人教版初二上数学期末考试试卷及答案解析

八年级［上］数学期末考试试卷

一.选择题（共10小题）

1.（2013•铁岭）如图，在AABC和ADEC中，已知AB=DE,还需添加两个条件才能使AABC丝△口£（：,不能添

加的一组条件是（）

A.BC=EC,ZB=ZEB.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,ZA=ZDD.ZB=ZE,NA=ND

2.（2011•恩施州）如图，AD是aABC的角平分线，DF1AB,垂足为F,DE=DG,Z\ADG和AAED的面积分别

为50和I39,则4EDF的面积为（）

A.11B.5.5C.7D.3.5

3.（2013•贺州）如图，在ZkABC中,ZABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（）

C.8cmD.9cm

4.(2010•海南)如图,a^b^c分别表小AiABC的三边长,则下面^AABC一定全等的三角形是（）

5.（2013•珠海）点（3,2）关于x轴的对称点为（)

A.（3,-2）B.（-3,2）C.(-3,-2)D.(2,-3)

1

6.（2013・十堰）如图，将4ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合.已知AC=5cm,AADC的周长为17cm,

则BC的长为（）

A.7cmB.10cmC.12cmD.22cm

7.（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为（)

A.12B.15C.12或15D.18

8.(2013•烟台)下列各运算中，正确的是()

A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6C.a4-?a2=a3D.(a+2)2=a2+4

9.(2012•西宁)下列分解因式正确的是()

A.3x2-6x=x(3x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)

C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)D.4x-2xy+y=(2x-y)

10.(2013•恩施州)把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是()

A.y(x2-2xy+y2)B.x2y-y2(2x-y)C.y(x-y)2D.y(x+y)2

—.填空题（共10小题）

11.（2013•资阳）如图，在Rt^ABC中，/C=90。，/B=60。，点D是BC边上的点，CD=1,将AABC沿直线AD

翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则4PEB的周长的最小值是.

12.（2013•黔西南州）如图，已知aABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则

ZE=度.

13.(2013•枣庄)若-b2=!，a-b=▲，则a+b的值为

63

14.(2013•内江)若m?-『=6,且m-n=2,则m+n=.

15.(2013•荷泽)分解因式：3a2-12ab+l2b2=.

16.（2013•盐城）使分式的值为零的条件是x=_____________

2x-1

17.（2013•南京）使式子Id~L•有意义的x的取值范围是_____________

x~1

2-9

18.（2012•茂名）若分式总一的值为0,则a的值是_____________.

a+3

19.在下列儿个均不为零的式子，X2-4,x2-2x,x2-4x+4,x2+2x,x?+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你

选择一个不是最简分式的分式进行化简：.

20.不改变分式的值，把分式;0—v“分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是

与-0.2b

2

三.解答题（共8小题）

21.（2013・遵义）已知实数a满足a?+2a-15=0,求⑷?，’的值.

a+1a2-1a2-2a+l

22.（2013•重庆）先化简，再求值：企：ab+9色（_5b2_-a-2b）-X其中a,b满足卜+4，.

a2-2aba-2ba[a-b=2

222

23.（2007•资阳）设ai=3?-『，a2=5-3,an=（2n+l）-（2n-1）?（n为大于0的自然数）.

（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；

（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是"完全平方数试找出用，a2,…，a。，...这•列数中从

小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）.

24.在4ABC中，若AD是NBAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，J1DE1AB,垂足为E,DF±AC,

垂足为F（如图（1））,则可以得到以下两个结论：

©ZAED+ZAFD=180"；②DE=DF.

那么在4ABC中，仍然有条件"AD是/BAC的角平分线，点E和点E分别在AB和AC上”，请探究以下两个问

题：

（1）若/AED+NAFD=180。（如图（2））,则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例.

（2）若DE=DF,则NAED+NAFD=180•是否成立？（只写出结论，不证明）

25.（2012•遵义）如图，^ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）,

Q是CB延长线上点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PELAB

于E,连接PQ交AB于D.

(1)当NBQD=30。时，求AP的长；

(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.

