《测量数据处理》

测量数据处理甘肃工业职业技术学院测绘学院学习情境：2学习情境一测量数据的误差分析与精度评定学习情境二高程控制网平差计算学习情境三平面控制网平差计算学习情境四专业平差软件及其应用学习情境一测量数据的误差分析与精度评定子情境一测量成果误差分析子情境二衡量精度的指标子情境三误差传播定律子情境四协因数传播律3子情境一测量成果误差分析案例导入：在测量中，测量误差分为很多种，有些误差是不可以避免的，但有些误差可以通过采取相应的措施来削弱，比如说在水准测量中，下列几种情况都可以使水准尺读数带有误差，⑴仪器下沉；⑵水准尺下沉；⑶估读不准确；⑷视准轴与水准轴不平行。在钢尺丈量距离的过程中，下列几种情况会使得结果产生误差，⑴尺长不准确；⑵尺不水平；⑶估读小数不准确；⑷尺垂曲；⑸尺端偏离直线方向。究竟哪些情况是不可避免的呢？

4观测值与观测误差观测误差的来源观测误差的分类测量平差的产生和研究对象测量平差的目的和任务5知识准备：观测值与观测误差基本概念真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正大小的数值，一般用表示。观测值：对该量观测所得的值，一般用表示。真误差：观测值与真值之差，一般用表示，也称观测误差。6观测值与观测误差由于误差的存在，使测量数据之间产生矛盾，测量平差的任务就是消除这种矛盾，或者说是将误差分配掉，因此称为平差。7oo180)(180)(¹++=++实际理论gbagba观测误差的来源误差产生的原因可归纳于观测者、观测仪器及观测条件三个主要方面：即观测者误差、仪器误差和环境误差1．观测者误差这类误差是由于观测者感观能力的局限而产生的误差，如经纬仪角度观测时在测微器上读数、仪器整平时气泡的居中判断。当然观测者观测时的工作态度和技术水平，工作时的环境对观测质量也会有直接的影响。82．仪器误差由于仪器在制造或结构上的不完善而产生的误差。如经纬仪度盘刻划不均匀对角度测量的影响、水准仪视准轴不正确对高差的影响等等。3．环境误差由于观测时外界环境的改变而对观测数据产生的影响。如观测时大气温度、气压及风力、引力场或磁场的变化都可能给测量成果带来影响。9观测误差的分类所有观测数据都含有误差，它们或由于观测人员感观能力的局限，或来自于读数设备的不精细、观测环境的不稳定等等。根据误差的性质，可以将观测误差分为粗差、系统误差和偶然误差三种。

10测量中的错误——粗差粗差是由于观测错误或观测者作业时粗心引起的，又称为错误或大量级的误差。引起粗差的原因很多，如测角时仪器安置位置不正确、水准测量时读错或记错读数、测距仪测距时加常数设置错误或没有进行乘常数项的改正等。粗差的存在，严重影响测量成果的质量，甚至会给测量工作带来难以估计的灾难性后果，故在测量工作中，必须采取适当的方法和措施，避免在观测成果中产生错误。11观测误差的分类系统误差：指在相同的观测条件下作一系列的观测时，大小和符号表现出系统性，或按一定规律变化，或者为某一常数的误差。处理方法：

1、在观测方法和观测程序上采取必要的措施，限制或削弱系统误差的影响；

2、在平差计算前进行必要的预处理，即利用已有公式对观测值进行系统误差改正；

3、将系统误差当作未知参数纳入平差函数模型中，一并解算。12观测误差的分类偶然误差：指在相同的观测条件下作一系列的观测时，从单个误差看，该列误差的大小和符号表现出偶然性，无规律，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，也称随机误差。处理方法：采用多余观测，利用测量平差的方法求出观测值的最或然值。13观测误差的分类偶然误差的统计规律

观测向量：若进行n次观测，观测值分别为L1

、L2

、……Ln

，则观测值、真值、真误差可表示为14观测误差的分类例1在相同的条件下，独立观测了n=358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180°，但由于误差的影响往往不等于180°，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔d△=0.2″进行统计，结果如下表所示。15误差区间-△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.030>1.60000000和1810.5051770.495观测误差的分类例2在相同的条件下，独立观测了n=421个三角形的全部内角，由于观测误差的影响，计算三角形内角和的真误差，并按误差区间的间隔d△=0.2″进行统计，结果如下表所示。16误差区间—△+△个数K频率K/n(K/n)/d△个数K频率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200……………………………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.0025>2.60000000和2100.4992110.501观测误差的分类17(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差概率密度函数曲线用直方图表示:面积=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有长方形面积之和=k1/n+k2/n+…..=1观测误差的分类18

频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差0.630

频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差提示：观测值定了后其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同，但其极限分布均服从正态分布。

频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

--例1例2用曲线图表示：0.475观测误差的分类

1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝对值不会超过一定的限值。（有界性）

2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。

（聚中性）

3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等。（对称性）

4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近于零。（抵消性）19即Lim——ni=1nni=Limn——n[]=0偶然误差的统计规律观测误差的分类两个重要提示：20这表明,若观测值中不含有系统误差和粗差,则观测量的期望值就是其真值。1、由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值。2、由偶然误差的对称性和抵消性知，Δ的理论平均值应为零，即有:测量平差的产生和研究对象平差的产生：测量差异观测误差观测条件

多余观测

21发现来源于来源于测量平差的产生和研究对象研究对象：

1.平差是针对含有观测误差的观测值，依据某种最优化准则，研究由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及其精度的理论和方法；

