高中数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解

中学数学思想与逻辑：11种数学思想方法总结与例题讲解中学数学转化化归思想与逻辑划分思想例题讲解

在转化过程中，应遵循三个原则：

1、熟识化原则，即将生疏的问题转化为熟识的问题;

2、简洁化原则，即将困难问题转化为简洁问题;

3、直观化原则，即将抽象总是详细化.

策略一：正向向逆向转化

一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，假如从下面入手思维受阻，不妨从它的正面动身，逆向思维，往往会另有捷径.

例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种.

A、150B、147C、144D、141

分析：本题正面入手，状况困难，若从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简洁多了.

10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选(D).

策略二：局部向整体的转化

从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较困难的数学问题却须要从总体上去把握事物，不纠缠细微环节，从系统中去分析问题，不单打独斗.

例2：一个四面体全部棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为()

A、B、C、D、

分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，简洁出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选(A).

策略三：未知向已知转化

又称类比转化，它是一种培育学问迁移实力的重要学习方法，解题中，若能抓住题目中已知关键信息，锁定相像性，奇妙进行类比转换，答案就会应运而生.

例3：在等差数列中，若，则有等式

(成立，类比上述性质，在等比数列中，，则有等式_________成立.

分析：等差数列中，，必有，故有类比等比数列，因为，故成立.

二、逻辑划分思想

例题1、已知集合A=，B=，若BA，求实数a取值的集合.

解A=：分两种状况探讨

(1)B=￠，此时a=0;

(2)B为一元集合，B=，此时又分两种状况探讨：

(i)B={-1}，则=-1，a=-1

(ii)B={1}，则=1，a=1.(二级分类)

综合上述所求集合为.

例题2、设函数f(x)=ax-2x+2，对于满意1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围.

例题3、已知，试比较的大小.

于是可以知道解本题必需分类探讨，其划分点为.

小结：分类探讨的一般步骤：

(1)明确探讨对象及对象的范围P.(即对哪一个参数进行探讨);

(2)确定分类标准，将P进行合理分类，标准统一、不重不漏，不越级探讨.;

(3)逐类探讨，获得阶段性结果.(化整为零，各个击破);

(4)归纳小结，综合得出结论.(主元求并，副元分类作答).

十一种数学思想方法总结与详解

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质相识;基本数学思想则是体现或应当体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地进展着的。通过数学思想的培育，数学的实力才会有一个大幅度的提高。驾驭数学思想，就是驾驭数学的精髓。

1、函数方程思想

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时，还须要函数与方程的相互转化、接轨，达到解决问题的目的。

笛卡尔的方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的等等;不等式问题也与方程是近亲，亲密相关。列方程、解方程和探讨方程的特性，都是应用方程思想时须要重点考虑的。

函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行探讨。它体现了“联系和变更”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们娴熟驾驭的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的详细特性。在解决问题中，擅长挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题视察、分析、推断比较深化、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

函数学问涉及的学问点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有确定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系;实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等学问解答;等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。

2、数形结合思想

“数无形，少直观，形多数，难入微”，利用“数形结合”可使所要探讨的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。例如求根号((a-1)^2+(b-1)^2)+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点到(0，1)、(1，0)、(0，0)、(1，1)四点的距离，就可以求出它的最小值。

3、分类探讨思想

当一个问题因为某种量或图形的状况不同而有可能引起问题的结果不同时，须要对这个量或图形的各种状况进行分类探讨。比如解不等式|a-1|4的时候，就要分类探讨a的取值状况。

4、方程思想

当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行探讨以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

5、整体思想

从问题的整体性质动身，突出对问题的整体结构的分析和改造，发觉问题的整体结构特征，擅长用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的详细运用。

6、化归思想

在于将未知的，生疏的，困难的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟识的，简洁的问题。三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般特别转化，等价转化，困难简洁转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。

转化思想亦可在狭义上称为化归思想。化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者简洁解决的问题B，通过解决问题B来解决问题A的方法。

7、隐含条件思想

没有明文表述出来，但是依据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表述，但是该条件是一个常规或者真理。例如一个等腰三角形，一条线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。

8、类比思想

把两个(或两类)不同的数学对象进行比较，假如发觉它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

9、建模思想

为了更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性地描述一个实际现象，人们接受一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。运用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们须要做一些试验，但这些试验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的试验，试验本身也是实际操作的一种理论替代。

10、归纳推理思想

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳)，简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理

另外，还有概率统计思想等数学思想，例如概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。

我来举例子~~图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相像，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，找寻线段很关键。

干脆证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最便利。

要想证明是切线，半径垂线细致辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆

假如遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点确定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

协助线，是虚线，画图留意勿变更。

假如图形较分散，