第二章矩阵运算和行列式

第二章矩阵运算和行列式第1页，共96页，2023年，2月20日，星期三例1.某厂家向三个代理商发送四种产品.A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算第2页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算例2.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市到j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为1423A=(aij)=0111100001001010例3.直线的一般方程A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A1B1C1A2B2C2系数矩阵第3页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算3.向量n维行向量:1n矩阵[a1,a2,…,an]n维列向量:n1矩阵

a1a2…an第i分量:ai(i=1,…,n)n阶方阵:nn矩阵

2.方阵第4页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算4.两个矩阵的行数相等,列数也相等时,称它们是同型矩阵.5.若两个同型矩阵A=[aij]mn与B=[bij]mn

满足:对于任意的1im,1jn,

aij

=bij都成立,则称这两个矩阵相等,记为A=B.二.矩阵的线性运算1.加法两个同型矩阵A=[aij]mn与B=[bij]mn的和C定义为:C=[cij]mn=[aij+bij]mn.第5页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算注:①若矩阵A=(aij)mn的元素都是零,则称之为零矩阵,记为Omn.在不引起混淆的情况下,简记为O.②设矩阵A=(aij)mn,记A=(aij)mn,称之为A的负矩阵.③设A,B是同型矩阵,则它们的差定义为

A+(B).记为A

B.即A

B=A+(B).第6页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算2.数乘设矩阵A=(aij)mn,数k与A的乘积定义为

(kaij)mn,记为kA或Ak.注:矩阵加法和数乘运算统称为矩阵的线性运

算.即kA=Ak=ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn第7页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算3.性质定理2.1设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.第8页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算三.矩阵与矩阵相乘

例4.某厂家向三个代理商发送四种产品.A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150第9页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算例5.四个城市间的单向航线如图所示.若aij表示从i市直达j市航线的条数,则右图可用矩阵表示为1423A=(aij)=0111100001001010若bij表示从i市经另外一个城市到j市航线的条数,则由右图可得矩阵B=(bij)=21100111100002111234ij其中bij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.第10页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算1.设A=(aij)ms,B=(bij)sn,则A与B的乘积是一个mn矩阵C=(cij)mn,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=aikbkj.k=1s记为C=AB.称AB为“以A左乘B”或“以B右乘A”.a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32=a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如第11页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算2.矩阵乘积的特殊性(1)只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,乘积AB才有意义.(2)若A是一个mn矩阵,与B是一个nm矩阵,则AB和BA都有意义.但AB是一个m阶方

阵,BA是一个n阶方阵.当mn时,AB与

BA谈不上相等不相等.即使m=n,AB与BA是同阶方阵也未必相.例如:第12页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算1122241

210011122241

21001=0

000336112224=1122

1

212=0

0001122

1

212=3

33

3第13页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算定理2.2设k是数,矩阵A,B,C使以下各式中一端有意义,则另一端也有意义并且等式成立(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).对于(1)的证明,我们先来看一个具体的例子:a11

a12

a13a21

a22

a23如A=,b11

b12

b21

b22b31

b32B

=,c11

c12

c21

c22C=.第14页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32AB=BC=b11c11+b12c21

b11c12+b12c22

b21c11+b22c21

b21c12+b22c22

b31c11+b32c21

b31c12+b32c22a11

a12

a13a21

a22

a23A=,b11

b12

b21

b22b31

b32B

=,c11

c12

c21

c22C=.我们比较(AB)C和A(BC)的“规格”以及它们的第一行第一列处的元素.第15页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算一般地,设A=[aij]mk,B=[bij]ks,C=[cij]sn,AB=U=[uij]ms,BC=V=[vij]kn,则(AB)C=UC与A(BC)=AV都是mn矩阵,且(AB)C=UC的(i,j)元素是它恰好是A(BC)=AV的(i,j)元素.可见(AB)C=A(BC).uiqcqj

q=1s=[(aipbpq

)cqj]q=1sp=1k=(aipbpq

cqj)q=1sp=1k=(

aipbpqcqj)q=1sp=1k=[aip(bpq

cqj)]q=1sp=1k=

aipvpj

p=1k第16页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算

结合律的妙用之一设A=BC,其中B=,C=[123],123123246,369则A=我们可以定义A的正整数幂

(还有“妙用之二”喔~~~!)

