第六章 样本及抽样分布

第六章样本及抽样分布第1页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/42从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作.但是,当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断.到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科.发展历史第2页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/43一门应用性很强的学科.它是研究怎样以有效的方式收集、整理和分析带有随机性的数据，以便对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议.研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的问题,尽可能地作出精确而可靠的结论.数理统计学数理统计的任务第3页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/441

随机样本

一、总体与样本

1.总体：试验的全部可能的观察值。组成总体的元素称为个体。从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。总体中所包含的个体的个数称为总体的容量，容量为有限的称为有限总体，容量无限的称为无限总体。例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体是一个总体，每个男生的身高是一个个体。第4页，共29页，2023年，2月20日，星期三2.

样本：来自总体的部分个体X1，…，Xn

如果满足：（2）独立性：

X1，…，Xn

相互独立；则称为容量为n

的简单随机样本，简称样本。它们的观察值x1，…，xn

称为样本值，又称为X的n个独立的观察值。（1）同分布性：

Xi，i=1,…,n与总体同分布.第5页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/46来自总体X的随机样本X1，…，Xn可记为或第6页，共29页，2023年，2月20日，星期三3.总体、样本、样本观察值的关系总体样本样本观察值？理论分布统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体第7页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/48二、统计量定义：设X1,…,Xn

是来自总体X的一个样本，如果它们的函数g(X1,…,Xn

)不含未知参数，则称g(X1,…,Xn)是总体X的一个统计量。几个常用的统计量：

第8页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/493.样本k阶矩

统计量和随机变量一般大写，而它们的观察值一般小写。第9页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/410抽样分布一、2—分布

统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：

2—分布、t

—分布和F—分布。

第10页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/4112.2—分布的密度函数f(y)曲线第11页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/4123.分位点设X

~2(n)，若对于：0<<1，存在满足则称为分布的上分位点。第12页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/4134.性质：a.分布可加性若X

~2(n1)，Y~2(n2)，X，

Y独立，则

X

+

Y

~2(n1+n2)b.期望与方差若X~2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n第13页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/414t(n)

的概率密度为二、t—分布1.构造若X~N(0,1),Y~2(n),X与Y独立，则t(n)称为自由度为n的t—分布。第14页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/4152.基本性质:

(1)f(t)关于t=0(纵轴)对称。

(2)f(t)的极限为N(0,1)的密度函数，即

3.分位点设T～t(n)，若对:0<<1,存在t(n)>0，满足P{Tt(n)}=，则称t(n)为t(n)分布的上侧分位点第15页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/416注:第16页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/4171.构造若U

~2(n1)，V~2(n2)，U，V独立，则

称为自由度为(n1,n2)的F—分布,其概率密度为三、F—分布第17页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/4182.F—分布的分位点对于：0<<1，若存在F(n1,n2)>0，满足P{FF(n1,n2)}=，则称F(n1,n2)为F(n1,n2)的上侧分位点；第18页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/419证明:设F~F(n1,n2),则注：得证!第19页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/4203正态总体的抽样分布定理第20页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/421证明:是n

个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布第21页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/422(3)证明:且U与V独立,根据t分布的构造得证!（1）和（2）的证明见书P172-174第22页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/423第23页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/424第24页，共29页，2023年，2月20日，星期三2023/5/425第25页，共29页，2023年，