毕业之置换矩阵的性质及其推广

通化师范学院本科生毕业论文（2023届）题目置换矩阵的性质及其推广系别:数学系专业:数学与应用数学班级:二班作者姓名:居海丽学号:202306010204指导教师:高玉峰职称:助教学历:研究生劣论文成绩:眉喇迟宜嫌段赵猪读黄喝暑杂旷壶20慧12绍陆年答潜5智竖孙月领目歼稿录产摘要著.....塘.....允.....缺.....鹅.....衰.....疲.....帮.....览.....合.....筒.....捕.....兽..钉.....担.....叫.....祸.....败.....健.....蛛.....喇..没.....支.....宏.屑I贞Abstr映act役.....卸.....呀.....芽.....姻.....刚.....民.....长.....锈.....息.....矿.....祸.....胜.....岛.....扬.....求.....博.....买.超.....四.....混.....制.....默.漠II悬1蕉引言振.....工.....夕.....社.....域.....箱.....廉....著...茅.....颠.....匀.....昼.....籍.....勺.....嚷.....拳.....溪.....笑...晒.....企.....苏.....玉.....模.....啊..者1晃奴1.1置换匹矩阵的定义鹅.....邀.....赵.....邪.....静.....宁.....新.....朵.....填.....晒.....挤.....撒.....肚.....主.....钞.....浩.....霉.....而...2茧头1.2广勾义置换矩阵着的煎定义优.....男.....窄.....面.....砌.....序.....种.....聚.....原.....五.....树.....怨.....侍.....蛙.....截.....钉.....待2秩2验置换矩阵的演性质...巾.详.....贱.....随.....猜.探.....断.....袭.....脏.....汉.....溉.....恨.....农..日.....塌.....宪.....文.....雁.....暑.....华.....刑3震2.1置换偏矩阵的基本柔性质杂.....歌.....树.....桂.....与.....悼.....匠.....勾.....俩.....以.....快.....摘...傍.....那.....贵.....挑.....资..3联2员.2对称置库换矩阵贡.....悦.....击.....铁.....吃.....决.....咳.....次.....挑.....堆.....蚕.....澡.....会.....是.....逃.....箱....温.....忠.....拴..7秋纯淘垄对称置换矩掘阵的定义饼.....牺.弃.....爷.....鸽.....抓.....某.....串.....匪.....诊.....团.....捷.....鞭.....泰.....耻.....钻.7裂饼剂对称置换利矩阵的基本惯性质祥.....睁.....赵.....雨.....贸.....摸.....摄.....贯.....腔.....役.....暴.....钻.....策....7勤3欲广义置换矩氧阵的性质燕.....晴.....忘.....寨.....测.....雾.....燕.....昼.....嚼.....碍.....及.....隐.箱.....爆.....经.....蠢.....授.....井..8镰3.1广义敌置换矩往阵的基本性复质徒.....鸽.....盈.....旬.....幼.....果.....炮.....侵.....丰.....斯.....写.....盗.....移.....指.....崭..8票3.2广义闷置换矩阵的来判定纲.....敲.....殖.....厨.....灿.....蝶.....贫.....绿.....静.....哄.....室.....忌.....携.....栽.....筑.....食....9碍4饿置换矩阵的那应用治.....辱.....尖.....介.....抢.....借.....固.....学...厨.....表.....短.....驴.....景.....驶.....竞.....板..胞.....旋.....江.....微.9输4.1扰置换矩阵在材矩阵行列式阻变换中的应提用销.....衔.....描.....技.....念.....怪.....舰.....乳.....若.....古.....捏.....母..秀9狐4.2置换哗矩阵在模糊拖交乱换矩阵中的待应用龄..烛.....舟.....舅.....起.....伞.....稳.....突.....虑.....挖.....包.....任....1淋1等5件结束语光.....尤.....疤.....毯.....搭.....哄.....带.....宪.....质..墙.....粗.....革.....稍.....准.....廊.....换.....敲..变.....据.....怜.....立.....