A1=A,A2=AA,…,Ak+1=AkA,对于这里的A,A2005=?当然,对于任意方阵A,都可以像上面这样去定义A的正整数幂.而且有如下结论第17页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl(AB)k=AkBk但即使A与B是同阶方阵,也未必成立!注:不能说“因为AB=BA未必成立,所以(AB)k=AkBk

未必成立”.例如A=0

100,B=1

000,AB=0

000,BA=0

100,AB

BA,但(AB)k=AkBk成立.第18页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算(AB)k=AkBk要说明即使A与B是同阶方阵,也未必成立,只要举出一个反例即可.例如A=1

100,B=1

010,AB=2

000,A2=1

100=A,当然这里AB

BAB2=1

010=B,(AB)2=4

000,A2B2=AB=2

000,=1

111.第19页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算补充.

数学归纳法

1.第一数学归纳法原理:设P是一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立.②当nn0时,由“n=k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.第20页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算2.

第二数学归纳法原理:设P为一个关于自然数n的命题,若①P对于n=n0成立,②由“n0

n

k时P成立”可推出“n=k+1时P成立”,则P对于任意的自然数nn0成立.第21页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算例6.设A=cos

sin

sincos,.求证An=cosn

sinn

sinncosn证明:当n=1时,结论显然成立.假设结论对于n=k成立,即.cosk

sink

sinkcoskAk=cos

sin

sincos则Ak+1=AkAcosk

sink

sinkcosk=第22页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算cos

sin

sincosAk+1=AkAcosk

sink

sinkcosk=因此对于任意正整数n,coskcossinksin

cosksinsinkcos

sinkcos+cosksinsinksin+coskcos=cos(k+1)

sin(k+1)

sin(k+1)cos(k+1)=cosn

sinn

sinncosnAn=成立.第23页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算四.矩阵的转置

1.设矩阵A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,AT=a11

a21…am1a12

a22…am2

…………a1n

a2n…amn为A的转置.则称矩阵第24页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算定理2.3矩阵的转置运算满足如下性质(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=AT+BT,(3)(kA)T=kAT,(4)(AB)T=BTAT.五.几种特殊的矩阵

1.对称矩阵若矩阵A满足AT=A,则称A为对称矩阵.矩阵A=[aij]mn为对称矩阵的充分必要条件是:m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n).第25页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算2.对角矩阵方阵A=[aij]nn的a11,a22,…,ann称为对角线元素.若方阵A=[aij]nn除了对角线元素(可能不是0)以外,其它元素都是0,则称A为对角矩阵.对角线元素依次为1,2,…,n的对角矩阵有时也记为=diag[1,2,…,n],即=diag[1,2,…,n]=10…002…000…n.第26页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算3.数量矩阵若对角矩阵A=[aij]nn的对角线元素为同一个数,则称A为数量矩阵(纯量矩阵).可以证明方阵A=[aij]nn为数量矩阵的充分必要条件是对于任意n阶矩阵B,AB=BA.4.单位矩阵称为n阶单位矩阵.In=10…001…0………00…1nn第27页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算注:①对于n阶方阵A可以证明下列条件等价:(i)A为单位矩阵;(ii)对于任意nm矩阵B,AB=B.(iii)对于任意mn矩阵C,CA=C.②有时我们也把n阶单位矩阵In简记为I.有的书上用En表示n阶单位矩阵,简记为E.③利用克罗内克(Kronecker)记号ij=1,i=j