2.主要对象是偶然误差，即总是假定含粗差的观测值已被剔除，含系统误差的观测值已经过适当改正。22测量平差的目的和任务目的：

1、求待定量的最佳估值：即对一系列带有观测误差的观测，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知量的最可靠值。

2、评定测量成果的精度。任务：测量平差是测绘专业的专业基础课之一。它是应用概率和数理统计方法来分析观测数据，为观测数据的处理提供理论基础；以最小二乘法作为处理观测数据的基本原则，讲解测量平差的基本原理、方法和技能；论述近代测量平差的基本理论与方法，介绍测量数据处理的最新研究成果。

23案例解答：

偶然误差由于观测条件的限制，在观测过程中是不可避免的。如观测时仪器不能严格照准目标，估读厘米刻划的水准尺上的毫米数不准确，钢尺量距时温度变化对观测结果产生的微小影响等都属于偶然误差。24子情境二衡量精度的指标案例导入：某公司刚刚购进一台的经纬仪，为测量其测角精度，现对某一精确测定的水平角（设无误差）作25次观测，根据观测结果，算得各次的观测误差（单位：″）如表1-2。试根据计算测量精度。25方差与中误差平均误差或然误差相对误差极限误差

精度与准确度26知识准备：衡量精度的指标方差与中误差方差是指随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。方差定义为：又可将方差表示为：

方差的平方根称为标准差。即27衡量精度的指标上述方差、标准差公式只是在观测个数

充分大时才成立。实际上，观测个数总是有限的，因此当有限时，我们只能依据有限的真误差数计算方差和标准差的估值，习惯上记作和。计算公式是，注意：在一定的观测条件下，具有确定不变的概率分布，即方差和标准差均为定值，是一个固定不变的常数。而由上式得到的估值和将随着观测个数的多少及试验中观测值的随机性而发生变动，即方差、标准差的估值和仍是一个随机变量，且当逐渐增大时，估值越来越接近于理论值。28衡量精度的指标

平均误差在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。29与中误差的关系：衡量精度的指标或然误差30

f()0闭合差50%衡量精度的指标极限误差极限误差就是最大误差。规定极限误差的根据是误差出现在某一范围内的概率的大小。经统计Δ出现在(-σ,+σ),(-2σ，+2σ)，(-3σ，+3σ)内的概率分别为31大于三倍中误差的误差，其出现的概率只有0.3%，是小概率事件，在一次观测中，可认为是不可能事件。因此，可规定三倍中误差为极限误差。即对观测要求较严时，也可规定两倍中误差为极限误差，即衡量精度的指标相对误差32

衡量单位观测值的精度叫做相对精度。包括相对真误差、相对中误差、相对极限误差,它们分别是真误差、中误差和极限误差与其观测值之比。相对误差是个无名数,在测量中经常将分子化为1，分母用整数N表示。即

与相对误差相区别,真误差、中误差和极限误差统称为绝对误差。

衡量精度的指标33例1设在像片上量得一距离长为100cm，其相对中误差为1/2000，求该距离的绝对误差。

解：由相对误差定义式可知

因此，该距离的绝对中误差为衡量精度的指标精度与准确度精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集或离散程度。34一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若观测条件较好，误差分布较密集，则其精度较高。提示：观测条件相同的一组观测，称为等精密度观测，但各自的真误差彼此并不一定相等。

精度与准确度35

频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差由例1和例2误差分布图知：

左图误差分布曲线较高且陡峭（即误差分布较密集），故其精度高；右图误差分布曲线较低且平缓（即误差分布较离散），故其精度低。

频数/d00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差

--精度与准确度方差与中误差设为服从正态分布的偶然误差，其方差为

中误差为36提示：

越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度越低。

f()00.40.60.8-0.8-0.6-0.4闭合差精度与准确度方差的估值：37上式中

中误差的估值：精度与准确度案例解答：解：［ΔΔ］=22.6138

误差传播定律误差传播定律在测量中的应用39任务三误差传播定律子情境三误差传播定律案例导入：在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的，则由直接观测的量，通过函数关系间接计算得出该未知量。对于直接观测的量，我们可以求取其观测中误差，那么，如何求取通过函数关系计算出来的未知量的中误差呢？则需要运用到误差传播定律的相关知识。其实质是在间接观测的情况下，阐述未知量的中误差和观测值中误差之间的关系，即根据观测值的中误差去求观测值函数中误差。例如：某一矩形场地量得其长度，宽度，现要求除计算该矩形场地的面积之外，更关心面积的测量精度，即还要求计算面积中误差。40误差传播定律观测量间的协方差

当观测量之间不再误差独立时，观测量和之间的误差相关，描述这种相关程度的指标是协方差，其定义式为当时，表示观测量和相互独立；当时，表示二者相关，不互相独立。若为正值，表示正相关；若为负值，表示负相关。41知识准备：误差传播定律观测量间的方差阵对于向量L=[L1，L2，……Ln]T，将其元素间的方差、协方差阵表示为：42矩阵表示为：方差协方差阵误差传播定律

