2013年全国初中数学联赛试题及详解

PAGE甘肃省华亭县皇甫学校李敬之老师个人竞赛空间第2页（共8页）2013年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算（）（A） （B）1 （C） （D）2【答案】（B）【解析】原式=，故选（B）.2.满足等式的所有实数的和为（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】（A）【解析】分三种情况进行讨论：（1）若，即时，满足已知等式；（2）若，即时，满足已知等式；（3）若，即且时，由已知，得解得，故满足等式的所有实数的和，故选（A）.3.已知是圆的直径，为圆上一点，，的平分线交圆于点，若，则=（）（A）2 （B） （C） （D）3【答案】（A）【解析】连接,过点作于点，则,,从而,由是圆的直径，得,因平分,故,,在中，∵,,∴,故选（A）.4.不定方程的全部正整数解的组数为（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【答案】（B）【解析】由，得，因为正整数，故，从而于是，，即，由，知，故，，故或当时，；当时，.故原不定方程的全部正整数解有两组：，,故选（B）.5.矩形的边长,为的中点,在线段上,，分别与,交于点,则=（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【解析】因,故,,因,故,故,故.延长交于点,则由为的中点，知,故,,因,故,故，故,于是,故选（C）.6.设为正整数，若不超过的正整数中质数的个数等于合数的个数，则称为“好数”那么，所有“好数”之和为（）（A）33 （B）34 （C）2013 （D）2014【答案】（B）【解析】因既不是质数，也不是合数，故“好数”一定是奇数.设不超过的正整数中，质数的个数为,合数的个数为,当时，列表如下（只考虑为奇数的情况）：，代入（2）得或，于是或，代入（3）或（4），得，故符合条件的实数存在且不唯一，如就是一组.又如也是一组，当然还有很多组.二、（本题满分25分）已知点在以为直径的圆上，过点作圆的切线，交于点，连接，若，求的值.解：连接，因为为圆的切线，所以因为,所以,因为，所以,所以,所以连接,因为圆的直径，为圆的切线，故又，所以，所以.又,,（为圆的半径），代入,得.在中，由勾股定理,得,所以.三、（本题满分25分）已知是一元二次方程的一个根，若正整数使得等式成立，求的值.解：因为是一元二次方程的一个根，显然是无理数，且.由，得，将代入，得，即因为是正整数，是无理数，所以，于是可得因此是关于的一元二次方程的两个正整数根，该方程的判别式又因为是正整数，所以，从而可得又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有符合要求.把代入,得第二试（B）一、（本题满分20分）已知，若正整数,使成立，求的值.解：因为，所以由，得，将代入，得，整理得因为是正整数，是无理数，所以于是可得因此是关于的一元二次方程的两个正整数根，该方程的判别式又因为是正整数，所以，从而可得又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有符合要求.把代入,得.二、（本题满分25分）在中，，分别是的外心和内心，且满足,求证：（1）∥;（2）.证明:（1）过点作于，过点作于，则∥,设，由分别是的外心和内心，得，所以，又恰好是两条平行线之间的垂线段，所以也是两条平行线之间的垂线段，所以∥，所以∥.（2）由（1）知是矩形，连接，设（即为的内切圆半径），则三、（本题满分25分）若正数满足求代数式的值.解：由于