26.(2005•江西)将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形

式，使点B、F、C、D在同一条直线上.

(1)求证：AB±ED；

(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证

27.(2013•沙河口区一模)如图，RtZliABC中，NC=90。，AC=3,BC=4.点M在AB边上以1单位长度/秒的速度

从点A向点B运动，运动到点B时停止.连接CM,将4ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A'.

(1)当CM与AB垂直时，求点M运动的时间；

(2)当点A'落在△ABC的一边上时，求点M运动的时间.

28.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作4ACD和aBCE,且CA=CD,CB=CE,

ZACD=ZBCE,直线AE与BD交于点F,

(1)如图1,若NACD=60。，则/AFB=；如图2,若NACD=90。，则/AFB=；如图

3,若NACD=120。，则/AFB=；

(2)如图4,若NACD=a,则NAFB=(用含a的式子表示)；

(3)将图4中的4ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，变成如图5所示

的情形，若NACD=a,则/AFB与a的有何数量关系？并给予证明.

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2013・铁岭）如图，在aABC和aDEC中，已知AB=DE,还需添加两个条件才能使AABC也△口£€：,不能添

加的一组条件是（）

D

A.BC=EC,ZB=ZEB.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,ZA=ZDD.ZB=ZE,ZA=ZD

考点：全等三角形的判定.

分析：根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可.

解答：解：A、已知AB=DE,再加I上条件BC=EC,NB=NE可利用SAS证明AABC丝△口£（：,故此选项不合题

后、；

B、已知AB=DE,再加上条件BC=EC,AC=DC可利用SSS证明△ABCg/XDEC,故此选项不合题意；

C,已知AB=DE,再加上条件BC=DC,NA=/D不能证明AABC乌Z\DEC,故此选项符合题意；

D、已知AB=DE,再加上条件NB=/E,NA=/D可利用ASA证明△ABCgZ\DEC,故此选项不合题意;

故选：C.

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对

应相等时，角必须是两边的夹角.

2.（2011•恩施州）如图，AD是AABC的角平分线，DFJ.AB,垂足为F,DE=DG,4ADG和4AED的面积分别

为50和39,则4EDF的面积为（）

考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质.

专题：计算题：压轴题.

分析：作DM=DE交AC于M,作DNJ_AC,利用角平分线的性质得到DN=DF,将三角形EDF的面积转化为三

角形DNM的面积来求.

解答：解：作DM=DE交AC于M,作DN_LAC,

；DE=DG,DM=DE,

，DM=DG,

；AD是AABC的角平分线，DFJ_AB,

，DF=DN,

在RtADEF^11RtADMN中，

[DN=DF,

1DM=DE'

ARtADEF^RtADMN(HL),

VAADG和AAED的面积分别为50和39,

•'•SAMDG=SAADG_SAADM=50-39=11,

SADNM=SADEI=^SAMDG=^X11=5.5

故选B.

点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角

形的面积转化为另外的三角形的面积来求.

3.（2013•贺州）如图,在△ABC中，ZABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点，则BF的长是（)

A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm

考点：全等三角形的判定与性质.

分析：求出/FBD=NCAD,AD=BD,证4DBF丝Z\DAC,推出BF=AC,代入求出即可.

解答：解：:F是高AD和BE的交点，

・・・ZADC=ZADB=ZAEF=90°,

AZCAD+ZAFE=90°,ZDBF+ZBFD=90°,

VZAFE=ZBFD,

ZCAD=ZFBD,

VZADB=90°,ZABC=45°,

AZBAD=45°=ZABD,

・・・AD=BD,

在△DBF和ADAC中

'NFBD二NCAD

,DB=AD

ZFDB=ZCDA

.•.△DBF^ADAC（ASA）,

BF=AC=8cm,

故选c.

点评：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，关键是推出

△DBF^ADAC.

4.（2010•海南）如图，a、b、c分别表示AABC的三边长，则下面与AABC一定全等的三角形是（）

B

考点：全等三角形的判定.

分析：根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角.

解答：解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等；

B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等；

C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等；

D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等.

故选B.

点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS,

直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA,无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目.

