数学分析读书心得

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王俊艳2022212106

进入高校，并不代表着我们可以彻底的放肆去玩，我们可以放松，但切记不要遗忘完成我们的学习任务。时光千万不要铺张在没有价值的事情上，高校里各式各样的诱惑当然无数，但我们要学会抵制这些诱惑，静下心来，给自己一定时光去学习，去沉淀，这样的高校生活才是充实的。

高校是我们进入社会的最后一次历练了，要好好的掌握，在尽可能的多参与各种活动的同时，还要好好的学习，争取在这四年期间，过的不留圆满，为自己交上一个惬意的答卷。

明白单调有界数列的极限存在定理，然后逐步绽开证实了其他几个基本定理。定理虽易记诵，但对于理解的要求甚高，举例来说，在课后习题中有这样一题，证实单调有界函数存在左右极限。这题着实将我难住许久许久，尽管该题在数学分析中只是初级的难度，但初学者的我起初甚是无解。写到这里，我又发觉我的一个问题，固然这个问题也是个性的。许多学生在学习数学分析的过程存在着这样的问题：上课能听懂，课后解题却不知所措。这一问题的产生因为一方面向基本概念、基本定理理解得不够深化，对定理的条件、结论理解得不够贴切，对各部分学问之间的联系区分不甚清晰。在极限续论中，因为容相当抽象，在教师一次次的具体讲解下，上课基本能听懂，但这就可能是高校与高中最大的区分，特殊是我的专业要求——理论要求，自己不反思，不更深刻去想，去悟，想学好很难，所以另一方面，做题太少，类型太少，并且对做过学过的题目缺少归纳总结，因而不清晰常见的题目都有哪些类型，也不明白各类型题目经常采纳什么办法，用什么学问去解释这些理论问题，总之，是心中很多。闻名数学家、教导家乔治·波利亚说过：“解题可以是人的最富有特征性的活动······如果你想要从解题中得到最大的收获，你就应当在所做的题目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他问题时，能起到指导的作用。”特征，确实每位教师在讲课时都会将同类题一起讲解，这对我们的协助是相当大的，在寒假，我重温了一下我的数学分析书和相关资料，从中，我发觉在特征中显现出我曾经并未发觉的，并未熟知的，甚至将我某些一学期都未曾搞清的问题驾驭自如，触类旁通！

尽管我们要把理论学好学扎实，但我自己也要培养实际操作能力，在本书与高等数学中都有积分计算，某些积分计算往往是难到要做好几小时的，在王教师的推举下买了吉米多维奇数学分析习题集题解，很实用，这书就好比是字典，题典，有不会，我就向它寻求适当的解法，有时，闲暇之余还会与同寝室学生共同讨论办法的优劣，我发觉我的解法往往棘手繁琐。科伟，吕权的做法有时可作为我修改的借鉴，其实，作为一名数学专业的同学来说，应当具有团队协作的意识，加强对实际应用学问的学习，更多关注学科的变化，培养对问题的思量。在讨论积分题的过程中，我巩固了所学的积分概念，有效地提高我的运算能力，特殊是有些难题还迫使我学会综合分析的思维办法。写到这我想起高中教师曾讲过在不等式证实中的综合法，本来在高中我已接触了高校学问，忽然又发觉高中教师讲过许多高考都不考的学问，都是对我高校学习的良好铺垫，受益匪浅。实践出真知，至理啊！在自学高等数学期间也有过困难，有时感到学的太多，杂了。碰到困难，幸好有数学分析这门课给与理论支持！在统计班学生考试资料的支持下，我还是多少学到点东西与解题技巧的。这很是让我感到欣慰啊。

现在是科技的时代，在把握好基本运算后我们接触了数学软件——Mathematica。该软件是应用广泛的数学软件，它不仅可以举行各种数值运算，而且可以举行符号运算、函数作图等。此软件使我理解导数、微分概念，理解泰勒公式，函数的N次近似多项式及余项概念，了解N次近似多项式随N增大普通是逐步靠近原函数的结果。认识了Mathematica数学软件的求导数和求微分命令，以及求n阶泰勒公式命令和求函数的n次近似多项式命令。不仅如此，我还通过它理解了不定积分、变上限函数和定积分概念，了解定积分的容易近似计算办法。这些正如诺基亚的广告词：科技以人为本。有了这些，对于我们来说，计算不再是困难，在高等数学的计算部分的自学中也可操作自如，再加上我的英语基础较好，在寒假下载了

