湖南省衡阳市某中学2022-2023学年数学八上期末调研试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷

及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔

在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列交通标志是轴对称图形的是（）

A@口.与C.⑭D.®

2.如图，已知点A、。、C、产在同一条直线上，AB=DE,NA=NEDF,再添加一

个条件，可使△AbCgZXOEF,下列条件不符合的是

A.NB=NEB.BC〃EFC.AD=CFD.AD=DC

32

3.分式方程一=——的解为（）

Xx-l

A.x=lB.x=2C.x=3D.x=4

4.在下列命题中，真命题是（）

A.同位角相等B.到角的两边距离相等的点在这个角的

平分线上

C.两锐角互余D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的

一半

5.如图，D,E分别在AB,AC上，NB=NC添加下列条件,无法判定AABErA4co

的是（）

B

A

EC

A.ZAEB=ZADCB.AD=AEC.BE=CDD.AB=AC

6,将一次函数y=-2x+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，则平移后的图象所对

应的函数表达式为()

A.y=-2x+lB.y=-2x-5C.y=-2x+5D.y=-2x+7

7.若二元一次方程3x-2y=l所对应的直线是1,则下列各点不在直线1上的是()

A.(1,1)B.(—1,1)C.(—3,—5)D.(2,—)

2

8.如图，两个较大正方形的面积分别为225、289,且中间夹的三角形是直角三角形,

则字母A所代表的正方形的面积为()

A.4B.8C.16D.64

9.下列关于易的运算正确的是()

A.(-a)2=—a2B.a°=0(a0)C.a~'=—(a0)D.(«3)2=a)

a

10.如图，在AABC中，44C=68。，NC=36。，AO平分N8AC,M、N分

别是A。、AB上的动点，当BM+MN最小时，的度数为()

B.68°C.76°D.90°

11.下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中

轴对称图形是()

A.

12.点尸是直线y=-x+0上一动点，。为原点,

D.巨

A.2B.V2C.1

2

二、填空题(每题4分，共24分)

13.若/+日+9是一个完全平方式，则k=.

14.函数y=J二中，自变量x的取值范围是.

15.如图，在中，ZAGB=90°,ZA=15°,A3的垂直平分线与AC交于

点。，与AB交于点E,连接8D若AO=12,则8。的长为.

16.如图，AABC的面积为8cm2,AP垂直NB的平分线BP于P,贝（!APBC的面积

为.

17.如图，A4BA/与ACDW是两个全等的等边三角形，有下列四个结论:

①NMBC=25。;②NAOC+NA5C=180°;③直线A©垂直平分线段CO；④四边

形ABCD是轴对称图形.其中正确的结论有.（把正确结论的序号填在横线上）

18.某种病菌的形状为球形，直径约是（）.0（XX）（X）l（）2m,用科学记数法表示这个数为

三、解答题（共78分）

尤2—2x，2尤一4、

19.（8分）先化简，再求值:一^^+x-2-----L其中x=3.

r-4Ix+2）

20.（8分）如图，在AABC中，ZA>ZB»

（1）作边AB的垂直平分线DE,与AB、8C分别相交于点。、E（用尺规作图，保

留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，连结AE,若NB=48。，求NAEC的度数.

21.（8分）2018中国重庆开州汉丰湖国际摩托艇公开赛第二年举办.邻近区县一旅行社

去年组团观看比赛，全团共花费9600元.今年赛事宣传工作得力，该旅行社继续组团前

来观看比赛，人数比去年增加了50%,总费用增加了3900元，人均费用反而下降了

20元.

(1)求该旅行社今年有多少人前来观看赛事？

(2)今年该旅行社本次费用中，其它费用不低于交通费的2倍，求人均交通费最多为

多少元？

22.(10分)计算：

(1)(-a1)3»4a(1)lx(x+1)+(x+1)1.

3

23.(10分)已知：如图，一次函数y=—x+3的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B,

4

且与经过点C(2,0)的一次函数y=kx+b的图象相交于点D,点D的横坐标为4,直线

CD与y轴相交于点E.

(1)直线CD的函数表达式为；(直接写出结果)

(2)在x轴上求一点P使4PAD为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标.

(3)若点Q为线段DE上的一个动点，连接BQ.点Q是否存在某个位置，将△BQD沿

着直线BQ翻折，使得点D恰好落在直线AB下方的y轴上？若存在，求点Q的坐标;

若不存在，请说明理由.

备用图

24.(10分)现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距

离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置.