5.(2013•珠海)点(3,2)关于x轴的对称点为()

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)

考点：关于x轴、y轴时称的点的坐标.

分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案.

解答：解：点（3,2）关于x轴的对称点为（3,-2）,

故选：A.

点评：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.

6.（2013•卜堰）如图，将AABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合.已知AC=5cm,AADC的周长为17cm,

则BC的长为（)

B.10cmC.12cmD.22cm

考点：翻折变换（折叠问题）.

分析：首先根据折叠可得AD=BD,再由4ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的

长.

解答：解：根据折叠可得：AD=BD,

1•△ADC的周长为17cm,AC=5cm,

，AD+DC=17-5=12（cm）,

VAD=BD,

BD+CD=12cm.

故选：C.

点评：此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小

不变，位置变化，对应边和对应角相等.

7.(2013•新疆)等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为()

A.12B.15C.12或15D.18

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系.

分析：因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论.

解答：解：①当3为底时，其它两边都为6,

3、6、6可以构成三角形，

周长为15；

②当3为腰时，

其它两边为3和6,

73+3=6=6,

,不能构成三角形，故舍去，

.•.答案只有15.

故选B.

点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,

分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

8.(2013•烟台)下列各运算中，正确的是()

A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6C.a44-a2=a3D.(a+2)2=a2+4

考点：同底数基的除法；合并同类项；慕的乘方与积的乘方；完全平方公式.

分析：根据合并同类项的法则、募的乘方及积的乘方法则、同底数基的除法法则，分别进行各选项的判断即可.

解答：解：A、3a+2a=5a,原式计算错误，故本选项错误；

B、(-3a3)2=9a6,原式计算正确，故本选项正确；

C、a4^a2=a2,原式计算错误，故本选项错误；

D、(a+2)2=a2+4a+4,原式计算错误，故本选项错误；

故选B.

点评：本题考查了同底数幕的除法、慕的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则.

9.(2012•西宁)下列分解因式正确的是()

A.3x2-6x=x(3x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)

C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)D.4x2-2xy+y2=(2x-y)2

考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法.

专题：计算题.

分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平

方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解.

解答：解：A、3x2-6x=3x(x-2),故本选项错误；

B、-a2+b2=(b+a)(b-a),故本选项正确；

C、4x2-y2=(2x+y)(2x-y),故本选项错误；

D、4x2-2xy+y2不能分解因式，故本选项错误.

故选B.

点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键.

10.(2013•恩施州)把x?y-2y人+/分解因式正确的是()

A.y(x2-2xy+y2)B.x2y-y2(2x-y)C.y(x-y)2D.y(x+y)2

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

分析：首先提取公因式y,再利用完全平方公式进行二次分解即可.

解答：解：x?y-2y2x+y3

=y(x2-2yx+y2)

=y(x-y)2.

故选：C.

点评：本题主要考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解

要彻底.

二.填空题(共10小题)

11.(2013•资阳)如图，在Rt^ABC中，NC=90。，NB=60。，点D是BC边上的点，CD=1,将AABC沿直线AD

翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则4PEB的周长的最小值是」

考点：轴对称-最短路线问题；含30度角的直角三角形；翻折变换(折叠问题).

专题：压轴题.

分析：连接CE,交AD于M,根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时4BPE

的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,先求出BC和BE长，代入求出即可.

解答：

D(P)

解：连接CE,交AD于M,

•沿AD折叠C和E重合，

二NACD=/AED=90。，AC=AE,NCAD=NEAD,

，AD垂直平分CE,即C和E关于AD对称，CD=DE=1,

当P和D重合时,PE+BP的值最小,即此时4BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,

NDEA=90°,

/DEB=90。，

VZB=60°,DE=1,

ABE=2/1,BD/«,

33

即BC=1+173，

/.△PEB的周长的最小值是BC+BE=1+Z/^】V^=1+J^,

33

故答案为：i+V^.

点评：本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质

的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中.

12.(2013•黔西南州)如图，已知aABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE,则

NE=15度.

考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质.

专题：压轴题.