MATHEMATICA6操作软件，初试时还是有难度的，但在王教师下发的操作资料中还是有很强的辅助作用的。现在数学给了我自信，让我寻觅其中的乐趣！

在这第一学期，王教师对我的协助太大了！本来的我虽然数学基础较好，但初学分析我是真的一筹莫展，这时，王教师对我学习中的的问题耐心又认真地回答，让我在一次次烦闷中寻觅到真知！正由于教师的不辞辛苦的协助，让我取得现有的成果，这还仅仅是一部分，教师对我思想与在带班级上也给出过协助，让我各方面都在原有的基础上得到巨大的提高，使我更能看清自己的能力与潜力，教师你对我在一学期的协助，我会继续努力的，尽管我离班级学习最好的学生差距甚远，但我不会放弃努力与奋斗的目标，我会达到更高的数学领地，取得更好的成果.

此次听教授的课，收益颇多。教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点，更是几堂十分精彩的示课。我们不妨来温习一下。

第一讲、微积分思想产生与进展的历史

法国闻名的数学家H.庞加莱说过：“假如我们想要预见数学的未来，适当的途径是讨论这门科学的历史和现状。”那么，假如你要学好并用好《数学分析》，那么，掌故微积分思想产生与进展的历史是十分须要的。教授就是以这一专题开讲的。

在小学中，我不仅讲授《数学分析》，也讲授《数学史》，所以我十分赞同教授在教学中渗透数学史的主意，这应当也是提高同学数学素质的有效途径。

在这一讲中，教授脉络清楚，分析精当，这是我自叹不如的。讲《数学史》也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些出色例子加以剖析。如教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求

出球的体积的分析，这不仅对提高同学的学习爱好是有益的（以疑激趣、以奇激趣），而且有利于提高同学的民族骄傲感（教授也提到了这一点）。

在这一讲中，教授对weierstrass的“ε?N”、“ε?δ”语言的评述是“它实现了静态语言对动态极限过程的刻画”。这句话是十分精当的，假如意识不到这一点，你就很难理解这一点。在此我还想明确一点：《数学分析》的讨论对象是函数，主要是讨论其分析性质，即延续性、可微性及可积性，而使用的工具就是极限。假如认真盘点一下，在《数学分析》中，无论是数、函数、数列、函数列，数项级数，函数项级数等相关问题，无不用到这一语言，你应当能理解教授的“对于数学类同学来说，没有“ε?N”、“ε?δ”语言，在《数学分析》中几乎是寸步难行的”这一观点。

其次讲、实数系的基本定理

在这一讲中，教授从《实变函数》中对集合基数的研究绽开，对实数系的延续性作了好玩的研究。首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界”。

我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”，我给同学讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但圆满的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人，再来两个时，可将住１号房间的移往３号房间，住２号房间的移往４号房间，从而空出两个房间”时，同学对我“能移”表示疑惑。这一点我往往只能圆满的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’”。固然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。若教授或其他教师有好的建议，能指点一下，则不胜感激。

对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括Q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。关键在于“求同存异”，找一个可数集来“填补”他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。

对于实数集中的有理数，“廖若晨星”是十分形象的描述。一声集合的哨响，我们发觉，有理数在实数轴上几乎是没有位置的（mQ=0），用一系列的帽子来盖住这些点，而这些帽子的大小是ε，这是十分出色的结果。

从可数集到不行数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。

教授对单调确界原理的证实十分清楚明白，几何直观的描述形象直观。

第三讲《数学分析》课程中最重要的两个常数

法国闻名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美，而是缺少发觉美的眼睛”。我想说：“数学中并不缺少美，缺少的是揭示数学美的教师”。教授是一个精彩的教师，他不仅发觉了数学的美，而且为我们展示了数学的美。

闻名的欧拉公式：10ieπ+=，实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完善统一，获得

“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数（0,1,,,ieπ）之间的绝妙的好玩的联系，被认为是数学奇妙美的典例。

在本讲中，教授以大潜院士拜访法国“引入”的一个好玩例子开讲，让我们体味了数学中的美，这个不等式还有许多故意思的地方，无论是不等式的形式，还是他的证实，都十分深刻地体现了数学的美。Pi是无理数的证实，吸引了与会学员的眼球，惊叹之余，有学员问这一证法的出处，我也还真想知道，请教授不吝指教。