25.(12分)已知，NPOQ=90',分别在边。P,上取点A,B,使。4=08,

过点A平行于OQ的直线与过点8平行于。尸的直线相交于点C.点E,尸分别是射

线OP,。。上动点，连接CE,CF,EF.

(1)求证：OA=OB=AC=BC；

(2)如图1,当点E,尸分别在线段A。，80上，且ZECE=45"时，请求出线段EF,

AE,B厂之间的等量关系式;

(3)如图2,当点E,尸分别在A。，B。的延长线上，且NECF=135°时，延长AC

交Ef于点M，延长8c交族于点N.请猜想线段EN,NM,之间的等量关

系，并证明你的结论.

26.如图，AABC中，AB=AC=BC,N5Z)C=120。且5Z)=Z)C,现以O为顶点作一个60。

角，使角两边分别交A8,4C边所在直线于M,N两点，连接MN,探究线段8M、

MN、NC之间的关系，并加以证明.

(1)如图1,若NMZW的两边分别交AB,AC边于M,N两点.猜想：BM+NC=MN.延

长AC到点E,使CE=5M,连接OE,再证明两次三角形全等可证.请你按照该思路写

出完整的证明过程；

(2)如图2,若点M、N分别是48、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究

线段3M,MN,NC之间的关系，请直接写出你的猜想(不用证明).

图2

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【详解】A、不是轴对称图形，故错误；

B、不是轴对称图形，故错误；

C、是轴对称图形，故正确；

D、不是轴对称图形，故错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴

折叠后可重合.

2,D

（分析］根据各个选项中的条件和全等三角形的判定可以解答本题.

【详解】解:A.添加的一个条件是NB=NE,可以根据ASA可以证明aABC注4DEF,

故不符合题意；

B.添加的一个条件是BC〃EF,可以得到NF=NBCA根据AAS可以证明

△ABC^ADEF,故不符合题意；

C.添加的一个条件是AD=CF,可以得到AC=DF根据SAS可以证明AABCgZXDEF,

故不符合题意；

D.添加的一个条件是AD=DC,不可以证明△ABC^^DEF,故符合题意.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已

知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对

边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一

组对应邻边.

3、C

32

【详解】-=—

XX-1

去分母得,3（x-1）=2x,

解得x=3.

经检验，x=3是方程解.

故选C.

4、D

【分析】逐项作出判断即可.

【详解】解：A.同位角相等，是假命题，不合题意；

B.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，是假命题，不合题意；

C.两锐角互余，是假命题，不合题意；

D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，符合题意.

故选：D

【点睛】

本题考查了同位角，互余，角平分线的判定，直角三角形性质，熟知相关定理是解题关

键，注意B选项，少了“在角的内部”这一条件.

5、A

【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一判断选项，即可.

【详解】•.•ZB=NC,NA=NA,

若添加=不能证明AABEMAACD,

...A选项符合题意；

若添加AD=AE,根据AAS可证明AABEMAACD,

...B选项不符合题意；

若添加8E=C£>,根据AAS可证明AABEMAACD,

.•.C选项不符合题意；

若添加AB=AC,根据ASA可证明AA5EMAACD,

.ID选项不符合题意；

故选A.

【点睛】

本题主要考查三角形全等的判定方法，理解AAA不能判定两个三角形全等，是解题的

关键.

6、C

【分析】直接利用一次函数平移规律“上加下减”即可得到答案.

【详解】•.•将一次函数J=-2X+3的图象沿y轴向上平移2个单位长度，

.••平移后所得图象对应的函数关系式为：J=-2x+3+2,

即y=-2x+l.

故选：C.

【点睛】

本题主要一次函数平移规律，掌握一次函数平移规律”左加右减，上加下减”是解题的

关键.

7、B

【解析】将各点横坐标看作x的值，纵坐标看作y的值，然后代入方程中，如果这组数

值是方程的解，则该点在对应的直线上，否则亦然。

(<(二x=2,

x=i,x=-3,

【详解】解：因为,J5都是方程3%-2尸1的解，故点(1,1),

[y=l=-5尸]

(-3,-5),(2,-),在直线I上，

2

x=-l,

,不是二元一次方程3x—2y=l的解，所以点(-1,1)不在直线1上.

[y=i

故选B.

【点睛】

本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据直线上点的坐标特征进行验证即

可，比较简单.

8,D

【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF

的面积分别表示出PR?及PQ2,又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR2,

即为所求正方形的面积.