分析：根据等边三角形三个角相等，可知NACB=60。，根据等腰三角形底角相等即可得出NE的度数.

解答：解：•••△ABC是等边三角形，

AZACB=60°,ZACD=120°,

VCG=CD,

ZCDG=30°,ZFDE=150",

•；DF=DE,

/.ZE=15°.

故答案为：15.

点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180。以及等腰三角形的性质，难度适中.

13.(2013•枣庄)若a2-b?=L，a-b=工，则a+b的值为

63~2~

考点：平方差公式.

专题：计算题.

分析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将a-b的值代入即可求出a+b的值.

解答：解：Va2-b2=(a+b)(a-b)」，a-b=A,

63

••a+b--1.

2

故答案为：1.

2

点评：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

14.(2013•内江)若m--n~=6,且m-n=2,贝ljm+n=3.

考点：因式分解■运用公式法.

分析：将n?-/按平方差公式展开，再将m-n的值整体代入，即可求出m+n的值.

解答：解：m2-n2=(m+n)(m-n)=(m+n)x2=6,

故m+n=3.

故答案为：3.

点评：本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.

15.(2013•荒泽)分解因式：3a2-12ab+12b2=3(a-2b)2.

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

分析：先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案.

解答：解：3a2-12ab+l2b2=3(a2-4ab+4b2)=3(a-2b)2.

故答案为：3(a-2b)2.

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识.一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用

其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底.

16.（2013•盐城）使分式一起」的值为零的条件是x==L_.

2x-1

考点：分式的值为零的条件.

分析：分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零.

解答：解：由题意，得

x+l=0,

解得，X=-1.

经检验，x=-1忖，x+1-0

2x-1

故答案是：-1.

点评：本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0.这

两个条件缺一不可.

17.（2013•南京）使式子Id—L有意义的x的取值范围是xwl.

X-1

考点：分式有意义的条件.

分析：分式有意义，分母不等于零.

解答：解：由题意知，分母x-lwO,即xwl时，式子1—1一有意义.

x-1

故填:xwl.

点评：本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义Q分母为零；

（2）分式有意义O分母不为零；

（3）分式值为零Q分子为零且分母不为零.

2_

18.（2012•茂名）若分式勺一9^的值为0,则a的值是3.

a+3

考点：分式的值为零的条件.

专题：探究型.

分析：根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可.

解答：2_

解：•.•分式三二1的值为0,

a+3

.fa2-9=0

・・<,

.a+3户0

解得a=3.

故答案为:3.

点评：本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

19.在下列儿个均不为零的式子，X2-4,x2-2x,x2-4x+4,x2+2x,x?+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你

选择一个不是最简分式的分式进行化简：_二二__

x+2

考点最简分式.

专题开放型.

分析在这几个式子中任意选一个作分母，任意另选•个作分子，就可以组成分式.因而可以写出的分式有很多

个,把分式的分子分母分别分解因式，然后进行约分即可.

解答:x2-2x=x(x-2)_x-2

解:

x2+2xx(x+2)x+2

故填：三二.

x+2

点评:本题主要考查分式的定义，分母中含有字母的有理式就是分式.并且考查了分式的化简，首先要把分子、

分母分解因式，然后进行约分.

20.不改变分式的值，把分式:a+0-05b分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是

与-0.2b

2

60a+b

-10a-4b—

考点：最简分式.

分析：首先将分子、分母均乘以100,若不是最简分式，则一定要约分成最简分式.本题特别注意分子、分母的每

一项都要乘以100.

解答：解：分子、分母都乘以100得，300a+5b,

50a-20b

约分得，60a+b

10a-4b

点评：解题的关键是正确运用分式的基本性质.

三.解答题(共8小题)

21.(2013・遵义)已知实数a满足a?+2a-15=0,求，-一^2~的值.

2

a+1-1a-2a+l

考点：分式的化简求值.

分析：先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式,

最后把a?+2a-15=0进行配方，得到一个a+1的值，再把它整体代入即可求出答案.