0,ijn阶单位矩阵In也可以表示为[ij]nn.第28页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.1矩阵及其运算六.方阵的多项式

设A为一个方阵,f(x)为一个多项式称之为方阵A的一个多项式.f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

规定f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0I

5.反对称矩阵若矩阵A满足AT=A,则称A为反对称矩阵.可以证明任何一个方阵都可以写成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和.第29页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.2方阵的行列式§2.2方阵的行列式一.二元线性方程组与二阶行列式(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2

(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21

当a11a22a12a210时,a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.第30页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

a11a12a21a22记D=,b1

a12b2a22D1=,a11b1a21

b2D2=,则当D=a11a22a12a210时,,=D1D=D2D.§2.2方阵的行列式a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一确定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21问题:①能用对角线法则定义四阶行列式吗?②用对角线法则定义的“四阶行列式”有用吗?第31页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.2方阵的行列式1

1001200001

10012仿照三阶行列式的对角线法则可得=121211(1)1=4+1=5.3

1005200001

13012=3212

15(1)1=12+5=17.但方程组x1+x2=3x1+2x2=5x3x4=0x3+2x4=3有唯一解x1=1x2=2x3=1x4=1175第32页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.2方阵的行列式二.排列的逆序数与奇偶性全排列把n个不同的元素排成一列全排列,叫做这n个元素的全排列(简称排列).n个不同元素的所有排列的种数通常用Pn表示.例如,用1,2,3三个数字可以组成如下6个没有重复的三位数:123,132,213,231,312,321一般地,Pn=n!=n(n1)…21.第33页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.2方阵的行列式2.逆序数对于n个不同的元素,先规定各元素之间的一个标准次序(如n个不同的自然数,可规定由小到大的次序为标准次序),一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇(偶)数的排列称为奇(偶)排列.于是在这n个元素的任意一个排列中,当某两个元素的先后次序与标准次序不同时,就说有一个逆序.第34页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.2方阵的行列式例1.求下列排列的逆序数(1)32514,(2)(2n)(2n2)…4213…(2n3)(2n1).3.对换在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动,称为对换.将相邻的两个元素对调,称为邻对换.注:①任一邻对换都改变排列的奇偶性.②任一对换都可通过奇数次邻对换来实现.第35页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.2方阵的行列式定理2.4.每一个对换都改变排列的奇偶性.1234567891234567推论.n2时,n个元素的所有排列中,奇、偶排列各占一半,即各有n!/2个.第36页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.2方阵的行列式三.n阶行列式的定义三阶行列式的特点每一项都是三个元素的乘积.a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33=a11

a22

a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.每一项的三个元素都位于不同的行和列.行列式的6项恰好对应于1,2,3的6种排列.各项系数与对应的列指标的排列的奇偶性有关.第37页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.2方阵的行列式a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33j1

j2

j3的逆序数对所有不同的三级排列j1

j2

j3求和a11a12a21a22第38页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

2.n阶行列式的定义a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann注:①当n=1时,一阶行列式|a11|=a11,这与绝对值符号的意义是不一样的.②设A=[aij]为n阶方阵,A的行列式记为|A|,或detA.§2.2方阵的行列式第39页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

3.几个特殊的行列式10…00

2…0…………00…n0…010

…2

0…………n…00=12…n

,12…n

.(1)对角行列式§2.2方阵的行列式第40页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

(2)上(下)三角形行列式a11a12…a1n

0a22…a2n…………0

0

…anna110…0

a21a22…0…………an1

an2…ann=a11a22…ann

.=a11a22…ann

.事实上,只有pi

i(i=1,2,…n)时,才有可能不为0.若有某个pk

>k,则必然有若有某个pl

<l,否则1+2+…+n=p1+p2+…+pn>1+2+…+n,矛盾!§2.2方阵的行列式第41页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

