2013广东高考数学(理科)试题及详解

数学资源网/全部免费无须注册点击下载2013广东高考数学（理科）试题及详解参考公式:台体的体积公式,其中分别是台体的上、下底面积,表示台体的高.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合,,则()A. B． C． D．【解析】D；易得,,所以,故选D．2．定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是()A. B． C． D．【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,故选C．3．若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是()A. B． C． D．【解析】C；对应的点的坐标是,故选C．4．已知离散型随机变量的分布列为正视图俯视图侧视图第5题图则的数学期望正视图俯视图侧视图第5题图A. B． C． D．【解析】A；,故选A．5．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()A. B． C． D．【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为和的正方形,高为,故,,故选B．6．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,,则 B．若,,,则C．若,,,则 D．若,,,则【解析】D；ABC是典型错误命题,选D．7．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,在双曲线的方程是()A. B．C． D．【解析】B；依题意,,所以,从而,,故选B．8．设整数,集合.令集合若和都在中,则下列选项正确的是()A., B．, C．, D．,【解析】B；特殊值法,不妨令,,则,,故选B．如果利用直接法:因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分是否是否输入输出结束开始第11题图n9．不等式的解集为___________．【解析】；易得不等式的解集为.10．若曲线在点处的切线平行于轴,则______.【解析】；求导得,依题意,所以.11．执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值为______.【解析】；第一次循环后:；第二次循环后:；第三次循环后:；第四次循环后:；故输出.12.在等差数列中,已知,则_____.CDOBEH(ⅠCDOBEH(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.【解析】(Ⅰ)在图1中,易得连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证,又,所以平面.(Ⅱ)传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而CDOxE向量法图yzCDOxE向量法图yzB向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由(Ⅰ)知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.19．（本小题满分14分）设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.【解析】(Ⅰ)依题意,,又,所以；(Ⅱ)当时,,两式相减得整理得,即,又故数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.(Ⅲ)当时,；当时,；当时,,此时综上,对一切正整数,有.20．（本小题满分14分）已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ)当点在直线上移动时,求的最小值.【解析】(Ⅰ)依题意,设抛物线的方程为,由结合,解得.所以抛物线的方程为.(Ⅱ)抛物线的方程为,即,求导得设,(其中),则切线的斜率分别为,,所以切线的方程为,即,即同理可得切线的方程为因为切线均过点,所以,所以为方程的两组解.所以直线的方程为.(Ⅲ)由抛物线定义可知,,所以联立方程,消去整理得由一元二次方程根与系数的关系可得,所以又点在直线上,所以,所以所以当时,取得最小值,且最小值为.21．（本小题满分14分）设函数(其中).(Ⅰ)当时,求函数的单调区间；(Ⅱ)当时,求函数在上的最大值.【解析】(Ⅰ)当时,,令,得,当变化时,的变化如下表:极大值极小值右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.(Ⅱ),令,得,