全日制高考最后冲刺讲义三角虹足

一、2016三会进行弧度制与角掌握、、2k2(kZ会用这些进行恒等变形和解决有了解半角的正弦、余会进行简单的三角知道一般周期函数的理解正弦函数和余会用“五点法”画正弦函数和余弦函数yAsin(x了解三角函数的实际应yAsin(x)等一般三角弦函数和反正切函数的余弦函数和反正切函Asin(x)a，asinxbcosxcasin2xbsinxc0asin2xbcosxc01】已知是第二象限的角，且cosa，利用a表示tan11

acosa知sin

1a11a1 2】已知0,且sincos53

，则tan【答案】4进行正确的取舍.由sincos12sincos240，又由0,知

,) 则有sin0cos0(sincos)212sincos49，得sincos7有sin

3,cos

3，所以tan 34【例3】若sinm3,cos42m,,，则m的取值范围是

A3m Bm Cm Dm【答案】 2【分析】很多学生会想到因为 ,，所以sin0,cos0，导致选择C，但此法忽略2 sin2cos211】sinsin=1，coscos1

),求cos()34

2】已知sin(22sin0sin[(2sin[即sin(coscos(sin2sincos(2cossin(∴3sin()cossincos(3】3cos(12sin(3sin2 【分析】注意角度的变换及角度的范围4】在△ABCtanAtanBtanC33tan2BtanA

则B 【答案】tantan，tantan，就应该想到正切的11

tan2 【答案】【分析】注意万能的准确使用例6、设f(x)asin(x)bcos(x)4，且f(2003)5，则f(2004) 【答案】【分析】注意诱导的准确使用（（二倍角：sin22sincos；cos2

sin

2 ；tan 1tan2降幂：cos22cos2升 ：cos21cos2

cos212sin2sin21cos111 sin 1半 ：

cot1

tan 1

1tan2

万 ：sin 2,cos tan 21tan2 1tan2 1tan2 1】1cossin1cossin1cossin【答案】2【分析】注意升幂的运用11 11cos

1cossin3

2sincos

22 23】已知6sin2sincos2cos20,,，求sin(2的值 5536sin2sincos2cos20得：6tan2tan2

，则tan 121tan2.31tan21tan2 .知)531tan2 3）已知cos,,3tan522

2

,

tan2.3.

sin22 121tan2 （2）已知sin

. ,且是第二象限角，求 ,

的值【答案】(11(2)cos10sin310tan ”2正切的绝对值就较大，角的终边“靠近x轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大1】已知[0,]，若sin|cos|0，则的取值范围是【答案】4

【分析】由sin|cos|0[0,|sin||cos|知其角的终边应“靠近”y轴，所以4

4（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小tantan未必有；由tantan；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sinsin；则2k

2kkZ

coscos

2kkZtantan则kkZ【例1】已知,都是第一象限的角，则“”是“sinsin”的 【答案】【分析】都是第一象限的角，不能说明此两角在同一单调区间内.3

但

6

.【例2】已知0,0,，则“”是“sinsin”的 【答案】【分析】注意到由,(0,，则可以看作是一三角形的两内角.6、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关abc的齐次式（等式

sin

sin

sin

2R（R是△ABC外接圆半径1在△ABC中，abc分别是ABC对边的长.已知abca2c2acbc求AbsinB的值c332abc成等比数列得b2aca2c2acbc化成b2c2a2bccosA

b2c2a

2

.由b2ac

a

=b

sinAsin 3 37、在△ABCabABsinAsinBsinBC)sinAcos(BC)cosA

B2

B2

A等常用的结论须记住.A、B、C2B31】（1）已知△ABC三边abcB（2）已知△ABC三边abcB的取值范围3

]；（2）(0,3

a2c2【分析】（1）由△ABC的三边a,b,c成等差数列，则2bac，cosB ，消去b化3(a2c2 cosB .所以B 同样可以求得B 3【例2】在△ABC中，若2cosBsinAsinC，则△ABC的形状一定是 【答案】ABCsinCsinAB)sinAcosBcosAsinB2cosBsinA则sinAcosBcosAsinB0sinAB)0AB.所以△ABC是等腰三角形3】在ABCABC的对边分别是abc，且A2Bsinsin

等于 A． D． 【答案】【分析】由sin3Bsin(3BsinC4】△ABCA、B、C的对边分别为abc，已知abc成等比数列，且cosB34求cotAcotC的值；（2）BABC

3ac的值24【答案】47

【分析】（1）cotAcotCcosAcosCsin(AC)

sin.sin sin sinAsin

sinAsinabcb2acsin2BsinAsinC，所以cotAcotC

sin 由cosB3得sinB 7，则cot 47 BABCaccosB3ac3ac2，则b22. b2a2c22accosBa2c25(ac)2a22acc29，所以ac形一边在扇形的一条半径OAAB平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形？并40033【分析】按图(1)的裁法：矩形的一边OP在OA上，顶点M在圆弧上，设MOA，则MP20sin,OP20cosOPMNS400sincos200sin即当4Smax40按图(2)PQAB平行，设MOQ，在△MOQ40