解解1a+2.(a+l)(a+2)1a+2.1)21

22-

a+1a-1a-2a+la+1(a+1)(a1)(a+1)(a+2)a+1

a-1二2

(a+1)2(a+1)2

Va2+2a-15=0,

(a+1)2=16,

二原式

168

点评：此题考查了分式的化简求值，关健是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成

乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值.

22.（2013・重庆）先化简，再求值：式-：ab+9吐（包土_a-2b）-X其中a,b满足卜+4,

2

a-2aba-2ba[a-b=2

考点：分式的化简求值；解二元一次方程组.

专题：探究型.

分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a、b的值代入进行计算即可.

解答

解:1

原dW三a

(a-3b)2a-2b1

—__________x_________________—

a(a-2b)(3b-a)(3b+a)a

_3b_a1

a(3b+a)a

-■2

3b+a

../a+b=4

,[a-b=2，

.•Ja=3,

lb=l

点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

222

23.（2007•资阳）设ai=3?-a2=5-3,....an=（2n+l）-（2n-1）2篙为大于。的自然数）.

（1）探究an是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；

（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是"完全平方数试找出ai，a2,…，an，…这一•列数中从

小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n满足什么条件时，an为完全平方数（不必说明理由）.

考点：因式分解-运用公式法.

专题：规律型.

分析：（1）利用平方差公式，将（2n+l）2-（2n-1）2化简，可得结论；

（2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律.

2222

解答：解：（1）Van=（2n+l）-（2n-1）=4n+4n+l-4n+4n-l=8n,（3分）

又n为非零的自然数，

，an是8的倍数.（4分）

这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（5分）

说明：第一步用完全平方公式展开各（1）,正确化简（1分）.

（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64,144,256.（7分）

n为一个完全平方数的2倍时，an为完全平方数（8分）

说明：找完全平方数时，错一个扣（1）,错2个及以上扣（2分）.

点评：本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过•系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的

探究发现的能力.

24.在AABC中，若AD是NBAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，KDE1AB,垂足为E,DF1AC,

垂足为F（如图（1））,则可以得到以下两个结论：

①/AED+/AFD=180。；②DE=DF.

那么在aABC中，仍然有条件"AD是/BAC的角平分线，点E和点F,分别在AB和AC上”，请探究以下两个问

题：

（1）若NAED+NAFDT80。（如图（2））,则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明：否则请举出反例.

（2）若DE=DF,则/AED+/AFD=180。是否成立？（只写出结论，不证明）

考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.

专题：证明题.

分析：（1）过点D作DMLAB于M,DNLAC于N,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DM=DN,

再根据NAED+NAFD=180。，平角的定义得NAFD+/DFN=180。，可以推出NDFN=NAED,然后利用角角

边定理证明ADME与aDNE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明：

（2）不一定成立，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段上或垂线段与点A的两侧，则成立，若是同侧

则不成立.

解答:解：（1）DE=DF.

理由如下：

过点D作DM_LAB于M,DNJ_AC于N,

：AD平分NBAC,DM±AB,DN±AC,

，DM=DN,

ZAED+ZAFD=180",ZAFD+ZDFN=180°,

，NDFN=/AED,

.♦.△DME丝ZXDNF（AAS）,

DE=DF；

（2）不一定成立.

如图，若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立,

经过（1）的证明，若在垂线段上或两侧则成立，

所以不一定成立.

（2）题图

点评：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，从题目提供信息找出求证的思路是解题的关键，

读懂题目信息比较重要.

25.（2012•遵义）如图，^ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合）,

Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE_LAB

于E,连接PQ交AB于D.

（1）当NBQD=30。时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.

考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形.

专题：压轴题；动点型.

分析：（1））由△ABC是边长为6的等边三角形，可知/ACB=60°,再由/BQD=30。可知/QPC=90。，设AP=x,

贝iJPC=6-x,QB=x,在Rt^QCP中，NBQD=30°,PC」QC,即6-x」（6+x）,求出x的值即可；

22

（2）作QF_LAB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知

AP=BQ,

再根据全等三角形的判定定理得出aAPE乡Z\BQF,再由AE=BF,PE=QF且PE〃QF,可知四边形PEQF

是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE」AB,由等边AABC的边长为6可得出DE=3,故

2

当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.

