第四章 抽样与抽样分布

第四章抽样与抽样分布第1页，共41页，2023年，2月20日，星期三第4章抽样与抽样分布4.1

常用的抽样方法4.2抽样分布（一）（一个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）4.3抽样分布（二）（两个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）4.4

中心极限定理的应用第2页，共41页，2023年，2月20日，星期三学习目标了解抽样的概率抽样方法理解抽样分布的意义了解抽样分布的形成过程理解中心极限定理理解抽样分布的性质第3页，共41页，2023年，2月20日，星期三4.1常用的抽样方法一、简单随机抽样二、分层抽样三、系统抽样四、整群抽样第4页，共41页，2023年，2月20日，星期三抽样方法第5页，共41页，2023年，2月20日，星期三一、简单随机抽样

(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得总体中每一个元素都有相同的机会(概率)被抽中

抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其他辅助信息以提高估计的效率第6页，共41页，2023年，2月20日，星期三二、分层抽样

(stratifiedsampling)将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计第7页，共41页，2023年，2月20日，星期三三、系统抽样

(systematicsampling)将总体中的各单位按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度第8页，共41页，2023年，2月20日，星期三四、整群抽样

(clustersampling)先将总体划分为若干个群，然后再以群作为调查单位从中抽取部分群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查。特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施当群为总体的一个缩影时，抽样估计误差小，否则误差较大。第9页，共41页，2023年，2月20日，星期三4.2抽样分布（一）

（一个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）一、抽样分布的概念二、样本均值的抽样分布三、样本比率的抽样分布四、样本方差的抽样分布第10页，共41页，2023年，2月20日，星期三样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布。随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据 一、抽样分布的概念

(samplingdistribution)第11页，共41页，2023年，2月20日，星期三抽样分布的形成过程

(samplingdistribution)总体计算样本统计量如：样本均值、比例、方差样本第12页，共41页，2023年，2月20日，星期三在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值的理论基础 二、样本均值的抽样分布第13页，共41页，2023年，2月20日，星期三1、样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)

，即总体单位数N=4。4

个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4

。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差第14页，共41页，2023年，2月20日，星期三样本均值的抽样分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）第15页，共41页，2023年，2月20日，星期三样本均值的抽样分布

(例题分析)计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5第16页，共41页，2023年，2月20日，星期三样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x第17页，共41页，2023年，2月20日，星期三2、样本均值的抽样分布

与中心极限定理=50

=10X总体分布n=4抽样分布xn=16当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x

的数学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)第18页，共41页，2023年，2月20日，星期三中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体x第19页，共41页，2023年，2月20日，星期三中心极限定理

(centrallimittheorem)x的分布趋于正态分布的过程第20页，共41页，2023年，2月20日，星期三样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样3、样本均值抽样分布的数学特征

(数学期望与方差)第21页，共41页，2023年，2月20日，星期三样本均值的抽样分布

(数学期望与方差)比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值

2.样本均值的方差等于总体方差的1/n第22页，共41页，2023年，2月20日，星期三抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布第23页，共41页，2023年，2月20日，星期三4、标准误(standarderror)

样本统计量的抽样分布的标准差，称为统计量的标准误，也称为标准误差，也称抽样标准差。标准误衡量的是统计量的离散程度，它测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度以样本均值的抽样分布为例，在重复抽样条件下，样本均值的标准误为

4、标准差的英文为：standarddeviation第24页，共41页，2023年，2月20日，星期三估计的标准误

(standarderrorofestimation)当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代替计算的标准误，称为估计的标准误以样本均值的抽样分布为例，当总体标准差未知时，可用样本标准差s代替，则在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误为第25页，共41页，2023年，2月20日，星期三三、样本比率的抽样分布比率是指总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

第26页，共41页，2023年，2月20日，星期三在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似推断总体比例的理论基础 样本比例的抽样分布第27页，共41页，2023年，2月20日，星期三样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样样本比例的抽样分布

(数学期望与方差)第28页，共41页，2023年，2月20日，星期三四、样本方差的抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布对于来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)的2分布，即第29页，共41页，2023年，2月20日，星期三由阿贝(Abbe)

于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)

分别于1875年和1900年推导出来设，则令，则Y服从自由度为1的2分布，即

当总体，从中抽取容量为n的样本，则2分布

(2

distribution)第30页，共41页，2023年，2月20日，星期三分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称期望为E(2)=n，方差为D(2)=2n(n为自由度)可加性：若U和V为两个独立的服从2分布的随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布2分布

(性质和特点)第31页，共41页，2023年，2月20日，星期三c2分布

(图示)

选择容量为n的简单随机样本计算样本方差s2计算卡方值2=(n-1)s2/σ2计算出所有的

2值不同容量样本的抽样分布c2n=1n=4n=10n=20

ms总体第32页，共41页，2023年，2月20日，星期三

4.3抽样分布（二）

（两个总体参数推断时样本统计量的抽样分布）一、两个样本均值之差的抽样分布二、两个样本比例之差的抽样分布三、两个样本方差比的抽样分布第33页，共41页，2023年，2月20日，星期三两个总体都为正态分布，即，两个样本均值之差的抽样分布服从正态分布，其分布的数学期望为两个总体均值之差方差为各自的方差之和 一、两个样本均值之差的抽样分布第34页，共41页，2023年，2月20日，星期三两个总体都服从二项分布分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立样本，当两个样本都为大样本时，两个样本比例之差的抽样分布可用正态分布来近似分布的数学期望为方差为各自的方差之和 二、两个样本比例之差的抽样分布第35页，共41页，2023年，2月20日，星期三三、两个样本方差比的抽样分布

两个总体都为正态分布，即X1~N(μ1,σ12)，X2~N(μ2,σ22)从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本两个样本方差比的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)，分母自由度为(n2-1)的F分布，即第36页，共41页，2023年，2月20日，星期三由统计学家费希尔(R.A.Fisher)

提出的，以其姓氏的第一个字母来命名设若U为服