20sinOQM

，弦定理得：MQ

sin3又MN2OMsin(60040sin(600SMQMN16003sinsin(600)16003sin(3cos1sin 16003

3sin21cos2)8003sin(2300)400 当300时， 400 40032004003 6】BC的半圆形空地，ΔABC外的地方种草，ΔABC的内接正（1）用a、θ表示S、S （2）当a固定，θ变化时，求S1取最小值时的角θS S2AA 【答案】（1）S1a2sin2

asin22； 2；

（2）令tsin2S11t44，当且仅当t14 4 S19.此时 【例7已知三角形ABC的角A,B,C对应的边依次为a,b,c面积S满足Sa2(bc)2则S的最大值为

bc8【分析】由Sa2(bc)2可联系到A角的余弦，根据面积可得A角的正余弦的关系，从而可解sinAS的最大值8、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦，半角降次即sin2x1(1cos2xcos2x1(1cos2x；引入辅助角（经常弄错） 差的正弦、余弦（合二为一），将所给的三角函数式化为yAsin(x)B的形式.函数y|Asin(x|yAsin(x周期的一半1】f(x)2cos2x23sinxcosx1的最小正周期为＿＿＿＿＿；最大值为＿＿＿＿＿；单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿；在区间[0,2上，方程f(x)1的解集为＿＿＿＿＿＿＿.f(x2cos2x23sinxcosx1cos2x

3sin2x2sin(2x5.f6的最小正周期为；最大值为2；单调递增区间满足2x5[2k，2k ](kZ)，即 [k2k](kZf(x)1，则sin(2x5)1 2x52k2x52k5xkxk(kZx[0,2 2 ,0,,2}.注意：辅助角的应用：asinxbcosx

sinx.其中tgba2a2所在的象限与点(ab所在象限一致2．(3)y=arccosx–2是偶函数。其中．【答案】（1）、

【例3】已知函数f(x)sinxcosx21的最小正周期为，则 9xyAsin(x的值域，应先确定x三角函数的图像或单调性来确定sin(xAx取值范围的两1】f(x)2sinx(sinxcosxx[0]f(x的最大值与最小值222

1与0【分析】函数f(x)2sin2x2sinxcosx1cos2xsin2x

2sin(2x1.x4

2 2x ]，sin(2x )

2,1f(x2

1与0

2】f(x2sin(x，其中常数0yf(x在值范围

上单调递增，则 【答案】因为0

203

23】在ABC中，记BACx(角的单位是弧度制)ABCS3ABAC4S 3x3就(1)中x的取值范围，求函数f(x)23sin2(x)2cos2x 343 3【答案】 x ；（2）f f()2，f f() 3xAC 313S3

2

x (2)

x 3f(x)23sin2(x)2cos2x34 3sin2xcos2x2sin(2x 96322x51sin(2x 113 ∴f

min

f()2，f(x)

max

3f() 1 14344】定义区间(cd，[cd(cd]，[cd的长度均为dc，其中dcf(x2sinxyf(x13238

yg(x的图像，区间[a（a,bR且ab）yg(x在[ab上至少含有2014个零点，在所有满足上述条件的[ab中，求区间[ab长度的最小值．3【答案】g(x)2sin(2(x)) 2sin(2x)33 g(x)0sin(2x 3xk11xk

,kZ7 7g(x5 1yg(x在[ab上至少含有2014个零点，则ba的最小值为1007510061 【分析】本题容数错204个零内隐含周期数，事实我们要学生纳总结能力，妨是半个周期 函数ytanx的图像没有对称轴，对称中心为2是半个周期

,0kZ.1】f(x)asin(x

)bsin(x

)(ab0)是偶函数,则有序实数对(a,b)可以 只要填满足ab0的一组数即可)(写出你认为正确的一组数即可2222 2222【答案】ab≠0，f(x)asin(x )bsin(x ) sinx cosx) sinx

a+b=0【分析】本题也可以代特殊值法2】f(x)asinxcosx的图像关于点(3

,0成中心对称，则a3333 3f(x)asinxcosx的图像关于点

,0f3

)0，a 61】y2sinxxRy2sinxxR 6 66

1313

66

【例2】要得到函数ysinx的图象，只需将函数ycosx的图象

个单 个单

【答案】A本题看似简单，必须注意到余弦函数是偶函数注意题中给出的函数不同名，而ycosxcosxsin[xsin(x

3】fxsinx的图像向左平移3等于

A B C D【答案】12、sinxcosx,sinxcosx,sinxcosx这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：(sinxcosx)212sinxcosx求值时能根据角的范围进行正确的取舍1】x的方程sin2xa(sinxcosx20有实数根，求实数a的取值范围a2a2【分析】由(sinxcosx)2sin2x2sinxcosxcos2x1sin2x，令sinxcosxt，则sin2xt21，其中t[

