四川省成都航天中学校2023年数学高二下期末质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为()A．90 B．60 C．120 D．1102．设，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（）A． B． C． D．4．已知是函数的极值点，则实数a的值为（）A． B． C．1 D．e5．已知函数的最小正周期为，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（）A． B． C． D．6．复数的虚部为（）A． B． C．1 D．-17．已知是虚数单位，若复数满足，则的虚部为（）A．-1 B． C．1 D．-38．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项数是()A． B． C． D．9．如图，阴影部分的面积是（）A． B． C． D．10．已知命题p：若复数，则“”是“”的充要条件；命题q：若函数可导，则“”是“x0是函数的极值点”的充要条件．则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．11．若函数与图象上存在关于点对称的点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．展开式中项的系数是A．4 B．5C．8 D．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，两条距离为4的直线都与轴平行，它们与抛物线和圆分别交于，和，，且抛物线的准线与圆相切，则的最大值为______.14．有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）15．=______．16．设等差数列的公差为，若的方差为1，则=________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，有一块半径为的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，在圆的直径上，在圆周上．（1）设，征地面积记为，求的表达式；（2）当为何值时，征地面积最大？18．（12分）设函数.（1）若在其定义域上是增函数，求实数的取值范围；（2）当时，在上存在两个零点，求的最大值.19．（12分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，的面积为，求，的值．20．（12分）已知函数，．（1）解不等式；（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

用所有的选法共有减去没有任何一名女生入选的组队方案数，即得结果【详解】所有的选法共有种其中没有任何一名女生入选的组队方案数为：故至少有一名女生入选的组队方案数为故选【点睛】本题主要考的是排列，组合及简单计数问题，考查组合的运用，处理“至少有一名”类问题，宜选用间接法，是一道基础题。2、A【解析】

由，可推出，可以判断出中至少有一个大于1.由可以推出，与1的关系不确定，这样就可以选出正确答案.【详解】因为，所以，，，显然中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符.由，可得，与1的关系不确定，显然由“”可以推出，但是由推不出，当然可以举特例：如，符合，但是不符合，因此“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，由，，，判断出中至少有一个大于1，是解题的关键.3、D【解析】

利用捆绑法：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列，利用排列组合的知识和分步计数原理求解即可.【详解】根据题意，分两步进行：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，同时对两名女歌手进行全排列有种选择；再把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列有种选择，由分步计数原理可得，共有出场方案的种数为.故选：D【点睛】本题考查利用捆绑法和分步乘法计数原理，结合排列数公式求解排列组合问题；考查运算求解能力和逻辑推理能力；分清排列和组合和两个计数原理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.4、B【解析】

根据函数取极值点时导函数为0可求得a的值．【详解】函数的极值点，所以；因为是函数的极值点，则；所以；解得；则实数a的值为；故选：B．【点睛】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题.5、C【解析】

利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值.【详解】由于函数的周期为，，则，利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.6、C【解析】

先化简复数，即得复数的虚部.【详解】由题得.所以复数的虚部为1.故选C【点睛】本题主要考查复数的运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算可得z＝1﹣3i，从而可得答案．【详解】,∴复数z的虚部是-3故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．8、C【解析】分析：分别计算当时，，当成立时，，观察计算即可得到答案详解：假设时成立，即当成立时，增加的项数是故选点睛：本题主要考查的是数学归纳法。考查了当和成立时左边项数的变化情况，考查了理解与应用的能力，属于中档题。9、C【解析】

运用定积分的性质可以求出阴影部分的面积.【详解】设阴影部分的面积为，则.选C【点睛】考查了定积分在几何学上的应用，考查了数学运算能力.10、C【解析】

利用复数相等和函数极值点的概念可判断p，q的真假；利用真值表判断复合命题的真假．【详解】由复数相等的概念得到p：真；若函数可导，则“”是“x0是函数的极值点”是错误的，当是导函数的变号零点，即在这个点附近，导函数的值异号，此时才是极值点，故q：假，为真.∴由真值表知，为真，故选C．【点睛】本题考查真值表，复数相等的概念，求极值的方法．由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．11、C【解析】

首先求关于点的函数，转化为其与有交点，转化为，这样的范围就是的范围，转化为利用导数求函数的取值范围的问题.【详解】设关于的对称点是在上，，根据题意可知，与有交点，即，设，，令，恒成立，在是单调递增函数，且，在，即，时，即，在单调递减，在单调递增，所以当时函数取得最小值1，即，的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题，有2个关键点，第一个是求关于对称的函数，根据函数有交点转化为，，求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理.12、B【解析】

把（1+x）5按照二项式定理展开，可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x2项的系数．【详解】（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出现的有1*10x2和﹣x*5x，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x2项的系数是10﹣5=5，故选B．【点睛】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先设直线的方程为，再利用直线与圆锥曲线的位置关系将用表示，再利用导数求函数的最值即可得解.【详解】解：由抛物线的准线与圆相切得或7，又，∴.设直线的方程为，则直线的方程为，则.设，，令，得；令，得.即函数在为增函数，在为减函数，故，从而的最大值为，故答案为：.【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，重点考查了运算能力，属中档题.14、60【解析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。详解：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一样故要排列）。共有60种。点睛：分配问题，先分组（组合）后分派（排列）。15、【解析】

试题分析：．考点：对数的运算．16、【解析】由题意得，因此三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）时，征地面积最大．【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用梯形面积公式建立函数关系求解；(2)依据题设运用导数与函数的单调性的关系进行探求.试题解析：（1）连接，可得，，，，所以，．（2），令，∴（舍）或者．因为，所以时，，时，，所以当时，取得最大，故时，征地面积最大．考点：梯形面积公式、导数与函数单调性的关系等有关知识的综合运用．18、(1);(2)-2.【解析】分析：（1）由在其定义域上是增函数，∴恒成立，转化为最值问题，然后进行分离参数求解新函数的单调性研究最值即可.（2）当时，，得出函数的单调性和极值，然后根据在上存在两个零点，列出等价不等式求解即可.详解：（1）∵定义域为，，∵在其定义域上是增函数，∴，，∵，∴实数的取值范围是.（2）当时，，由得，由得，∴在处取得极大值，在处取得极小值，∴是一个零点，当，，故只需且，∵，，∴的最大值为-2.点睛：考查导函数的单调性的应用以及零点问题，对于此类题型求参数的取值范围，优先要想到能否参变分离，然后研究最值即可，二对于零点问题则需研究函数图像和x轴交点的问题，数形结合解此类题是关键，属于较难题.19、（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用正弦定理将边角关系转化为角角关系，再利用配角公式进行求解；（Ⅱ）利用三角形的面积公式和余弦定理进行求解．试题解析：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理得，又，，∴，，∴．（Ⅱ）∵∴即∴或20、（1）（2）【解析】

（1）通过讨论的范围得到关于的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数和函数图象在区间上有交点，结合二次函数的性质分析函数的值域，即可得答案．【详解】解：（1）可化为，故，或，或；解得：，或，或；不等式的解集为；（2）由题意：，．故方程在区间有解函数和函数，图像在区间上有交点当时，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．21、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）证明，再证明平面，即可证明；（2）以为原点建立空间直角坐标系，再求平面以及平面的法向量，再求两个平面法向量夹角的余弦值，结合图像即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接，.因为四边形是菱形且，为的中点，所以.因为平面，所以，又，所以平面，则.因为，所以.（2）以为原点建立空间直角坐标系（其中为与的交点），如图所示，则，，，.设平面的法向量为，则，，即，令，得.设平面的法向量为，则，，即，令，得.所以，由图可知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二