观测量间的方差阵43特点：1、方差阵中，如，即方差阵是一对称矩阵。

2、方差阵中主对角线元素为相应观测值的方差，其

余元素为两个观测值相应的协方差。

3、当所有观测值为等精度观测时，主对角线元素全

部相等。误差传播定律4、各观测量互不相关时，故方差阵为对角矩阵。即

44误差传播定律真误差的传递451、线性函数真误差的传递其中为常系数，为常数，观测值的误差为表示观测值的真值，而函数的真值为

顾及

得线性函数的真误差传递公式误差传播定律真误差的传递46设

将

代入上式按台劳公式展开，取至一次项，并取函数的近似值为用观测值求得的函数值，可得:令则非线性函数真误差的传递公式为：2、非线性函数真误差的传递误差传播定律真误差的传递47若有m个线性函数或m个非线性函数

可以得到观测向量与其函数向量之间的真误差传递关系式为

当函数为非线性形式时，fij是一偏导数值，因Δ很小，可用相应微分值代替以上三式的矩阵形式表示为Y=FX+F0Y=F(X)

ΔY=FΔX

3、函数向量真误差的传递误差传播定律协方差的传递481、协方差传递基本公式及应用设随机向量X的两个函数向量为

Y=F(X)

Z=K(X)其误差向量为ΔY=FΔXΔZ=KΔX随机向量与其函数向量间的方差传递公式为：误差传播定律协方差的传递49同理可证另外两式证明：误差传播定律50例1设有函数Y=4x1-3x2-60，已知X=的方差阵为：

试求Y的方差。

解:将函数写成矩阵形式，即系数矩阵为：F=［4-3］

Y的方差为：

误差传播定律51例2设有函数，已知

的方差阵为

试求Y的标准差σY。

解:对函数式求全微分并写成矩阵式

系数矩阵为由协方差传播律得：误差传播定律52例3设有函数Z=A1X+A2Y+A0,已知X、Y的方差阵分别为DX、DY,两者之间的协方差阵为DXY。试求:1)Z的方差阵DZ；2)Z对X,Z对Y的协方差阵DZX和DZY。

解:1)将函数式改写为:

式中

由方差阵的定义，即可写出U的方差阵为:由协方差传播律得：误差传播定律53

2)为能应用传播律公式中第三式求Z对X的协方差DZX，则必须将Z、X表达为同一随机向量的函数，即均表达为X、Y的函数，为此有由协方差传播律得：

误差传播定律54例4设有函数又已知X1，X2之间的协方差阵为D12，试证明Y对Z的协方差阵为:

证明:将函数改写为

由协方差传播律得：误差传播定律独立观测量函数的方差传递55

若向量X中的各个分量xi(i=1，2，…，n)两两独立，即方差阵DX具有如下形式:而中系数矩阵为行向量

则有

误差传播定律56例1在1：1000的地形图上，量得a、b两点间的距离d=40.6mm，量测中误差=0.2mm，求该两点实际距离的中误差。解:由题意知根据误差传播定律可知

化简可得

误差传播定律57例2用钢尺分5段测量某距离，得到各段距离及其相应的中误差如下，试求该距离S的中误差及其相对中误差。

S1=50.350m±1.5mmS2=150.555m±2.5mmS3=100.650m±2.0mmS4=100.450m±2.0mmS5=50.455m±1.5mm解：由题意可得

根据误差传播定律可知

S的中误差为其相对中误差为误差传播定律58例3以等精度观测三角形的三个内角L1，L2，L3，其中误差都是σ，设Li

之间互相独立，试求平均分配闭合差后的三个内角的方差。解:三角形闭合差为W=(L1+L2+L3

)-180°

平均分配闭合差后的三个内角为当i=1时有

由题意知，Li之间互相独立，故可得:同理可得误差传播定律非线性函数的方差传递59设将上式按台劳公式展开，化简可得非线性函数误差的传递公式为：则非线性函数方差的传递公式为：误差传播定律60例1已知长方形的厂房，经过测量，其长x的观测值为90m，其宽y的观测值为50m，它们的中误差分别为2mm、3mm，求其面积及相应的中误差。

解:长方形厂房的面积为

对面积表达式进行全微分，得转化为真误差形式为

面积中误差为

根据误差传播定律将上式转化成中误差形式，可得

误差传播定律误差传播定律应用步骤:1、根据实际情况确定观测值与观测值的函数,写出具体函数表达式。2、写出观测量的协方差阵。3、如果函数表达式为非线性函数时，对函数取全微分进行线性化。4、应用线性函数协方差传播定律，得到函数值的中误差。61误差传播定律在测量中的应用水准测量的精度62

设水准测量中每一测站观测高差hi

的精度相同，其方差均为

,则具有N个测站的水准路线的总高差为

应用协方差传播公式可得

在平坦地区的水准测量中,每公里的测站数大致相等,

因此,

每公里观测高差的方差相等,

设其均为

，则S公里观测高差的方差和中误差分别为

误差传播定律在测量中的应用63例1水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm,则该水准路线长度不应超过多少公里？解：由公式