本讲最后将函数sinx/x展成无穷乘积形式，并妙用此形式求出p级数中p为偶数值时的和，对我而言是耳目一新的。在我记忆中好似菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》(其次卷)中也有求出的办法，而p为奇数的情形好似至今尚未解决。对p=2的情形，欧拉至少用两种办法得到结果，其中一种办法妙用了L’Hospital法则(《数学译林》09.3)。

第四讲级数与反常积分收敛的A.D判别法

恰逢这个学期讲《数学分析》(3)，在讲授含参变量反常积分时，先复习了反常积分，再复习了函数项级数，并将几个判别法列表比较，尤其是A.D判别法，能与教授不谋而合，真是倍感荣幸。

教授对Abel引理的直观刻画，也是深得学员好评。我对教授从Abel引理分析anbn收敛条件的分析而得到Dilichlet判别法和Abel判别法的相关条件深感佩服，尤其是分析得丝丝入扣。

第五讲函数项级数与含参变量反常积分的全都收敛

全都收敛性无疑是《数学分析》中的一个重要概念。教授对“点点收敛”与“全都收敛”的剖析是十分到位的，同学在学习时假如是只能注重到在定义的述“x”的位置不相同，而不明其所以时，这样的教学绝对是失败的。教授例子挑选精当，语言使用精辟，问题分析精准。

请注重教授的这句话：“毛病出在点态收敛的状况下，在某些点附近，N无法控制”（类似的话在第九讲中说过）。

第六讲Weierstrass函数：到处延续到处不行导的函数

教授分析了为何在Weierstrass之前的数学家不能构造出这样的函数。本来在此之前，数学家们所把握的函数是不足以构造出这样的函数的。

Weierstrass在1872年构造出了如下到处延续到处不行导的函数：

ansin(bnx)01

教授选用1930年VanDerWaerden给出的例子举行了剖析。所讲自是精当，本人很是受益。

第七讲条件极值问题与Lagrange乘数法

本讲教授从一个几何问题入手，得到一个条件极值问题。考虑了条件极值的须要条件，引入Lagrange乘数法，化条件极值问题为无极条件极值问题。这部分容中，本人认为几何解释最有启发性。

对于详细使用Lagrange乘数法的例子中，如何解方程组，教授给了很好的建议。其次个例子，即求平面x+y+z=0与椭球面x2+y2+4z2=1相交而成的椭圆面积。这个例子我很喜爱 ，只惋惜不能用来做期末考题（不要问我为什么！）。

第八讲重积分的变量代换

本讲教授从定积分的换元的计算公式分析入手，对二重积分的相应的代换公式作出类比猜测（在教学中注意渗透数学思想办法，如此妙哉！）再作分析，然后得出代换公式。

为证实代换公式，教授引入本原映射，化“矩形”为“梯形”，化变换T为两个本原变换的复合，实现了化复杂为容易，化困难为简单。

第九讲《数学分析》课程中的否定命题

《数学分析》教学中，说说“反话”很重要！（请不要误会！）

两个命题A与B假如既不能同时成立，也不能同时不成立，就称A与B互为否定命题。

若A与B互为否定命题，则A与B一定满足：一个成立，另一个必定不成立；一个不成立，另一个必然成立。（废话！）

有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、（注重前边两对的区分！）、可导与不行导、Cauchy收敛准则及其否定命题，等等。这些“反话”不说，大量的题做不了。

我在讲《数学分析》(1)时会有一讲（几个概念的否定讲述）就是来讲否定命题的。

教授在这部分的例子十分好，分析得也清晰！

教授的九讲，给了我们太多的启示：

一、在我们的教学中，不仅要教其所以然，而且要教其所以然。教授的这九讲，应当是我们讲授《数学分析》的经典案例，固然，我们不一定是讲这一些容！正确的思想从哪里来，是从天上掉下来的吗？不是！