例2.设A=[aij]n×n,证明f()=|I－A|是的n次多项式,并求n,n－1的系数及常数项.a11a12…a1n

a21

a22…a2n…………an1an2…annf()=|I－A|=d1=(a11)(a22)…(ann)f(0)=|－A|=(－1)n|A|.A的迹,记为trA§2.2方阵的行列式第42页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

4.n阶行列式的另外一种定义a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann§2.2方阵的行列式第43页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算§2.3行列式的性质及计算一.行列式的性质性质1.DT=D.记D=行列式DT称为D的转置.记bij=aji,则DTa11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,DT=第44页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算性质2.互换行列式中的两行(列),行列式变号.证明:记互换行列式D中的第k,l行得到的行列式为D1.=

D.第45页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算注:互换第k,l行记为rkrl,互换第k,l列记为ckcl.推论.如果行列式D中有两行(列)完全相同,那么D=0.性质3.行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式记号外.事实上,若行列式D中有两行完全相同,交换这两行,得D=

D.因此D=0.对于有两列完全相同的情形,可类似地证明.第46页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算a11a12…a1n

ka21

ka22…ka2n…………an1

an2…ann例如a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=k.第47页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算性质4.若行列式D中有两行(列)元素成比例,则D=0.

a11

a12…a1n

ka11

ka12

…ka1n…………an1

an2…ann例如a11

a12…a1n

a11

a12

…a1n…………an1

an2…ann=k=0.性质5.行列式可按某一行(列)拆成两个行列式之和.如|A1,…,As+Bs,…,An|=|A1,…,As,…,An|+|A1,…,Bs,…,An|.第48页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算例1.a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

00

a33

0a41a42

a43

a44+a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44D=a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

0a32

0

0a41a42

a43

a44+a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

a31

0

0

0a41a42

a43

a44=a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

00

0

a34a41a42

a43

a44+a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

a31

0

0

0a41a42

a43

a44=a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

0

a32

a33

a34a41a42

a43

a44+第49页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算性质6.把行列式的某一行(列)元素乘以同一个数,再加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n

a21

…(a2i+ka2j)…a2j

…a2n…an1…(ani+kanj)…anj…ann=+a11…a1i…a1j…a1n

a21

…a2i…a2j

…a2n…an1…ani…anj…anna11…ka1j…a1j…a1n

a21

…ka2j…a2j

…a2n…an1…kanj…anj…ann第50页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算注:用常数k乘行列式D中的第j行(列)再加到第

i行(列)上,记为ri+krj(ci+kcj).例2.124(1)2213422124=0673423124=067

0

10

14124=2067057142=2

076075(1)142=2

076001=14.()53第51页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算(3)3112513420111533(2)=3112513420115500

=53112513420111100

=5

1312153402111100

=5

1100

021115341312(1)=5

11000211063402122第52页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算=5

11000411003400123=5

1100041100020012=5

1100041100120002=40.=5

11000211063402122第53页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算3111131111311113(3)6666

131111311113=1111131111311113=6(1)1111020000200002=6=48.第54页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算a

b

c

d

a

a+b

a+b+c

a+b+c+da2a+b3a+2b+c4a+3b+2c+da3a+b6a+3b+c10a+6b+3c+d(4)a

b

c

d

0a

a+b

a+b+c0a2a+b3a+2b+c0a3a+b6a+3b+c=(1)(1)(1)a

b

c

d

0a

a+b

a+b+c00a2a+b00a3a+b=(1)=a4.第55页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算注:①有些书上将上述转化过程用

rkrj,ckcj,ri+krj,ci+kcj等记号表示,并写在等号的上方或下方.但这样不够直观.②为了不引起混淆,每步最好只进行一个操作.例如:abcda+cb+dcda+cb+d

abr1+r2abcdabcadbcdcadbr1+r2r2r1r2r1第56页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算例3.设D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,证明:D=D1D2.证明:对D1施行ri+krj这类运算,把D1化为下三角形行列式:=p11