2.则关于t的方程t2at10在t[

2]上有解.t2at101，若有实根必有一根在[1,10即可，得a2或a22】f(x3sinxcosx(0xR.yf(xy1离的最小值yf(x3f(x1，得x2k或x52m(mkZ，所以512,T 【例1】已知函数f(x)|arctan(x1)|，若存在x1,x2[a,b]，且x1x2，使f(x1)f(x2)成立，则以下对实数a、b的描述正确的是（ A．a1； B．a1； C．b D．b2】f(xsinxarcsinxf(1af(1a20af(xsinxarcsinx的定义域是

]2而sinx和arcsinx在[1,1]∴f(x在[1,1]f(1a)f(1a2)0f(1a)f(1a2)f(a211a∴11a21aa2a的取值范围为(1,214、积化和 和差化积sincos1[sin()sin(2cossin1[sin()sin(2coscos1[cos()cos(2sinsin1[cos()cos(2

sinsin2sincos sinsin2cossin coscos2coscos coscos2sinsin 鱼加鱼，两条鱼；鱼减鱼，负两把伞口诀二：帅加帅=帅哥；帅减帅=哥帅；姑加姑=姑姑；哥减哥=负嫂嫂1】cos2cos2sinsin【答案】证明cos2cos2coscoscoscos=2coscos2sinsin

=2sincos2sincos

=sinsincos2cos2cos21cos2 =2sinsin，所以，原等式成立2】已知sinsin1coscos1

-

【答案】（1）263；（2） 和与差

【例3】求证：在ABC中，cosAcosBcosC14 ABC，所以CAB

A于是cosAcosBcosCcosAcosBcosA

=2cosABcosAB12cos2A =12cosABcosABcosAB =14cosAB B =14cosC B sin

． ． 【例4】,

成立的充要条件是

【答案】证明：充分性：若α＋β＋γ＝π，则左边

＝2－2[2cos(α＋β)cos(α－β)＋2cos

α，β，γ

＝2三：提醒、三例⑴已知θ为第二象限角，且sinθ1，则cosθ ⑵已知α(0π)，β(0πtanα1sin(αβ

β注意正切成立时角满足的条件；注意正切、余切有意义时的条件；在任意角的范围表达中注kZ的条件例⑴“tan(αβ)0成立”是“tanαtanβ0”成立 ABCA、B、Ca、b、c，若(a2c2b2tanB

例⑴在ABC中，若a4，b3，c2，则ABC的外接圆的半径长 3⑵有一道解三角形的问题，缺少一个条件.具体如下:“在ΔABC中，已知a ，B453 ， .yAsin(ωxByAcos(ωxB的形式来方便解题；ysinxyAsin(ωxφ图像的途径；三角函数图像的对称轴在最值处例⑴函数ysinx(sinxcosx)的最小正周期是 ；值域是 ；单调递减区间 ⑵若函数ysinx(a2)cosx是偶函数，则a 例⑴若θππy

3cosθsinθ的值域 ⑵方程sin3xcosxsinxcos3x1，x[π,π]的解集 8例yarccosx

的最小值

2366⑵βarccos56⑴必要不充分条件；提示

αβπtan(αβ0tanαtanβ不存在，当2tanαtanβ0tanαtanβtan(β，则αkπβtan(αβ0,ππ π,⑵32

π

tanB提示 23提示1cos211cos21b2c2a2⑴

15；提示:S

，R ⑵c

62提示3提示

b 为错误答案，因为此时sinA

3A60A1202221⑴最小正周期为π

2,1

，单调递减区间为kπ3πkπ7πkZ

8xkπ3

，kZ，对称中心坐标为

kππ,1 82 82

，kZ提示ysin2xsinxcosx1cos2xsin2x提示

π sin 4 ⑵

提示y提示

π

π2⑴[2,1)

2sinθ3，θ3,π 63提示⑵13ππ17π,5π,7π,11π,19π,23π sinxcosx(sin2xcos2x1提示 24 1sin2xcos2x)1，故sin4x1 π10；提示π

arccosx(0,π] 7

2.（2015年奉贤理7文7）若 ，sin2 ，则cossin的值

42 【答案 21 21

sincosx

2

的第1行第2列的元素1的代数式为1 则实数x的取值集合 【答案】(2k1),(k4.（2015年黄埔理5）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P3a,4a(a0,aR)，则cos2的值是 【答案】-5（20156则A=

a2b2c22bcsinA6.（2015年静安理2）已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm，则此扇形的弧长 【答案】7.（20157）方程lg

sinx)lg(cosx)的解集 【答案】x|x2k6

,kZ 8.（2015年闵行理4文4）若cos ，且0,，则 39.（2015年浦东理8文8）若对任意xR，不等式sin2x2sin2xm0恒成立，则m的取值范围 【答案】 10.（201532）fxsinxsinx0的最小正周期为，则 【答案】11.（20155）若0xysinxcosx