【详解】解：•••正方形尸。的面积等于225,

二即PQ2=225,

V正方形PRGF的面积为289,

：.PR2=2S9,

又•••△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：

PR2=PQ2+QR2,

：.QR2=PR2-PQ2=289-225=1,

则正方形QMNR的面积为1.

故选：I).

此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式.勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与

“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为

数量关系的问题来解决.能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的

关键.

9、C

【分析】根据积的乘方等于乘方的积，非零的零次第等于1,负整数指数幕与正整数指

数塞互为倒数，幕的乘方底数不变指数相乘，可得答案.

【详解】解：A、(-a)'a?,故A错误；

B、非零的零次幕等于1,故B错误；

C、负整数指数嘉与正整数指数嘉互为倒数，故C正确；

D、暴的乘方底数不变指数相乘，故D错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了负整数指数幕，熟记法则并根据法则计算是解题关键，注意负整数指数塞的

底数不能为零.

10、B

【分析】在AC上截取AE=AN,先证明△AMEgZkAMN(SAS),推出ME=MN.当

B、M、E共线，BEJ_AC时，BM+ME最小，可求出NNME的度数，从而求出NBMN

的度数.

【详解】如图，在AC上截取AE=AN,

VZBAC的平分线交BC于点D,

...NEAM=NNAM,

在AAME与AAMN中，

AE=AN

<NEAM=NNAM,

AM=AM

/.△AME^AAMN(SAS),

，ME=MN.

:.BM+MN=BM+ME,

当B、M、E共线，BE_LAC时，BM+ME最小，

.\MN±AB

■:ZBAC=68°

.,.ZNME=3600-ZBAC-ZMEA-ZMNA=3600-680-900-90°=1120,

:.ZBMN=1800-112o=68°.

故选：B.

【点睛】

本题考查了轴对称-最短问题，解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN进

行转化，利用垂线段最短解决问题.

11、D

【分析】根据轴对称图形的概念判断即可.

【详解】解：A,不是轴对称图形；

B、不是轴对称图形；

C、不是轴对称图形；

D、是轴对称图形；

故选：D.

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

12、C

【分析】首先判定当OPLAB的时候，OP最小，然后根据函数解析式求得OA、OB,

再根据勾股定理求得AB,进而即可得出OP.

【详解】设直线产-x+0与y轴交于点A,与x轴交于点乱过点0作直线A5的垂

线，垂足为点尸，此时线段。尸最小，如图所示:

当x=0时，y=y[2,

，点A（0,y/2）,

.,.OA=y/2；

当y=0时，求得x=y[2，

二点B（五,0）,

：.0B=O,

12

：.AB=yjo^+OB=-

（JA

OP=----OB=2.

AB

故选：C.

【点睛】

此题主要考查一次函数以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、±1.

【解析】试题分析：•••多项式奴+9是一个完全平方式，.•.Z=±6.故答案为土1.

考点：完全平方式.

14、x>3.

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义

的条件是：被开方数为非负数.

【详解】依题意,得x-lNO,

解得：x>l.

【点睛】

本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

15、1

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD,再根据等

边对等角可得NA=NABD,然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的

和求出NBDC=30。，再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半解答即可.

【详解】解：TDE是AB的垂直平分线，

.,.AD=BD=12cm,

二NA=NABD=15。，

ZBDC=ZA+ZABD=15°+15°=30°,

:.在RtABCD中，BC=—BD=—xl2=l.

22

故答案为1.

【点睛】

本题考查线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等

于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半

的性质.

16、4cm2

【分析】延长AP交BC于E,根据AP垂直NB的平分线BP于P,即可求出

△ABP^ABEP,又知4APC和4CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可

证明三角形PBC的面积.

【详解】解：延长AP交BC于E,如图所示：

VAP垂直NB的平分线BP于P,

，NABP=NEBP,ZAPB=ZBPE=90°,

在4APB和4EPB中

NAPB=ZEPB

<BP=BP,

NABP=NEBP

.,.△APB^AEPB(ASA),

/•SAAPB=SAEPB>AP=PE,

AAPC和4CPE等底同高，

•"•SAAPC=SAPCE»

.1

SAPBC=SAPBE+SAPCE=_SAABC=4CHV，

故答案为4cml

【点睛】

本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出

SAPBC=SAPBE+SAPCE=—SAABC.