pm1

…

pmm

…...=p11…

pmm

,b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……a11…

a1m0…0……………………,am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnmbn1…

bnna11…a1m

am1…amm

D1

=……应用第57页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算对D2施行ci+kcj

这类运算,把D2化为下三角形行列式:b11…

b1nbn1…

bnnD2

=……=q11

qn1

…

qnn

…...=

q11…

qnn

,于是对D的前m行施行上述ri+krj运算,再对D的后n列施行上述施行ci+kcj

运算,可得:.p11

pm1

…

pmm

c11…

c1kq11cn1…

cnkqn1…

qnn…………=.....0=

p11…

pmm

q11…

qnn

=D1D2.a11…

a1m0…0……………………D=am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnmbn1…

bnn第58页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算性质7.方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积,即对于同阶方阵A,B,有如下乘

法公式|AB|=|A||B|.二.行列式按行(列)展开

a11

a12

a21

a22a11+0

0+a12

a21

a22=a11

0

a21

a22=0

a12

a21

a22+=

a11a22

a12a21=

a11·(1)1+1a22

+a12·(1)1+2a21第59页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算a11

a12

a21

a22a11

a12

a21+0

0+a22=a11

a12a21

0=a11

a12

0

a22+=a21a12+a11a22=

a21·(1)2+1a12

+a22·(1)2+2a11a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a11a12

a13

a21a22

a23

a31

0

0

=a11a12

a13a21a22

a230

a32

a33

+a11a12

a13

a21a22

a23

a31

0

0

=a11a12

a13a21a22

a230

a32

0

+a11a12

a13a21a22

a230

0

a33

+第60页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

a11a12

a13

a21a22

a23

a31

0

0

=a11a12

a13a21a22

a230

a32

0

+a11a12

a13a21a22

a230

0

a33

+a31

0

0

a11

a12

a13

a21

a22

a23

=(1)20

a32

0

a11a12

a13a21a22

a23+(1)20

0

a33

a11a12

a13

a21a22

a23+(1)2a31

0

0

a11

a12

a13

a21

a22

a23

=(1)2a320

0

a12

a11

a13a22

a21

a23+(1)2+1a330

0a13

a11

a12a23

a21

a22+(1)2+2§2.3行列式的性质及计算第61页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

a12

a13

a22

a23

=a31(1)2a11

a13a21

a23+a32(1)2+1a11

a12a21

a22+a33(1)2+2a12

a13

a22

a23

=a31(1)3+1a11

a13a21

a23+a32(1)3+2a11

a12a21

a22+a33(1)3+3a31

0

0

a11

a12

a13

a21

a22

a23

=(1)2a320

0

a12

a11

a13a22

a21

a23+(1)2+1a330

0a13

a11

a12a23

a21

a22+(1)2+2应用本节的例3§2.3行列式的性质及计算第62页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a12

a13

a22

a23

=a31(1)3+1a11

a13a21

a23+a32(1)3+2a11

a12a21

a22+a33(1)3+3a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33拆,移,降余子式代数余子式按第三行展开§2.3行列式的性质及计算第63页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij,令Aij

=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.例如,四阶阶行列式中a32的余子式为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a13

a14

a21

a23

a24

a41

a43

a44M32=,代数余子式A32

=(1)3+2M32=M32.§2.3行列式的性质及计算第64页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

定理2.5.n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.§2.3行列式的性质及计算第65页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

例4.计算D2n=.§2.3行列式的性质及计算D2n=adD2(n1)bcD2(n1).依次类推可得D2n=(adbc)n.第66页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算例5.证明n阶级(n2)范德蒙(Vandermonde)行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1证明:当n=2时,D2=(a2a1).现设等式对于(n1)阶范德蒙行列式成立,则(a1)(a1)(a1)…第67页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运算和行列式

§2.3行列式的性质及计算=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)Dn=

11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…第68页，共96页，2023年，2月20日，星期三第二章矩阵运