可得

所以，该水准路线长度不应超过36公里。

误差传播定律在测量中的应用同精度独立观测值的算数平均值的精度64

设L1,L2,…,Ln为一组等精度的独立观测值(方差均为σ2),其算术平均值为

应用协方差传播公式得

误差传播定律在测量中的应用65例2已知某台经纬仪一测回的测角中误差为±6"，如果要使各测回的平均值的中误差不超过±2"，则至少应测多少测回？解：由公式

可得

所以，至少应观测9个测回误差传播定律在测量中的应用若干独立误差的联合影响66

设若干独立误差的联合影响下观测结果的真误差为

由协方差传播律可得：即观测结果的方差等于各独立误差所对应的方差之和。误差传播定律在测量中的应用平面控制点的点位精度67

如图所示导线，A为已知点，α0为AB方向的方位角，β为观测角，其方差为±4.0(″)2，观测边长S为600.00m，其方差为0.5cm2，试求C点的点位方差。

解法一：由C点纵、横向方差求点位方差

如图AC边上边长方差称为纵向方差，而在它的垂直方向的方差称为横向方差。

横向方差是由AC边的坐标方位角α的方差引起的，由图知点位方差为

误差传播定律在测量中的应用

平面控制点的点位精度68解法二:由C点纵、横坐标方差求点位方差1、列函数式，由图知:2、线性化

3、应用协方差传播公式可得坐标方差计算式4、计算点位方差

误差传播定律在测量中的应用根据实际要求确定部分观测值的精度69

误差传播定律是用来确定观测值及其函数间的精度关系的。一般情况下的应用是已知观测值的精度，来求观测值函数的精度。但在测量实际工作中，经常会出现为了使观测值函数的精度达到某一预定值的要求，反推观测值应具有的精度，即已知观测值函数的精度，求部分观测值的精度。在制定有关测量观测精度的规范中常用这种方法。

要解决这类问题，列函数式求中误差的方法与误差传播定律中所讲的完全相同，即函数的自变量仍然是观测值。在列函数式时，将自变量放在等号的右边，函数放在等号的左边，然后，才能利用误差传播定律。如以下例题所示。误差传播定律在测量中的应用70例1一个三角形观测其两个内角α和β，第三个内角为γ，若已知α角的测角中误差为，要求γ角的中误差，问β角的测角精度不能低于多少？

解:由三角形内角和的关系可知

根据误差传播定律，其中误差的平方为

所以

由中误差的关系知即为了使角

γ的精度不低于5″，β角的观测精度应不低于4″误差传播定律在测量中的应用71案例解答：误差传播定律应用的具体如下：第一步求面积的函数表达式，并求面积：代入观测值，则矩形场地的面积第二步求全微分，将面积的非线性表达式线性化：第三步按协方差传播律，求面积的方差则面积的中误差子情境四协因数传播定律案例导入：权在测量中的应用比较广泛，是一种比较观测值之间精度高低的指标，同样可以用权来比较各个观测值函数之间的精度。现知道观测值的权需要求观测值函数权，具体问题如下：已知独立观测值的权为（i=1，2，…），求的权。72

权与定权常用的方法协因数与协因数传播定律由真误差计算中误差的实际应用73任务四协因数传播定律知识准备：权与定权的常用方法权的定义74

权是衡量各观测值在平差结果中应起作用大小的数值。

设有一组观测值，其方差分别为(i=1，2，…，n)，则第i个观测值的权定义为

Pi为观测值Li的权，是可以任意选定的比例常数。

观测值的权与观测值的方差成反比，权的大小不是唯一的,但权之间的比例关系不变。权与定权的常用方法单位权方差75

权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，只能用同一个，否则，将破坏权之间的比例关系，失去相对精度标准的意义。的含义：

令，则得:

上式说明是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。凡是方差等于的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单位权观测值。权与定权的常用方法76例1已知三个角度观测值的中误差分别为±3″，±4″，±5″，试求各角的权。

解:若取则有

若取

则有

上例说明σ0取值不同，则各观测值的权不同，但权之间的比值不变，即权与定权的常用方法77例2已知A角的中误差σA=±2″，权PA=4，B角的权PB=16，试求单位权中误差σ0及B角的中误差σB。

解:由权的定义式可得

将σA、PA之值代入上式可解出

又由权的定义式可得

权与定权的常用方法水准测量定权78已知同精度观测Ni个测站的水准高差hi的方差为：

取C个测站的观测高差的方差为单位权方差，即

按定权公式可得用测站数定权的公式

1、用测站数定权（用于山地）

权与定权的常用方法79

已知每公里观测高差的方差相等时，Si

公里观测高差的方差为

取C公里观测高差的方差为单位权方差，即

按定权公式可得用路线长度定权的公式：

上式说明，当每公里观测高差等精度时，水准测量高差的权与距离成反比。2、用路线长度定权（用于平地）权与定权的常用方法80例1在某平原地区布设了一水准网如右图，图中各水准路线的长度分别为:试确定同精度观测条件下，各线路高差观测值的权。

解:取3公里的观测高差为单位权观测，即取C=3km，则按水准测量的定权公式求得权与定权的常用方法81例2在平坦地区测得两段观测高差及水准路线的长分别为：h1=10.125米，S1=3.8公里，h2=-8.375米，S2=5.5公里，设每一测站的观测精度相同，那么h1和h2哪一个权大？哪一个精度高？解：由水准测量的定权公式知，水准测量的权与路线长度成反比，因为S2大于S1

，所以，h1的权比h2的权大，h1精度高。权与定权的常用方法82例3在相同观测条件下进行的四等水准测量中，设以4公里的观测高差为单位权观测高差，已知单位权中误差σ0=±1mm，则64公里观测高差的中误差等于多少？