解答：解：（1）•••△ABC是边长为6的等边三角形，

二ZACB=60°,

■:NBQD=30°,

二ZQPC=90°,

设AP=x,则PC=6-x,QB=x,

；.QC=QB+BC=6+x,

•在RtZ^QCP中，ZBQD=30°,

.*.PC=1QC,即6-x」（6+x）,解得x=2,

22

.,.AP=2；

（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.理由如下:

作QFLAB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,

又,；PEJ_AB于E,

，ZDFQ=ZAEP=90°,

•点P、Q速度相同，

，AP=BQ,

VAABC是等边三角形，

，ZA=ZABC=ZFBQ=60",

在4APE和ABQF中，

ZAEP=ZBFQ=90°,

.,.ZAPE=ZBQF,

fZA=ZFBQ

.•.在4APE和ABQF中，(AP=BQ

,ZAEP=ZBFQ

.,.△APE^ABQF(AAS),

；.AE=BF,PE=QF且PE〃QF,

...四边形PEQF是平行四边形，

；.DE」EF,

2

：EB+AE=BE+BF=AB,

.•.DE,AB,

2

又♦等边AABC的边长为6,

，DE=3,

二当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.

点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助

线构造出全等三角形是解答此题的关键.

26.（2005•江西）将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形

式，使点B、F、C、D在同一条直线上.

（1）求证:AB±ED；

（2）若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证

考点：翻折变换（折叠问题）；直角三角形全等的判定.

专题：几何综合题；压轴题.

分析：做此题要理解翻折变换后相等的条件，同时利用常用的全等三角形的判定方法来判定其全等.

解答：证明：（1）由题意得，ZA+ZB=90°,ZA=ZD,

，ND+/B=90°,

.,.ABIDE.（3分）

（2）VABIDE,AC1BD

，ZBPD=ZACB=90°,

.•.在AABC和△DBP,

，ZA=ZD

•ZACB=ZDPB，

BC=BP

/.△ABC^ADBP（AAS）.（8分）

说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：

△APNgZXDCN、△DE&ZXDBP、AEPM^ABFM.

点评：此题考查了翻折变换及全等三角形的判定方法等知识点，常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、HL等.

27.（2013•沙河口区一模）如图，RtaABC中，NC=90。，AC=3,BC=4.点M在AB边上以1单位长度/秒的速度

从点A向点B运动，运动到点B时停止.连接CM,将4ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A'.

（1）当CM与AB垂直时，求点M运动的时间；

（2）当点A'落在aABC的一边上忖，求点M运动的时间.

考点：翻折变换（折叠问题）.

分析：（1）由Rt^ABC中，ZC=90°,CM与AB垂直，易证得△ACMsaABC,然后由相似三角形的对应边成

比例，即可求得AM的长，即可得点M运动的时间；

（2）分别从当点A'落在AB上时与当点A'落在BC上时去分析求解即可求得答案.

解答：解：（1）•.,r△ABC中，ZC=90",CM1AB,

AZA=ZA,NAMC=/ACB=90°,

.,.△ACM^AABC,

•.•-A-C~-A-M,

ABAC

VAC=3,BC=4,

•*,AB=VAC2+BC2=5，

.,.AM-12-9,

AB5

，点M运动的时间为：—；

5

（2）①如图1,当点A'落在AB上时，

此时CM_LAB,

则点M运动的时间为：g

5

②如图2,当点A'落到BC上时，CM是/ACB平分线，

过点M作ME_LBC于点E,作MFJ_AC于点F,

AME=MF,

***SAABC=SAACM+SABCM»

.」AC・BC」AOMFJBC・ME,

222

二1X3X4=1X3XMF+1X4XMF,

222

解得：MF』，

7

VZC=90°,

，MF〃BC,

AAAMF^AABC,

.MFAM

••前海

12

即工

4~5

解得：AM」至，

7

综上可得：当点A'落在AABC的一边上时，点M运动的时间为：9或

57

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理等知识.此题