2023年高考数学(新课标版)专题24绝对值不等式和不等式的证明(选修3)含解析

--19-【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2023课标全国】函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.〔Ⅰ〕当a=-2f(x)＜g(x)的解集；a x a1 fx x a〔Ⅱ〕设

＞－1，且当

∈[－，)时，22

()≤g(

的取值范围.【答案】25x,x12a2y2x12x2x3x2,1

x1 23x6,x1当x(0,2)时，y0，故原不等式的解集为x0x2；〔2〕1ax3xa2对a1a

a2，4

2 2 2故a

3，故a的取值范围是1,3. 〕构造函数y2x12x2x3，作出函数图像，观看可知结论〔2〕利用分别参数法进展求解.ab2.【2023高考全国1】假设a0,b0，且11 .aba b〔Ⅰ〕求a3b3的最小值；〔Ⅱ〕是否存在a,b，使得2a3b6？并说明理由.【2023当a1时，求不等式

fxx12xa，a0.fx1的解集；假设

fx的图像与x6a的取值范围.解析〔1〕当a1fx1x12x110．x„1fxx40，无解；当1x13x202x1；3x…1x20，解得1„x2．综上所述，当a1时，fx1的解集为22．3 3 x12a,x1〔2〕a0fx3x12a1剟xx12a,xa2a1

a，作图，图像与x轴所围成三角形的三个顶2 2A

,0，B2a1,0，Ca,a1，S

a2，即a

6， 3 解得a2，所以a的取值范围是2,．

△ABC 3 3yyCOABx【2023abcd均为正数，且abcd.证明：abcd(1)假设abcd，则 ；abcdcdab(2) cdab

abcd的充要条件.【热点深度剖析】2023年高考的类型是含有两个确定值的不等式，主要考察含有确定值的函数图象与性质以及不等式问题，考察利用数形结合的力气以及化归与转化思想.2023不等式的灵敏应用．202312明及充要条件.从三年试题来看，高考对这局部要求不是太高，会解确定值不等式，会利用柯西不等式，根本不等式求最值，而解确定值不等式是高考的热点，推想2023年高考全12还没有考察过，应引起重视．【重点学问整合】1、含确定值不等式的解法①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，②|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．1：S1令每个确定值符号里的一次式为0，求出相应的根．S2把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成假设干个小区间．S3在所分区间上，依据确定值的定义去掉确定值符号，争论所得的不等式在这个区间上的解集．S4这些解集的并集就是原不等式的解集．解法2：构造函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c，写出f(x)的分段解析式作出图象，找出访f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可．3|x－a|＋|x－b|表示数轴上点P(x)到点A(a)、B(b)距离的和．关键找出到A、B两点距离之和为c的点，“≤”取中间，“≥”取两边．的解集为，的解集为R.2、几个重要的不等式定理122≥a(，∈R)，当且仅当＝b时取等号．2

a＋b≥

)，当且仅当a＝b时取等号．2a＋b＋c3定理3 3 ≥

＋

)，当且仅当a＝b＝c时，取等号．＋1定理4 aa

(a∈R

，i＝1,2，…，n)，仅当a＝a＝…＝a时取naa…an(naa…an1 2 n 12

n i

1 2 n等号．确定值三角不等式1|a|＋|b|≥|a＋b|(a，b∈R)，仅当ab≥0②定理2设a、b、c∈R，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0号成立．③推论||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.分式不等式abn

b－nbb＋m假设>>

>0，

3、不等式的证明方法比较法：依据a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0来证明不等式的方法称作比较法．根本步骤：作差→配方或因式分解→推断符号→得出结论．综合法：证明不等式时，从命题的条件动身，利用公理、的定义、定理、性质等，逐步推导得出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法．分析法：证明不等式时，从待证命题动身，分析使其成立的充分条件，利用的一些根本原理、逐步探究，最终将命题成立的条件归结为一个已证明过的定理、简洁事实或题设的条件，这种证明方法称为分析法，它是执果索因的方法．分析法与综合法常常结合起来运用，看由条件能产生什么结果，待定命题需要什么条件，两边凑一凑找出证明途径，常常是分析找思路，综合写过程．反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题不正确，把它作为条件和其它条件结合在一起，利用定义、定理、公理等根本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理或公认的简洁事实相冲突的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而确定原命题的结论成立的方法称为反证法．放缩法：证明不等式，有时依据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，到达证明目的，这种方法称为放缩法．4、柯西不等式一般形式：1 1设aaa、b、bbaaa)(b＋bb2)1 2 n 1 2

1 2 n 21 2 n 2≥|ab＋ab＋…＋ab|.11 22 nna a其中等号成立⇔1＝2＝…＝nb＝0时，认为a＝0，j＝1,2，…，n)．b b j j1 2 n定理3设a、a、bb为实数，则a2＋a＋b2b2≥(a＋b2ab)，等号1 2 1 2

1 2 1

1 1 2 2成立⇔存在非负实数λμμa＝λb，μa＝λb.4(平面三角不等式)