解：根据题意知，C=4公里，σ0=

±1mm，S=64公里，由水准测量的定权公式求64公里观测高差的权

再由权的定义式

可得

所以，64公里观测高差的中误差为4mm。

权与定权的常用方法距离量测定权83

1、钢尺量距的权

设单位长度距离丈量的方差为σ2

，则丈量距离Si

的方差为取丈量长度C的方差为单位权方差，即取则按定权公式得

上式说明，当单位长度距离丈量的精度相同时，距离丈量的权与长度成反比。权与定权的常用方法距离量测定权84测距仪测距的权可按定权公式直接求得，即

式中为任选的单位权方差；为测距方差，它包含固定误差和比例误差两部分。即mmkm2、光电测距的权权与定权的常用方法

等精度观测算术平均值的权85

已知一组等精度的独立观测值(方差均为σ2)算术平均值的方差为：

若取C次观测值的算术平均值为单位权观测值，即取

按定权公式可得算术平均值的权

上式说明，算术平均值的权与观测次数成正比。

协因数与协因数传播定律协因数86

单位权方差与观测值方差之比可作为衡量精度的相对指标，反过来，观测值方差与单位权方差之比同样可作为衡量精度的相对指标，我们称其为协因数，用符号Qii表示，即

与权的定义式比较可得

由协因数定义式又可得到

协因数与协因数传播定律协因数阵871、n维随机向量X的协因数阵仿协因数定义,定义两随机变量的互协因数将n维随机向量X的方差阵的定义式乘以，得:上列矩阵称为协因数阵，记作QX，即上式矩阵中，当Qij=0(i≠j)时，则Xi和Xj互相独立。协因数与协因数传播定律协因数阵88当向量Z是向量X和Y的分块向量时，即则有

式中，QX、QY分别为X、Y向量的自协因数阵，而QXY、QYX分别为X向量关于Y向量的互协因数阵，QXY与QYX互为转置。当QXY=0时，表示X、Y互相独立。

2、分块向量的协因数阵协因数与协因数传播定律

权阵89平差计算中，往往用协因数阵的逆阵参与运算，为表达方便，将其逆阵用符号P表示，并称其为权阵，即观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵，再利用权与协因数的倒数关系求权。当权阵为对角阵时，Qii=1/Pii，再由权与协因数的关系得协因数与协因数传播定律90例1已知观测值向量L的协因数阵为试求:1)观测值L1、L2的权P1和P2；

2)观测值向量L的权阵P。解:1)由权与协因数的关系式可得

2)由权阵的定义式可得观测向量L的权阵为协因数与协因数传播定律91例2已知观测向量L的权阵为试求观测值L1，L2的权。解:由权阵与协因数阵的关系式得观测值向量L的协因数阵为

再由权与协因数的关系式得:协因数与协因数传播定律协因数传播律92将协方差传播公式乘以，并顾及即可得到观测向量X与其函数向量Y、Z之间的协因数传播公式，即若向量X中的各个分量xi(i=1，2，…，n)两两独立，即系数矩阵为行向量则有协因数与协因数传播定律93例1在测站O上观测了A、B、C三个方向，如图所示，得观测值L1、L2、L3。设各方向值之间互相独立且等精度，其权逆阵为试求角度β=(β1β2)T的权逆阵Q。解:因为上式中，说明在一个测站上当有二个以上方向时,由方向观测值求出的角度之间是相关的。由真误差计算中误差的实际应用

用不同精度的真误差计算单位权中误差94设一系列不等精度的观测值、观测值的真误差、观测值的权分别为L1,L2,…,LnΔ1,Δ2,…,ΔnP1,P2,…,Pn再假设一列观测值为其真误差为由协因数传播律可得即说明（i=1,2,…,n）是等精度的,且权都等于1。由真误差计算中误差的实际应用95按等精度观测计算中误差的公式，有将代入上式，可得上式即为按不等精度观测值的真误差求单位权中误差的公式。如果要求第i个观测值的中误差，只要由权的定义式通过变换便可得到计算公式，即由真误差计算中误差的实际应用

由三角形闭合差计算测角中误差96利用n个等精度三角形闭合差可求得三内角和的方差估值为设第i个三角形的三内角之和的估值为若每一个角度观测值估值的方差为

，则由上式按协方差传播公式得:从而得角度观测值方差和中误差的估值的公式:上式称菲列罗公式（近似公式）,它忽略了间的相关性。由真误差计算中误差的实际应用

利用双观测列之差求中误差971、利用双观测列之差求单位权中误差设一组量的双观测列分别为和为第i个量的往返观测值,再设每个量的双观测的权相等,均为Pi，则同一量的双观测之差为其真误差为利用权倒数传播公式得双观测之差的权倒数为由真误差计算中误差的实际应用利用双观测列之差求中误差98双观测之差的权为由不等精度观测求单位权中误差的公式可得将和代入上式得等精度观测时有由真误差计算中误差的实际应用利用双观测列之差求中误差99如果要求任一量的单次观测的中误差，根据权的定义式可以导出所求结果为

2、求双观测列单次观测的中误差由真误差计算中误差的实际应用利用双观测列之差求中误差100根据协方差传播公式得则双观测列平均值的中误差为等精度观测时有

3、求双观测列平均值的中误差如果要求任一对观测值平均值的中误差,则由求平均值的函数式由真误差计算中误差的实际应用利用双观测列之差求中误差101例1一水准路线分6段观测，其往返观测结果列于下表1。试求:1)每段高差平均值及其中误差。2)该条水准路线高差平均值及其中误差。

段号

高差路线长Si（KM）

Pi=1/si平均值

di(mm)

di*di

Pi*di*di

L"

