2022-2023学年山东省枣庄市枣庄市第八中学高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省枣庄市枣庄市高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知函数，则y在上的平均变化率为（

）A．0.82 B．8.2 C．0.41 D．4.1【答案】B【分析】根据平均变化率进行计算．【详解】，，所以．故选：B．2．四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，那么不同的涂法有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【分析】先确定底面的涂色种数，然后依次确定侧面、平面的涂色方法种数，对侧面与侧面的所涂颜色是否相同进行分类讨论，确定侧面的涂色方法种数，利用分步和分类计数原理可得结果.【详解】如下图所示：底面的涂色有种选择，侧面有种选择，侧面有2种选择.①若侧面与侧面所涂颜色相同，则侧面有种选择；②若侧面与侧面所涂颜色不同，则侧面有种选择，侧面有种选择.综上所述，不同的涂法种数为种.故选：B.3．已知函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的定义，把转化为，利用导数的四则运算求出，代入即可求解.【详解】由可得，，．故选：C4．体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有（

）A．8种 B．10种 C．12种 D．16种【答案】B【分析】首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，下面是一个分类计数问题，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；可以把球分成两份，这两份在三个位置排列，有种结果；可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果，相加得到结果.【详解】首先在三个箱子中放入与编号相同的足球的个数，这样就剩三个足球了，这三个足球随便放置，下面是一个分类计数问题，第一种方法，可以在每一个箱子中放一个，有1种结果；第二种方法，可以把球分成两份，1和2，这两份在三个位置排列，有种结果；第三种方法，可以把三个球都放到一个箱子中，有3种结果，综上可知共有种结果.故选：B.5．已知定义在上的函数的导数为，且，若对任意恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0．x∈（0，+∞）．xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．可得函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调性，即可解出．【详解】解：令g（x）＝f（x）lnx﹣1，g（e）＝f（e）lne﹣1＝0，x∈（0，+∞）．∵xg′（x）＝xf′（x）lnx+f（x）＞0，在x∈（0，+∞）上恒成立．∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．由lnx，可得，即又∴g（x）＞0=g（e），∴x＞e．即不等式lnx的解集为{x|x＞e}．故选C．【点睛】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知函数在处的切线与函数的图象相切，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数求出函数在处的切线方程，设直线与函数的图象相切于，再由斜率相等及在处的函数值相等联立求解.【详解】由，得，则，又，函数在处的切线方程为，设直线与函数的图象相切于，则，，联立解得，.故选：A7．已知函数有两个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】因为，所以令，题意转化成有两个根，分和两种情况，当时，可转化成和有两个交点，通过导数画出的图象即可求解【详解】，令，显然该函数单调递增，，则有两个根，当时，等式为，不符合题意；故，等式转化为有两个根，即和有两个交点，设，求导得，故当和时，，单调递减；时，，单调递增；且当时，，，故如图所示由图可得，的取值范围是故选：D8．已知则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可比较的大小，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较的大小.【详解】设，恒成立，所以单调递增，因为，所以，即，所以，设，，恒成立，所以函数在上单调递增，，即，所以，综上可知，.故选：B【点睛】关键点睛：本题考查利用导数比较实数大小，思路是观察3个实数，通过构造函数，判断单调性，再比较大小，本题的关键是，用表示，从而构造函数，问题就会迎刃而解.二、多选题9．现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（

）A．选1人为负责人的选法种数为30B．每组选1名组长的选法种数为3024C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种【答案】ABC【分析】利用加法计数原理判断选项A；利用乘法计数原理判断选项B；利用乘法及加法计数原理判断选项C；利用间接法并结合乘法计数原理判断选项D.【详解】对于A，选1人为负责人的选法种数：，故A正确；对于B，每组选1名组长的选法：，故B正确；对于C，2人需来自不同的小组的选法：，故C正确；对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有种选择，所以不同的选法有：，故D错误；故选：ABC.10．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，在上单调递减B．当时，函数没有最值C．对任意，函数恒有两个极值点D．对任意，过原点且与相切的直线恒有两条【答案】AC【分析】利用导数求函数的单调性、最值、极值，从而判断选项A，B，C；利用导数的几何意义求切线的方程，分析切线的斜率，从而判断选项D．【详解】对于A选项，当时，，则，当时，恒有，因此在上单调递减，故A正确；对于选项B，，令，可得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，故无最大值，又当时，，且，故有最小值，且最小值在处取得，故B错误；对于选项C，由题可得，令，因为，所以，，即存在两个不同的根，所以恒有两个极值点，故C正确；对于选项D，设切点为，则切线方程为，因为该切线过原点，所以，即，即，当时，方程有唯一解，即，所以当时，过原点且与相切的直线只有一条，故D错误．故选：AC.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调性、最值，判断极值，求切线方程，解题的关键是正确求出导数，理解函数的单调性与导数的关系，清楚导数的几何意义.11．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（