2

17、(2X3)@

【分析】①通过全等和等边三角形的性质解出答案即可判断;②根据题意推出即可判

断;③延长BM交CD于N,利用外角定理推出即可判断;④只需证明四边形ABCD是等

腰梯形即可判断.

【详解】①•.,△ABMg△CDM,aABM、aCDM都是等边三角形，

:.ZABM=ZAMB=ZBAM=ZCMD=ZCDM=ZDCM=60",AB=BM=AM=CD=CM=

DM,

又TMAl.MD,

AZAMD=90°,

AZBMC=360°-60°-60°-90°=150°,

又•.,BM=CM,

.,.ZMBC=ZMCB=15°；

②；AMJ_DM,

AZAMD=90",

又：AM=DM,

.♦.NMDA=NMAD=45°,

ZADC=450+60°=105°,

ZABC=60°+15°=75°,

/.ZADC+ZABC=180°；

③延长BM交CD于N,

AD

RC

VZNMC是△MBC的外角,

AZNMC=150+15°=30°,

ABM所在的直线是ACDM的角平分线,

又；CM=DM,

ABM所在的直线垂直平分CD；

④根据②同理可求NDAB=105°,NBCD=75°,

AZDAB+ZABC=180",

，AD〃BC,

XVAB=CD,

二四边形ABCD是等腰梯形，

•••四边形ABCD是轴对称图形.

故答案为:②③④.

【点睛】

本题考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质、平行线的判定，关

键在于熟练掌握相关基础知识.

18、1.02x10-7

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中n为整数.确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

【详解】0.000000102的小数点向右移动7位得到1.02,

所以0.000000102用科学记数法表示为1.02x10-7，

故答案为1.02x10-7.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axl(P的形式，其中

l<|a|<10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

三、解答题(共78分)

19、1

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变

形，约分得到最简结果，代入x的值，计算即可求出值.

［详解］解：一i—二+|x—2-------

x-4Ix+2)

X2-42X-4)

x"-4-、x+2x+2

x2-2xx2-2x

(x+2)(x-2)x+2

x2-2x%+2

(x+2)(x-2)x2-2x

1

x—2,

当x=3时，原式=—L=1

3-2

【点睛】

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20、（1）见解析；（2）96°

【分析】（1）利用基本作图（作线段的垂直平分线）作DE垂直平分AB即可；

（D利用线段的垂直平分线的性质得到EA=EB,贝IJNEAB=NB=48°,然后根据三角

形外角性质计算NAEC的度数.

【详解】（1）如图，DE为所作；

.*.EA=EB,

二NEAB=NB=48°,

AZAEC=ZEAB+ZB=96".

故答案为96°.

【点睛】

本题考查了作图-基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角的性质，正确掌握线段

垂直平分线的性质是解题关键.

21、（1）该旅行社今年的有45人前来观看赛事；（2）故人均交通费最多为100元.

【分析】（D设该旅行社去年有x人前来观看赛事，根据“人数比去年增加了50%,

总费用增加了3900元，人均费用反而下降了20元”列方程，求解即可；

（2）设今年该旅行社本次费用中，人均交通费为x元，根据“其它费用不低于交通费

的2倍”，列不等式求解即可.

【详解】(1)设该旅行社去年有x人前来观看赛事，根据题意，得：

96009600+3900”

x(1+50%)%

解得：x=30.

经检验：x=30是原方程的解.

所以，原方程的解为X=3O,故：(l+50%)x=45.

答：该旅行社今年的有45人前来观看赛事；

(2)设今年该旅行社本次费用中，人均交通费为x元，由题意得：

96(X)+39(X)-45x>2x45x

解得：x<100.

故人均交通费最多为100元.

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用.找准相等关系或不等关系是解

答本题的关键.

22、(2)-4a7;(2)3x2+4x+2.

【解析】试题分析：(2)根据塞的乘方、同底数塞的乘法进行计算即可；

(2)根据单项式乘以多项式以及完全平方公式进行计算即可.

解:(2)原式=-a」・4a

=-4a7；

(2)原式=2X2+2X+X?+2X+2

=3x2+4x+2.

9

23、⑴y=3x-6；⑵点P的坐标为(一，0)或(6,0)或(-14,0)或(12,0)；⑶存在，点Q

4

1Q11

的坐标为(?，?)

77

【分析】(1)求出D的坐标，即可求解；

⑵分PA=PD、当PA=AD、DP=AD三种情况，分别求解即可；

⑶利用BD=BDSDQ=DQ,即可求解.