123456∑4.321-0.756-2.4668.9646.4044.892

-4.3050.7702.442-8.980-6.430-4.880

2.05.02.54.05.03.3

0.500.200.400.250.200.30

4.313-0.763-2.4548.972

6.417

4.886

1614-2416-26

12

2561965762566761447

11810119

128.039.2230.464.0135.243.2640.0L"由真误差计算中误差的实际应用

利用双观测列之差求中误差1022）水准路线首尾两点的高差，即6段高差平均值的代数和为其中误差为解：1）水准路线各段高差往、返观测值的权、平均值及其中误差的计算见表1协因数与协因数传播定律103案例解答：因为按协因数传播公式，得由权与协因数的关系式，得学习情境二高程控制网平差计算子情境1单一水准路线间接平差子情境2水准网间接平差子情境3单一水准路线条件平差子情境4水准网条件平差子情境5MATLAB工具软件及其应用

104

子情境1单一水准路线间接平差

案例导入知识准备案例解答105

子情境1单一水准路线间接平差

案例导入下图2-1是一附合水准路线等外水准测量示意图，A、B为已知高程的水准点，HA＝10.000m，HB＝13.320m，1、2为待定高程的水准点，求待定点高程的平差值、平差值中误差及1、2点间高差平差值的中误差。图2-1附合水准路线示意图106

子情境1单一水准路线间接平差

知识准备

一、多余观测二、间接平差的思想三、间接平差的基本原理四、间接平差法求平差值的步骤五、间接平差的精度评定

107

一、多余观测

为了提高观测精度和避免差错，对要测量的量值的观测次数总是比必要的观测次数要多。例如，我们要确定三角形的形状，由平面几何的知识可知，只需测定其中任意两个角度就行了。对这样两个角度的观测，称为必要观测，通常以表示。但是为了提高观测精度和避免差错，通常也对第三个内角进行观测，相对于必要观测而言，对第三个内角的观测，就称为多余观测，通常以表示。设观测总数为，则有。108

二、间接平差的思想

针对具体的平差问题，选定个未知量，建立未知数与观测值间的函数关系，进而转化为误差方程，并依据最小二乘法原理，按求自由极值的方法解算出未知量的最优估值。间接平差法是以最小二乘为平差原则，以平差值方程——误差方程作为函数模型的平差方法。109

三、间接平差的基本原理

间接平差的观测方程：间接平差的误差方程：

间接平差的随机模型为：平差最小二乘准则：间接平差就是在最小二乘准则下，求出误差方程中的待定参数。在数学中，即为求多元函数的极值问题。基础方程及其解设平差问题中，有n个观测值L，观测值的协因数阵为Q，必要观测数为t，选定t个独立参数，按具体平差问题，可列出n个观测值的平差值方程：110令：得误差方程的矩阵形式：式中，间接平差的基础方程

解算这组基础方程，得：间接平差的法方程

（其中：，）111解之得：将求出的代入误差方程，即可求出观测值改正数，从而平差结果为：112四、按间接平差法求平差值的步骤

（1）根据具体的平差问题，确定必要观测个数t，选定t个独立量作为未知参数；（2）建立未知参数与每一个观测量平差值间的函数关系，即平差值方程，并列出误差方程；（3）由误差方程的系数B和自由项l组成法方程，法方程的个数等于未知数的个数t；（4）解算法方程，求解未知参数，计算未知参数的平差值；（5）将未知参数代入误差方程，求解改正数，并求出观测值的平差值。1、单位权中误差

式中，n为观测值个数；t为必要观测个数；n-t为多余观测；恒取正值。其中，可按以下方法计算：（1）直接由改正数计算；（2）将误差方程式代入，则：顾及，则：113五、间接平差的精度评定

2、参数的中误差未知数的中误差估值：其中：114五、间接平差的精度评定

3、参数函数的中误差间接平差中，由法方程解算出t个未知参数，则该平差问题中的任一量的平差值都可根据这t个未知参数计算出来。设间接平差问题中t个未知参数为，，…，，未知参数的函数为：为求函数的中误差，首先对函数全微分求权函数式表示为：当平差值函数是线性形式是，其函数式为：115五、间接平差的精度评定

设，则表示为，由协因数传播率，的协因数为：因此，的中误差为：

综上所述，间接平差精度评定求待定量中误差的一般步骤为：（1）根据具体平差问题，将待定量的平差值表达为未知参数的函数；（2）对未知数的函数全微分，求得权函数式；（3）利用权函数的系数、未知参数的协因数阵，应用协因数传播率求函数的协因数，并求解中误差。116五、间接平差的精度评定

子情境1单一水准路线间接平差

案例解答解：（1）由题意可知必要观测数（2）选取待定点1、2的高程为未知数、，为了便于后续计算，选取未知数的近似值为：则后续计算求解的是未知数近似值的改正数、,它们存在如下关系：

117（3）列立平差值方程，并转化为误差方程。根据题意可列出个平差值方程将观测值移至等式右端，即得误差方程118将有关数据代入误差方程，计算得将上式写成矩阵形式其中，119

由题意可知各水准路线的长度，根据

,取C=2km，则观测值的权阵为法方程的系数、常数项为120故法方程为

（4）解算法方程由可得：，或将未知数代入误差方程

，得改正数，改正数单位为毫米。121观测值的平差值及未知数的最或是值为122

如图2-1所示，试求待定点1、2高程平差值的中误差，以及1、2点间高差的中误差。（1）求解单位权中误差

，其中则单位权中误差为123（2）计算未知参数的协因数阵及其中误差则待定点1、2高程平差值的中误差为（3）求解未知参数函数的中误差列立出待定量平差值函数式124应用协因数传播率，计算的协因数则的中误差为