1 1 2 2(b－c)2＋bc)21 1 2 2设aab、b、c、c∈R，则(b－c)2＋bc)21 1 2 21 2 1

2 1

1 1 2 2≥≥(a－c)2＋ac)，1 1 2 2等号成立⇔存在非负实数λ和μμ(a－b)＝λ(b－c)，μ(a－b)＝λ(b－c)成1 1 1 1 2 2 2 2立，其几何意义是三角形两边之和大于第三边．二维形式的柯西不等式：1(代数形式)设a1、a2、b1、b2(a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2.上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.2(向量形式)设α、β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|α及β为非零向量时，上式中等号成立⇔αβ共线⇔存λ≠0，α＝λβα或β为零向量时，上面结果仍成立．(55(三角不等式的向量形式)α－β、β－γ为非零向量时，上式中等号成立⇔λα－β＝λ(β－γ)⇔α－β与β－γ同向．5、排序不等式a≤a≤¡≤a，b≤b≤¡≤b为两组实数，c、c、¡、c为b、b、¡、b

的任一排1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n列，则有ab＋ab＋¡＋ab≤ac＋ac＋¡＋ac≤ab＋ab＋¡＋ab，等号成立(反1n 2

n－1

n1 11 22

nn 11 22 nn序和等于挨次和)⇔a＝a＝¡＝ab＝b＝¡＝b.1 2 n 1 2 n即反序和≤乱序和≤挨次和．【应试技巧点拨】确定值三角不等式定理的应用对于确定值三角不等式定理：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，要从以下两个方面深刻理解：(1(2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们常常用于含确定值的不等式的推证．例1f(x)＝|3－x|＋|x－2|的最小值为 ．解析：∵|3－x|＋|x－2|≥|3－x＋(x－2)|＝1，∴f(x)min＝1.确定值不等式的解法形如|x＋a|±|x－b|≥c不等式的解法常用零点分段争论法，其步骤为：①求零点；②划分区间、去确定值号；③分别解去掉确定值的不等式；④取每个结果的并集，特别留意在分段时不要漏掉区间的端点值．上述不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的几何意义去求解集．确定值不等式的证明含确定值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简洁的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉确定值转化为常见的不等式证明题，或利用确定值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含确定值的不等式，往往可考虑利用一般状况成立则特别状况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．利用柯西不等式证明不等式使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的构造形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有全都形式时，就可使用柯西不等式对这个式子进展缩小或放大，从而证得问题．【考场阅历共享】1．使用均值不等式求最值时，必需满足“一正、二定、三相等”的条件，且留意变形配凑技巧．ab根本不等式及其变式中的条件要准确把握．aba2b2

2ab(a,bR)，ab2

a,bR)等．含确定值三角不等式：|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件应留意|a＋b|＝|a|＋|b|中a·b≥0，而|a－b|＝|a|＋|b|中a·b≤0等．4．用作商法证明不等式应留意：A>

AB>1A<B.因此，用作商法必需先判定符号．<分析法证明不等式的每一步都是寻求不等式成立的充分条件．换元法证明不等式时要留意换元后元的取值范围无视它会导致错误结论或无法进展下去．应用放缩法证明不等式时，放缩要适当，既不能放的过小，也不能放过了头．用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑适宜的项便于应用归纳假设．应用柯西不等式关键是分析、观看所给式子的特点，从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立的条件．柯西不等式及排序不等式中a,b(i＝1,2，…，n)均为实数，而平均值不等式中a为正i i i数．【名题精选练兵篇】1【20233fxx1x1,不等式fx4的解集为M．求M；当a,bM时,证明：2ab4ab〔1〕①x1时,解得1x2；②当1x1时,解得1x1；x1时,解得2x1．综上,不等式的解集M2,2． 〔2〕4a22ab

a2b28ab16．只需证明a2b24a24b2160,即需证明a24 b24 0．∵a,b2,2,∴a2

4,b2

4．∴a24 0,b2 a24

b2

0,所以原不等式成立．【2023〔二f(x)|x+2||xa|假设不等式f(x)a0恒成立，求实数a的取值范围；3f(x)…x恒成立，求实数a的取值范围.2【解析】(1)当a≥0f(x)a0恒成立，

(aR).a0f(xaf(x)的最小值|a2|a，解得a1.(2)依据函数f(x)a2

3a时，f(x3xa4，2 2所以a的取值范围是(,4]f(x3x恒成立.2【2023【2023f(x)x2x1f(x)1的解集M.〔Ⅰ〕求M；〔Ⅱ〕aM,比较a2a11a

的大小.x1,x0 1〔Ⅰ〕f(x)x2x1

1,0x2 2x0

0x1

x1由f(x)1，得 或

2 或 2x11 3x11 x110x2M{x0x2}【2023设〕＝－,R．〔Ⅰ〕当－2≤x≤3f〔x〕≤4成立,求实数a的取值范围；〔Ⅱ〕假设存在实数x,使得f〔x－a〕－f〔x＋a〕≤2a－1成立,求实数a的取值范围．【解析】(1)f(x)4,即xa4 可得4xa4x4ax4,故而1a2,a[1,2].〔2〕f(xa)f(xa)x2ax,又 x2ax2a, 故而2ax2ax2a,存在实数x ,使得f(xa)f(xa)2a1成立,2a2a1即可.当a0时2a2a1,a综上所述,实数a1+.