[ 12

倍，甲沿北偏东60100C 千米【答案】203

B第10

ABCAB,C所对的边分别为abca

3c2A 3

的面积 33214.（20159）已知方程sinx 3【答案】 1,3

3cosxm1x[0 1.（2015年长宁理15文15）在△ABC中，“sinA2”是“A6”的 C．充要条 【答案】f(x)

3sin(2x)2sin2(x)(xR) f(xf(xx【答案】解：（1）f(x)2sin(2x)3

3sin(2x)2sin2(x) f(x的最小正周期T （2）当2x 2k

kZxk

kZf(xx集合为{x|xk

,k多少小时能尽快追上乙船？(13【答案】解析：设用tC

A

在△ABC 2分根据余弦定理AC2AB2BC22ABBCcos，14t281120t224.510t1 4 128t260t270，（4t－3）（32t+9）=0，t=3，t=

（舍 634

4

8 根据正弦定理，得sinBCsin 253 10 55575725

11又

55

＜ 3

的方 12用小时可以追上乙船 134A有两条夹角60ABACPMN（A），PMPNMN2（单位：千米）.AMNCNPANAM用含CNP如何设计（ANAM为多长时） 解：（1）在AMN中，由正弦定理，得AN MN4

……2 sin AN43sin,AM43sin(60)(0120).……6 （2）在ANPAP2AN2NP22ANNPcos

3sin

2223

3sin2cos(18016sin24163sincos8(3sin2cos2) 16sin(230)

(0

故当23090，即60时，(AP2 12.此时ANAM3ANAM2(千米AP最大，为3

（千米 ……14gx1sin2x3cos2x1xRfxgx yfx【答案】解(1)设点(x,yyf(x的图像上任意一点，由题意可知，点(xyyg(x于是有y1sin(2x) 3cos(2x)1,xR．所以，f(x)1sin2x

3cos2x1，xR (2)由(1)f(x)1sin2x3cos2x1sin(2x1x[0,]D0, 由 2k,kZ，解得k5xk

,kZ

f(x在形如[k

5kkZ 结合定义域，可知上述区间中符合题意的整数k0令k0得D[5,]；k1时，得D[7,13].所以，

[0,]D

D[2D[2

f(x在[0,]上的单调递增区间是[0,和[7, 5.（201520）1421628f(xg(xg(xf(xf(x，其中若f(x)cosxsinx，且 ，求g(x)的解析式，并写出g(x)的递增区间2f(x2x

g(x6，求常数解：（1）f(x)cosxsinx，2

f(x)cosxsinx；g(xcos2x……4递增区间为1k,k

，（kZ）（注：开区间或半开区间均正确 6（2）g(x)2x

12x

12x

122x

，………8 2x

2x

2x

22x g(x)22x2

22x

2

2

2 1032解得22 所以log23 1432某公园有个，其形状为直角ABC，C900，AB的长为2百米，BC的长为1百米ABBC、CAD、E、F，如图（1），EF//ABEFED，在DEF内喂食，求当DEFEF的长；ABBC、CAD、E、F，如图（2），建造DEF（不考虑宽度）供游客休憩，且使DEF为正三角形，记FEC，求DEFDD及此时的值．（精确到1米和0.1度 DDF 图

F 图【答案】解：（1）设EFx，则CEx，故BE1x，所以DE 31x，……2 2 2 3 x22

x1 ,x(02) 4 3x x3

1 x 3因为SDEF 13

1当且仅当x1时等号成立，即SDEF

2分

2 4 2（2）RtABCA300，设FEC0 2 则EFC900，AFD1800600(900)300 8所以ADF1800300(30012003设CFx，则AF x，在ADF中， 3

103sin 3xEFsinDFsin

sin

3DF 1132sin337化简得DF 32sin337此时tan

340.90 22：EFEDDFy在△EBD中，B60，EDB 8由题意可知CEycos 9则EB1ycos，所 1ycos 11 32sin337即y 32sin337此时tan

340.90 2 ．若△ABC不是钝角三3形，求：（1）角C的范围；（2）c

【答案】[解]（1）因为AC ，A

2 由0C

0A

C 4 4Rsin sin 6 2Rsin sin2sin(BC)sinC

3cosC （

C 10 当C 时

3cos3cossin33 C 时

1 tanC

123所以2a 143 tan 为一个球体，半径为6370千米，轨道