125

子情境2水准网间接平差

案例导入知识准备案例解答126

子情境2水准网间接平差

案例导入如图2-2所示水准网中，已知水准点A、B、C的高程分别为，，，为求待定点、的高程，进行了水准测量，高差观测值及水准路线长度见表2-1,试按间接平差法求：（1）各观测高差的平差值；（2）、点高程平差值的精度；（3）至点观测高差平差值的精度。表2-1图2-2水准网示意图127

子情境2水准网间接平差

知识准备间接平差步骤：（1）列观测方程；（2）将观测值及待定点近似值代入观测值方程，列出误差方程；（3）确定观测值的权阵；（4）组法方程；（5）解法方程，求参数改正数及参数的协因数阵；（6）计算各观测高差的平差值；（7）计算各观测值改正数；（8）由观测值改正数及权，计算单位权中误差；（9）根据协因数和单位权中误差计算平差值的精度；（10）列平差值权函数式并求其协因数；（11）计算平差值的精度。

128

子情境2水准网间接平差

案例解答解：（1）由题意可知必要观测数（2）选取待定点、的高程平差值为未知数、，为了便于后续计算，选取未知数的近似值为：则：

129

(3)列立平差值方程，并转化成误差方程。

误差方程将上式写成矩阵形式

其中，130

(4)由误差方程的系数B和自由项l组成法方程，法方程的个数等于未知数的个数t，其中，。由题意可知各水准路线的长度，根据

，取C=2km，则观测值的权阵为

法方程的系数、常数项分别为131

故法方程为：

（5）解算法方程由可得：

，或故，132

（6）将未知数代入误差方程，得改正数

改正数单位为毫米。（7）观测值的平差值及未知数的最或是值为：133（8）求解单位权中误差，其中

则单位权中误差为134

（9）计算未知参数的协因数阵及其中误差则待定点

、高程平差值的中误差为（10）求解未知参数函数的中误差列立出待定量平差值函数式135

应用协因数传播率，计算的协因数则的中误差为

136

子情境3单一水准路线条件平差

案例导入知识准备案例解答137

子情境3单一水准路线条件平差

案例导入如图2-3所示，A、B为已知水准点，其高程，，为确定C及D点的高程，共观测了三个高差，各高差观测值及水准路线长度见表2-2。试求：（1）待定点C、D的高程平差值；（2）C点高程平差值的精度；（3）C至D点间平差后高差的中误差。

表2-2图2-3附合水准路线示意图138

子情境3单一水准路线条件平差

知识准备

一、条件平差原理二、条件平差基本步骤

139一、条件平差原理在测量工作中，由于受到观测条件的限制，观测值中不可避免地带有误差。为了能及时发现错误并提高测量成果的精度，常需要做多余观测。在一个几何模型中，有r个多余观测，就会产生r个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法，就是条件平差。

条件平差的函数模型为：，或

条件平差的随机模型为：140一、条件平差原理测量平差的准则是：

条件平差就是要求在满足r个条件方程的条件下，求使函数的V值。在高等数学中是属于求函数的条件极值问题。141

子情境3单一水准路线条件平差

二、条件平差计算步骤（1）确定条件方程的个数，条件方程的个数等于多余观测数；（2）定权。根据定权原理确定各观测值的权；（3）根据平差的具体情况，列出条件方程式；（4）根据条件方程的系数、闭合差及观测值的权阵组成法方程；（5）根据法方程，解算联系数向量；（6）计算观测值改正数向量；（7）计算观测值平差值；（8）将计算出的平差结果代入条件方程校核计算的正确性；（9）计算观测值平差值函数的平差值，并评定平差结果的精度。

142子情境3单一水准路线条件平差案例解答（1）由题意知：，，则，故可列出如下条件方程：

将代入上式，并代入已知数据，可得：

（2）定权。令，故有，则

法方程系数为143（3）组成法方程，解之得：（4）计算改正数，由可计算得到：（5）计算、点高程平差值：根据计算各观测高差平差值，代入平差值条件式中进行检核，经检验满足所有的条件方程。144（6）列点高程平差值的函数表达式：（7）列至点观测高差平差值的函数表达式：（8）计算单位权中误差：

因，故该水准网1km观测高差的中误差为4.12mm。

145（9）计算观测值平差的协因数：（10）计算点高程平差值的中误差：由式，可得权函数系数，则：

146（11）计算平差后至点间高差的中误差：

由式，得其权函数式系数，则：

147

子情境4水准网条件平差

案例导入知识准备案例解答148子情境4水准网条件平差案例导入

如图2-4所示的水准网中，、、为已知点，，

；各高差观测值及水准路线长度见表2-3

。试按条件平差法求：（1）待定点、的高程平差值；（2）点高程平差值的精度；

（3）至点观测高差平差值的精度。

149表2-3

子情境4水准网条件平差

知识准备条件平差计算步骤：（1）确定条件方程的个数，条件方程的个数等于多余观测数；（2）定权。根据定权原理确定各观测值的权；（3）根据平差的具体情况，列出条件方程式；（4）根据条件方程的系数、闭合差及观测值的权阵组成法方程；（5）根据法方程，解算联系数向量；（6）计算观测值改正数向量；（7）计算观测值平差值；（8）将计算出的平差结果代入条件方程校核计算的正确性；（9）计算观测值平差值函数的平差值，并评定平差结果的精度。