1;a,2a2a;44

fxx16..【2023福建4月质检】函数 .(Ⅰ)求使不等式fx2x11的解集M；(Ⅱ)设abMfabfafb.解法二：〔Ⅰ〕同解法一．〔Ⅱ〕fafba1b1a1b1ab，fabfafbab1ab，ab12ab2， 即证a2b22ab1a22ab 即证a2b2a2b210，即证a21 b210． 由于a,bM，所以a21,b21，所以a21 b210成立，所以原不等式成立．【2106唐山二模】函数f(x)＝|x＋1|＋m|x－1|．〔Ⅰ〕当m＝2f(x)＜4〔Ⅱ〕假设m＜0，f(x)≥2mm的最小值．【2023|x2||x2|18A．A；假设a，bA，

abx4m，不等式 x

恒成立，求实数m的取值范围. x2

2x2 【解析〔1〕假设|x2||x2|18，则(x2)x2)18或(x2)x2) 或 x2(x2)(x2)18，解得9x9A(9,9)；〔2〕∵a，bAa，b(9,9)，x4x∴ab(18,18)，∵x4mx4xxm418，

m，∴(x

4m)x

m4，由题可知，min∴m14.【2106疆乌鲁木齐一诊函数f(x)xa2xb(a0,b0)的最小值为1.(Ⅰ)求ab的值12a b

的最小值.【2106辽宁省沈阳质量监测〔一】命题“abc，1 1 t ”是ab bc ac真命题，记t的最大值为m，4nRnsinncosm1”是假命题，其中(0,).4(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)求n的取值范围.【解析〔Ⅰ〕由于“abc，1 1

2”是真命题，ab bc ac所以abc，1 1

恒成立，ab bc ac又abc，所以t(ac)( 1

1 恒成立，ab bc所以，t[(ac)( 1 1 )]ab bc

min又由于(ac)( 1 1 )(abbc)( 1 1 )ab bc ab bc

4”成立当且仅当bcab时.ab bc4t4m4.Ⅱ〔ⅠnRnsinncosm1”4是假命题，nRnsinncos

2”是真命题.2nsinncosnsincosnsincos

〔(0,)，2222nsinncos2

sincos

，即时.24222n22

n

n2222222【2023f(x)|1x1||x|xR222a.求a；两个正数m，nm2n2

a，求

11的最小值.m n12fx)|x2|g(x)|x3|m．xgx)0的解集为[5,1]，求实数m的值；fxgx图象的上方，求实数m的取值范围．，分m35 m 3 1

，所以m=2.〔2〕由于f(x)图象总在g(x)图象上方，所以f(x)>g(x)恒成立，即x2x3m恒x2x3(x2)x3)5，当且仅当(x2)(x3)0时等式成立，所以m(,5).13．ab0，且ma1．(ab)b〔Ⅰ〕试利用根本不等式求m的最小值t；〔Ⅱ〕xyzx24y2z2tx2yz3．函数xf(x)k有解，求k的最大值；求不等式: 的解集． -3 x2【解析〕f(x)2x7 2x5 当2x时32x73，所以3f(x)3，

x5，kf(x)，k3，k

3max〔2〕由〔1〕x2时,fx)x28x15的解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15的解集为：{x5 3x5}；当x5时，f(x)x28x15的解集为：{x5x6}；综上，不等式f(x)x28x15的解集为：{x5 3x6}；设函数f(x)mx2mx1.xfx)0恒成立，求m的取值范围.x[1,3],f(x)m5恒成立，求m的取值范围.m0 m0【解析〔1〕①m0时，命题意② 0 m24m0

4,0)，综上可知m(4,0]〔2〕x[1,3],mx2mxm60g(x)mx2mxm6m0时，命题意②m0时，对称轴x1，当m0时，满足：g(1)0m6m0 当2m0g(3)00m67m(,6)716.〕f(x)x11|x3|2f(x)2的解集；1假设不等式f(x)a(x )的解集非空，求实数a的取值范围.121 1 1〔2〕设g(x)a(x )，g(x)表示过点( ,0〕，斜率为a的直线，f(x)a(x )的2 2 2yf(x)g(x)图像下方有图像，或与g(x)图像有交点，由图像可知a3或a4.2 7【名师原创测试篇】1．fxx1xR．2〔I〕fxfx15的解集； 1212x,x2【解析〔I〕fxfx1x1x312x12x32,1x32 2 2

2 2 3所以fxfx15的解集为xx2 〔II〕g(x)f2x55x2x14，由4|g(x)g(a)||x2a2ax||(xa)(xa1)|

2x1,x2=|xa||xa1||xa1||(xa)2a1||xa||2a|1|2a|