3

【详解】解：(1)将点D的横坐标为4代入一次函数y=：x+3表达式，解得：y=6,即

4

点D的坐标为(4,6),

(6=4k+b

将点C、D的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：,

0=2k+b,

故答案为y=3x-6；

⑵①当PA=PD时，

点B是AD的中点，

4

故：过点B且垂直于AD的直线方程为：y=-§x+3,

9

令y=0,则x=一，

4

9

即点P的坐标为(一，0)；

4

②当PA=AD时，

AD='(-4—4)2+62=10

故点P的坐标为(6,0)或(-14,0)；

③当DP=AD时，

同理可得：点P的坐标为(12,0)；

9

故点P的坐标为(一，0)或(6,0)或(-14,0)或(12,0)；

4

(3)设翻转后点D落在y轴上的点为D。设点Q的坐标为(x,3x-6),

贝!J：BD=BD。DQ=D，Q,

BDf=BD=^42+(3-6)2=5,故点D，的坐标为(0,-2),

DQ2=D'Q2,即：x2+(3x-6+2)2=(x-4)2+(3x-6-6)2,

»18

解得：x=7，

1QI1

故点Q的坐标为(三，-).

77

【点睛】

本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到图象翻折、勾股定理运用等知识点，其中(2)

要分类讨论，避免遗漏.

24、作图见解析.

【解析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出NBAC

的角平分线，即可得出答案.

解：

B

作AB的垂直平分线EF,作NBAC的角平分线AM,两线交于P,

则P为这个中心医院的位置.

25、（1）见解析；（2）EF^AE+BF；（3）MN2=EN2+FM2,见解析

【分析】(D连接A3,通过/尸。。=901=得到AAOB为等腰直角三角形,

进而得到ZOAB=ZOBA=45。，根据过点A平行于。。的直线与过点8平行于OP

的直线相交于点C,可推出NC84=45°，NBAC=451最后通过证明

△AOB/XACB,可以得出结论；

(2)在射线AP上取点O,使45=3/,连接CO,通过证明△C4£>@VCB/?,得

到C£>=b,ZACD=NBCF,再结合NECF=45°,NAC5=90推导证明

△ECD学AECF,得到田=£F,最后等量代换线段即可求解；

(3)延长AO到点。，使得AD=BF,连接C。，通过证明A。。会VCBF,得到

CD=CF,ZACD=/BCF,再结合NECF=135°，推导证明AEC。g△ECF,

得到NZ)=NCFM,根据NO=NCEB,等量代换可知NCfM=NCFB,又因为

AC//OQ,推出NMCF=NCEB,进而得到=同理可证CN=EN,最

后根据勾股定理即可求解.

【详解】解：(1)证明：连接A3.

•./尸。。=90,OA=OB,

二AAOB为等腰直角三角形，

•••ZOAB=ZOBA=45°,

又BC//OP,且ZPOQ=90,

BCLOQ,

•••ZCBF=9（T，

NCR4=45°,

同理，ZBAC=45°»

在AAOB与△AC8中

NOAB=2CAB

<AB=AB,

40BA=NCBF

■■^AOBgAACB(AS4),

•••ZAOB=ZACB=90°>OA^OB=AC=BC；

(2)如图1,在射线AP上取点。，使AD=5尸，连接CO.

图‘1,

在与VC377中

CA=CB

<ZCAD=NCBF,

AD=BF

^CAD^VCBF(SAS),

CD=CF,ZACD=NBCF,

ZECF=45°，ZACB=90"，

ZACE+ZBCF=45°,

•••ZACE+ZACD=NECD=45°,

NECD=NECF,

在AECD与AECF中

CD=CF

<ZECD=NECF

CE=CE

：.AECDq4ECF(SAS),

ED=EF,

又：ED=AD+AE=BF+AE,

•1•EF=AE+BF.

(3)MN?=EN°+FM2.证明如下：

如图2,延长AO到点。，使得AE>=8尸，连接CO.

•••ZC4D=ZCBF=90%

在ACA。与VC8F中

CA=CB

<Z.CAD=ZCBF,

AD=BF

ACAD^VCBF(SAS),

CD=CF,ZACD=ZBCF,

•••ZACD+NDCB=90°,

•••ZBCF+ZDCB=90°=ZDCF，

•••ZFCD=ZBC4=90%

•••NEC尸=135°,

•••ZECD=360°-90°-135°=135%

NECF=NECD,

在AECD与AECF中

EC=EC

<AEC