150子情境4水准网条件平差案例解答

解：（1）计算多余观测数，即条件方程式的个数；本题，，故有条件（2）由题意可知：

代入各已知条件，得条件方程式：151

根据条件方程式的系数、闭合差及观测值的权（或协因数阵）组成法方程，法方程的个数等于多余观测数r；（1）由条件方程式可知，条件方程的系数阵及常数阵分别为：

（2）定权。令

，故有

，由于各高差观测值是不相关观测值，则各观测值的权阵和权倒数阵分别为：

152

（3）法方程的组成与解算。组成法方程

,则

153

解算法方程得：

154

（4）计算改正数，由可计算得到

（5）计算、

点高程平差值：

根据计算各观测高差平差值

代入平差值条件式中进行检核，经检验满足所有的条件方程。

155（6）列点高程平差值的函数表达式：

（7）列至点观测高差平差值的函数表达式：（8）计算单位权方差及单位权中误差：

156（9）计算观测值平差的协因数：（10）计算点高程平差值的中误差：

由式，可得权函数系数，则：

157（11）计算至

点观测高差平差值的精度

：

由式，得其权函数式系数，则：

158

子情境5MATLAB工具软件及其应用

案例导入知识准备案例解答159子情境5MATLAB工具软件及其应用

案例导入

如图2-5所示的水准网中，和是已知高程的水准点，并设这些点的已知高程值无误差，图中、、是待定点。已知高程、观测高差及相应水准路线的长度见表2-4，试用MATLAB按间接平差法求：（1）各待定点的平差高程；（2）至点间高差平差值的中误差。运用MATLAB前，先根据平差问题，计算多余观测数；根据参数的近似值，列出误差方程及平差值函数的表达式。

160图2-14表2-4子情境5MATLAB工具软件及其应用知识准备

一、MATLAB简介是英文MatrixLaboratory（矩阵实验室）的缩写。它以矩阵作为数据操作的基本单位，使得矩阵运算非常简捷、高效。还提供了十分丰富的数值计算函数，而且所采用的数值计算算法都是国际公认的最先进、可靠的算法，其程序由世界一流专家编制和高度优化，高质量的数值计算功能为赢得了声誉。

161

具有如下主要特点：1、以矩阵和数组为基础的运算；简单易学，使用方便；2、强大的图形技术；编程效率极高；3、可扩充性强，具有方便的应用程序接口。

162二、MATLAB基本知识介绍

1．启动7.1程序后的界面如图2-6所示。

图2-6

163

2．命令窗口（CommandWindow）

命令窗口是的主要交互窗口，用于输入命令并显示除图形以外的所有执行结果。命令窗口不仅可以内嵌在

的工作界面，如图2-6所示，还可以以独立窗口的形式浮动在界面如图2-7所示。图2-7164

3．命令介绍命令是查询函数语法的最基本方法，查询信息直接显示在命令窗口。在命令窗口中输入加函数名，用来显示该函数的帮助说明。例如，为了显示求矩阵的逆阵的函数“inv”的使用方法与说明，可在后输入“inv”，屏幕将显示帮助信息，如图2-8所示。

图2-8

165三、MATLAB数据及其运算

矩阵是最基本、最重要的数据对象，的大部分运算或命令都是在矩阵运算的意义下执行的。向量可以看成是仅有一行或一列的矩阵，单个数据（标量）可以看成是仅含一个元素的矩阵，故向量和单个元素都可以作为矩阵的特例来处理。

166

1.MATLAB中的变量与赋值在7.1中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符；变量名区分字母的大小写，即“myexample”、“Myexample”表示不同的变量。此外，提供的标准函数名以及命令名必须用小写字母，如求矩阵A的逆用函数“inv（A）”，不能写成“Inv（A）”或“INV（A）”，否则会出错。的赋值语句有两种格式：（1）变量名=表达式（2）表达式

167

1．MATLAB中的变量与赋值其中表达式是用运算符将有关运算量连接起来的式子，其结果是一个矩阵。在第一种语句形式下，将右边表达式的值赋给左边的变量，而在第二种语句形式下，将表达式的值赋给的预定义变量“ans”。一般地，运算结果在命令窗口中显示出来。如果在语句的最后加分号“；”，那么仅仅执行赋值操作，不显示运算的结果。所以，当不需要显示运算结果时，则可以在赋值语句的后面加上“；”。

在语句后面或前面可以加上注释，用于解释或说明语句的含义，对语句处理结果不产生任何影响。注释以“%”开头，后面是注释的内容。

168

2.MATLAB中矩阵的建立与运算（1）直接输入法建立矩阵将矩阵的元素用“[]”括起来，按行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或用“，”分隔，不同行的元素之间用“；”分隔。如输入A矩阵中各元素后按回车键，则显示A矩阵如图2-9所示。

图2-9169

（2）特殊矩阵的建立还可以用通过特殊矩阵函数产生特殊矩阵，如0矩阵，单位矩阵等。以产生阶单位矩阵为例，用函数“eye”实现，如图2-10所示。

170图2-10

（3）构造对角矩阵在平差过程中，当观测值之间不相关时，观测值的权阵是对角矩阵。设为具有个元素的向量，将产生一个对角矩阵，其主对角元素即为向量V的元素。设，构造对角矩阵如图2-11所示。

171图2-11

（4）矩阵的转置是单撇号“’”。例：设

，则

，在中的执行情况如图2-12所示。