二、在我们的教学，不仅要传授学问，而且要传授思想办法，也就是教学中要注

重思想办法的渗透。

三、在我们的教学中，不仅要传授学问，而且要培养同学的数学素质，让他们了解数学的过去、现在，以便开创数学的未来。

四、在我们的教学中，或许会遇的许多困难：教学时数少，教学对象差等等，但我们应从我们自身乐观的寻觅对策。教授就是这样的。

以上所述，仅凭个人听课记录，又仅凭个人理解。若是有误，请教授见谅并斧正。

最后，向纪修教授致以崇高的敬意！

如何学好数学分析

轼波

数学分析是数学系最重要的课程。许多后续课程都以它为基础，例如常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数，以及泛函分析。这些都属于分析数学的畴。此外，作为几何学一分支的拓扑学，主要讨论拓扑空间在延续映射下不变的性质，而延续映射是数学分析中讨论的延续函数的推广。而当今数学讨论中最重要的部门——微分几何，乃是在微积分对几何学的应用过程中进展起来的，因此也离不开数学分析的理论和办法。所以，要顺当完成数学系本科阶段的学习，学好数学分析十分重要。说得更长远一点，任何有志于从事数学讨论的青年学子，好好把握数学分析的理论和办法是关键的第一步。

要学好数学分析是没有捷径可走的。对其他课程，也是如此。假如真有这样的捷径，教师在上课时早就告知大家了。这样的话，是否不必管太多，只管硬下功夫就可以了呢?假如只是蛮干，是不会有好的结果的，而且会很累。我见过不少学生，书都读破了，书页上也写满了笔记或是在读书过程中的心得，看来还是很用功的。但是他跑来问我的问题却很容易，有些甚至在书上就有明了的解释。我把书翻给他看，他才恍然大悟。我想，这是因为他虽然花了无数时光，但却没有仔细对以下要提到的几个方面举行思量。所以他对基本容没有很深的印象。

下面我想就数学分析的学习，谈谈我的看法。一谈到数学的学习，无数人想到的就是要多做习题。但是，我认为最重要的还是要先认真研读教科书，搞清晰每个定义和定理。在这个基础上适当做些习题才会事半功倍。没有弄清基本的概念，对学过的定理也没有吃透，就急连忙     忙去做习题，必定会遇到无数困难，甚至会丧失自信念。这是一种不行取的学习办法。

首先，要彻底弄清晰接触到的每个定义。数学上的定义，都是从许多详细的事例中抽象出来的。这些定义虽然是详细事例的抽象，但却又是很自然的。我们在学习中要多思量，并且通过详细的例子来把握各个定义的涵。数学的定义中往往有各种各样的条件。对这些条件要认真揣摩，体味它们的作用。有时还需要通过正反两方面的例子来辨析不同的概念。惟独这样才干真正把握，并能在推理中做到灵便运用。

第二，每学习一个定理时，就要从涵上弄清这个定理的含义，即它到底说了什么事情。这往往可以结合几何直观来掌握。然后就是讨论定理中要求的条件。这可以通过讨论定理的证实了解这些条件的作用，还可以通过反例来弄清当某个条件不成立时，结论为何不对。通过这样正反面的思量，就会对这个定理有比较好的理解。我见到无数数学系的同学，在解题时说“由于f是闭集F上的延续函数，所以f有界”。之所以犯这样的错误，就是由于没有很好地把握“有界闭集上的延续函数必有界”这个定理。

再者，定理的证实也值得我们好好讨论。通过研读定理的证实，可以加深我们对这个定理的理解。而且，在定理的证实过程中我们还可以学习到本学科的各种基本的论证办法。认识这些办法之后，我们就自然能够把它们应用到我们面临的问题中去。有些定理的证实是很美丽的，充分呈现了数学的美。我们在学习过程中还要好好体味这种美，这对提高我们的数学素质不无好处。固然，有些定理的证实比较繁难，为了不打击自信念，我们可以先跳过它，等过后有机会再回来讨论它。事实上，有些定理本身很重要，但它的证实却未必十分重要。关于这一点，大家可以去看伍洪熙先生在高校出版的《黎曼几何初步》前面的“致读者的话”第iv页关于弧长的二次变分公式的讲述。这整篇“致读者的话”对学数学的人都是很有启发性的。

另外，学了一个定理后，一个很重要的方面就是如何把它应用到各种问题中去。这甚至比定理本身的证实更为重要。设想，假如你由一个定理推出一些好玩的结论，那你一定会觉得这个定理妙不行言。数学分析中的许多定理都有很直观的几何意义。许多证实题