）A．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种【答案】BCD【分析】由分步乘法计数原理即可判断A，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B，由分步乘法、排列、组合的知识可判断C，由枚举法可判断D，即可得解.【详解】对于A，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有种放法，故A错误；对于B，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有种放法，故B正确；对于C，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有种放法，故C正确；对于D，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所有符合要求的情况：，，，，，，，，，共9种放法，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类、分步，完整枚举是解题关键，属于中档题.12．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若恒成立，则B．当时，的零点只有1个C．若函数有两个不同的零点，，则D．当时，若不等式恒成立，则正数的取值范围是【答案】BCD【分析】采用分离变量法可得，利用导数可求得的单调性，进而得到最大值，从而得到，知A错误；根据恒成立可知单调递增，利用零点存在定理可说明存在唯一零点，知B正确；要得到，只需得到，可化简得到，从而将问题转化为证明，设，利用导数可说明，即可判断C正确；将恒成立的不等式变形为，根据单调递增可得，即，利用导数的知识即可判断D正确.【详解】对于A，定义域为，由得：，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，则，A错误；对于B，定义域为，，当时，，在上单调递增，又，，，使得，当时，有且仅有一个零点，B正确；对于C，，，；要证，只需证，即证，不妨令，则只需证，令，则，令，则，在上单调递增，，，即恒成立，，C正确；对于D，当时，由得：，即，；令，则，在上单调递增，由得：，；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.三、填空题13．曲线在点（e，f（e））处的切线方程为______________【答案】x-ey=0【详解】，则切线斜率，又，∴切线方程为∴切线方程为x-ey=0故答案为x-ey=0【点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14．函数，则在上的最大值为___________.【答案】16【分析】由导函数，由导函数确定极值点，结合区间端点处函数值可得最大值．【详解】由题意，得，，时，，递减，时，，递增，所以，又16，，所以最大值为16．故答案为：16．15．在的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球，每一行、每一列各只有一个球，每球占一格，则不同的放法种数为__________．（结果用数字作答）【答案】【分析】先放白球，然后放黑球，结合分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】先在个格选一个放白球，方法数有种，再放个黑球，方法数有种，所以不同的放法数有种.故答案为：16．已知实数，，满足，（其中为自然对数的底数），则的最小值是______.【答案】##【分析】变形给定不等式，构造函数并借助函数的单调性，求出的关系，再利用导数求出函数的最值作答.【详解】，令函数，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，，于是，即，当且仅当，即时取等号，依题意，，，令，求导得，当时，，当时，，从而函数在上单调递减，在上单调递增，，所以的最小值是.故答案为：.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.四、解答题17．（1）已知函数,求解集；（2）设曲线在点（0，e）处的切线与直线垂直，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由题可得，然后解不等式即得；（2）根据复合函数的导数可得，然后根据导数的几何意义及直线的位置关系即得.【详解】（1）由题可得，由可得或，又因为，故不等式的解集为；（2）由题可得，依题意：，所以.18．用0，1，2，3，，9这十个数字.(1)可组成多少个三位数？(2)可组成多少个无重复数字的三位数？(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？【答案】(1)900；(2)648；(3)379.【分析】（1）根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；（2）根据题意，分别得出三位数各位的种数，根据分步乘法计数原理相乘即可得出结果；（3）根据题意，分成三种情况，分别计算得出各种情况的种数，根据分类加法计数原理相加即可得出结果.【详解】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法.根据分步乘法计数原理，共有种.（2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，共有个无重复数字的三位数.（3）由已知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，第一类，满足条件的一位自然数：有10个，第二类，满足条件的两位自然数：有个，第三类，满足条件的三位自然数：第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，有个.由分类加法计数原理知共有，共有379个小于500且无重复数字的自然数.19．已知：函数.(1)若，求的单调性；(2)若在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）求出导函数，利用，求出的值，解不等式，即可求出的单调性；（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围.【详解】（1），，，，.将代入得，令得或.300在上单调递减，在上单调递增.（2）方法1：在上是增函数，在上恒成立，，当时，是增函数，其最小值为，.实数的取值范围是.方法2：在上是增函数，在上恒成立，，.实数的取值范围是.20．已知集合，点在直角坐标平面上，且．(1)平面上共有多少个满足条件的点P？(2)有多少个点P在第二象限内？(3)有多少个点P不在直线上？【答案】(1)36(2)6(3)30【分析】（1）（2）根据分步乘法计数原理即可求解，（3）先求出在直线上的点的个数，用全部个数去掉在直线上的点，即可求解.【详解】（1）第一步，先安排横坐标，，所以有6种选择，第二步，安排纵坐标，，所以有6种选择，所以一共有个满足条件的点，（2）在第二象限，则，故可从这3个数字中选择1个，有3种选择，可从这2个数字中选择1个，有2种选择，故总共有个满足条件的点，（3）在直线上点满足，此时有点共有6个，所有不在直线上点有个.21．某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.(1)