用余弦定理表示出余弦值，进而列出一个方程，但此方程中含有三个未知数，因此，需要再找到一个方程，此时在原三角形中借助余弦定理得到另一个方程，联立两个方程消去无关变量，最后再借助于基本不等式的性质完成解答。但此法的运算量较大且在求范围时不易求出。而解法二借助的是向量的相关知识列方程，此法相对于方法一来说，优势在于计算量明显有所降低，但是解法二仍然不利于求出取值范围。对于解法三，通过补形的思想，进而构造出全等或者相似三角形找到边之间的数量关系，从而在另一个三角形中利用余弦定理列出方程。虽然解法三与解法二都只需列出一个方程，但是解法三比解法二的优势在于解法三更加容易得出取值范围，比如说第(2)问如果求的是a+c的取值范围问题，则方法三相对来说就会更加容易些，限于篇幅，这里不再过多赘述。反思：该题的原型实际来自于普通高中教科书数学(A)版必修第二册第×六章53页第15题[]：△ABC的三边分别为abc,,,BCCAAB边上的中线分别为mmma b c，利用余弦定理证明ma=12(b2+c2)-a22mb=12(a2+c2)-b22mc=12(a2+b2)-c22证明：不妨设BC边上的中线为AD，易知ÐADB+ÐADC=p,所以cosÐADB+cosÐADC=0。在△ADB中，由余弦定理知：c2=ma2a2+4-ma××cosÐADB①在△ADC中，由余弦定理知：b2=ma2a2+4-ma××cosÐADC②由①+②得c2+b2=2ma2 1+2a2。所以ma2=12(b2+c2)-a2。2同理可证mb2=12(a2+c2)-b2和mc2 1=22(a2+b2)-c2。当然了，本题也24可以利用向量来证明，证法如下：因为uuurAD1=2uuurAB 1+2uuurAC，所以b2①,然后在原uuurAD2=1uuur2AB 1+2uuuruuurABAC 1+4uuurAC2,即ma2=1c2 1+2bccosÐBAC 1+444△ABC中，由余弦定理知：a2=b2+c2-2bccosÐBAC②。由①②可得ma2=12(b2+c2)-a2。2 当然，如果D是BC边上的三等分点，此时是否仍然可以用此类方法去求解呢？不妨我们也可以试着去证明，看看能得到什么样的结论。变式如下：△ABC的三边分别为abc,,,D是BC边上靠近B的三等分点，设AD=ma，试找出ma，a，b，之间是否具有与上述结论所类似的关系。这里呢，我们主要是想借助上面介绍的三种方法，看能否去解决这个问题，如果能，则说明以上方法可以进一步推广，在此就不再一种一种方法的去书写，下面直接选用向量的知识去解答，如下：因为D是BC边上靠近B的三等分点，uuur 1uuur 2uuur所以有AD= AC+ AB,根据向量数量积的性质可知：3 3uuurAD

2=9

1uuurAC

2+9

4uuurAB

2+9

4uuuruuurACAB,所以有ma2=19

b2+9

4c2+9

4bccosÐBAC①，另外在△ABC中，由余弦定理知：a2=b2+c2-2bccosÐBAC②，由①②可得：ma 1=33(b2+2c2)-2a2，在这个关系中，我们可以发现a，b，都是已知的量，所以说，用此法确实可以找出试找出ma，a，b，之间的关系,因此此法是可以推广的。同样的，我们可以证明当D是边BC上的n等分点时，仍然可以使用上面的某些或全部方法进行解答。二、直击高考(2021年新高考I卷第19题)记△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，。已知b2=ac，点D在边AC上，BDsinÐABC=asinC。(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC。分析题目，寻找思路：题干中给出了两个等式，对于第二个等式可借助于正弦定理进行变形，再结合第一个等式解答。第（2）问根据题中条件可知D是AC5边上靠近C点的三等分点，不妨先在草稿纸上画出图形，可发现其图形仍然形似“爪”形，这时就可以考虑用上述介绍的方法解答。如下：(1)证明：因为BDsinÐABC=asinC，所以BD a=sinsinC，由正弦定理：ÐABCsinb c=sinC知csinC=sinÐABC，所以BD=ac b，又因为b2=ac，所以BD=b。ÐABCb(2)解法一、(从“两角互补，其余弦值和为0”的角度)由题意知：BD=b，AD=2b，CDb=3.因为∠ADB+∠CDB=π，所以有3cos∠ADB+cos∠CDB=0，△ADB中，cosÐADB=4b2c2=13b2-c2，同+b2-992b2b×34b23理可得，cosÐCDB=b

()32+b2-a2=10b2-a2。所以有13b2-c2+10b2-a2=09992bb×32b24b22b2333整理可得2a2+c211b=32，又b2=ac.所以有2a2 b+a4 11=3b2。整理可得26a4-11ab22+3b4=0，解得：a2 1

=或3a2=3.由余弦定理知b2b22cosÐABC=a2+c2-b24

=-3a2.当a2 1b=3时，cosÐABC 7

=＞16不合题意，舍2ac2b2去；当a2=3时，cosÐABC=7，综上所述，cosÐABC=7。b21212解法二、(从向量的角度)由向量基本定理知uuurBD=2uuurBC 1+3uuurBA，所以uuurBD24=9uuurBC2 4+9uuuruuurBCBA 1+uuur2BA，39由第(1)问BD=b可知：b2=4a2 4+9accosÐABC 1+9c2，又由余弦定理知9 acos∠ABC=2+c2-b2，所以有b2=4a2 2+(a2+c2-b2) 1+9c2，整理得2ac9962a2+c211b=32，又b2=ac.所以有2a2 b+4 11=b2。整理得6a4-11ab22+3b4=0，a23解得：a2 1

=或3a2=3.由余弦定理知cos∠ABC=a2+c2-b24

=-3a2.当a2 1b=3b2b222ac2b2 7时，cos∠ABC=6＞1不合题意，舍去；。当a2b=3时，cos∠ABC=7，综上所述，cos∠ABC=721212解法三、(从构造相似三角形的角度)过点A作边BC的平行线，交BD的延长线于点E,由相似三角形的相关知识图2可得DBDC:DEDA.所以BD=CD=BC=1，所以DE=2b,BE=3b,AE=2a。EDADEA2在△ABE中，由余弦定理得cosÐBAE=c2+4a2-9b2，因为AE∥BC，所以4ac=0，∠EAB+∠ABC=π,所以cos∠EAB+cos∠ABC=0,即c2+4a2-9b2 a+2+c2-b24ac2ac整理得2a2+c211b=32，又b2=ac，所以有2a2 b+a4 11=3b2，整理得26a4-11ab22+3b4=0。解得：a2 1

=或3a2=3。由余弦定理知cos∠ABC=b2b22a2+c2-b24

=-3a2.当a2 1b=3时，cos∠ABC=7＞1，不合题意，舍去；2ac2b26当a2b=3时，cos∠ABC=7 7，综上所述，cos∠ABC=12。