捉.....斑..12狂致谢语秀.....团.....扣.....忠.....怀.....锐.....井.....弯.....野.....眨.....其.....提.....效.....鸦.....摘....沃.....罚.....轻.....冲.....画.....康.....男....1族2考参考文献搅.....族.....挺.....蛮.....华.....拉.....企.....怠.....豆.....阵.....曲.....蕉.....晕.....察.....始.鹿.....龄.....屑.....姨.....植.....六.....抬...12结指阀导脸教师评语蛮.....坛.....凑.....币.....透.....馒.....授.....圾.....夕.....厘.....翼.....础.....菜.....蜓.....鼓.....抗.....促.....证.....以.....三.....驼评声阅痕人评语竹.....典.....璃.....至.....都.....饺.....供.....欣.....科.....植.....馒.....娇.....派.....筑.....押.....嘱.....少.....扛.....吹.....棕.....拣....误置换矩京阵的性质及峡其推广信数学系胃2023变级趟2迷班崭棉居海丽准摘要折:谊本文介绍医了置换矩珍阵和对称置滨换矩阵的定讽义和基本性柄质,探讨了貌广义置换矩亦阵的基本性免质及判定方毫法,讨论了塔置换矩阵在廊矩阵行列式慰变换和模糊银交换矩阵中默的应用.牌关键绘词:桥置换矩阵;沫对称置换矩血阵;广义置集换矩阵;模接糊交换矩阵翻Prope妙rt浑iesa铃ndPr山omoti闪onof洽Perm波utati疲onMa衰trix框Class旱2超,200链8,De赞partm叹ento冰fMat侦hemat寒ics语悔JuH单aili梢Abstr侮ac赔t鸦:表Thep坟as指sage今is壶intro忠duced租from课杨defin旗ition播an令dbas艇icpr半opert星ieso蚀f藏permu格tatio愿n稠溪matri非x搬足ands断ymm忽e逃tryp及ermut慈ation翻matr黎ix,t斩hen,s纠ome铃prope该rties市and掩deter六min捡emet敞hods葡ofge姐neral旧ized资permu驴tatio晶nmat弱rixa夕rest滑udied括,per柴mutat润ionm絮atrix弊isd东iscus竟sedi者nlin芒es-冬rows朱肉chang狐e印don纺matri挽xand伸fuzz腰ycom秋mute边matri驳x踪.止Ke浆yword喂s梢:策P吊ermut盲ation劳matr婚ix木;闹symme无tryp逼ermut抹ation航matr会ix扒;燥gener睬alize新d迷permu脱tatio棚nmat打rix斗;辛fuzzy很comm脾ut祖emat唤rix1引言足置偿换矩阵是布嘴尔矩阵的特防例,在代数掏学中占有重务要地位,许茧多《高等代策数》、《矩瓜阵论》的书梦籍都有涉及回.置换矩阵身具有良好的忠特性与结构鸦,对置换矩易阵的定义和孟性质进行深现入的研究是谦十分谈必要的.置外换矩阵的推葵广形式在实堵际生活中也霸有重要应用轿.上世纪末亩,华罗庚教雕授就曾在研索究骨“做计划经济大至范围最优化剑的数学理论岁”锤中引入了这长类重要的非举负可逆矩阵紧——涝广义置换矩潜阵.因此,命本文也将探腰讨广义置换详矩阵的性质甲及判定方法驼.丘在帐下文将用到暗一些数学符疮号,在这里壁介绍一下:日设什是置换矩阵差中的任意符元素,所以芽,家我们定义如描下:倚捧(1右)步,芽我们把消“浓”抗叫做互补运拥算.即0的层补为1,1宿的补为0.驼(冷2)候,且我们把良“钟”中叫做并运算塞.即表示取公元素稀中的大者.露粘(部3)旱,桶我们把渐“芹”破叫做交运算暑.即表示取恭元素景中的小者.梁(神4)因,嗓我们把机“蚀-或”家叫做差运算永.联其中仆“挠”照,溜“陆”负满足结合律虾.撒为陕了使后文讲淹述的更加清泉楚,将他们押分别应用于密矩阵中,首该先设挑为届置换矩阵,率以下事例中航设窃我们还得出咱以下式子成孟立午曾(1)例刚(愈2)跟例群(3)昏距例洞(吓4)铃例喘(睬5)重1.1置换伸矩阵的定义投如鬼何研究好置可换矩阵,对遵它的定义分污析是十分重岂要的,所以酿给出如下定绢义:役对吉于观阶布尔方阵茫中任意的肤、么行或列,当丰行列不相同辟时即（勒）时有如下初式子成立专返或雨竭.茄我们把这样怀的布尔方阵霜叫做正交.队对飘于诱阶布尔方阵截中的任意的亩、再行或列,有您如下式子成肿立暑盆或巧巾.取我是们把这样的饶布尔方阵叫歼做标准的.迁如果疤既是迫正交控的又是标准旷的布尔方阵妇,我们称这真样的矩阵为牌置换矩阵.例泽为置换矩阵翠.摸由蒸以上定义可遮以明确置换海矩阵每行每芳列有唯一一歌个1,行列碎上的其它元钱素均为0.侍1.2广义齿置换矩阵的晋定义器设妇集合亿={1,2粉,反…棕,赴},甚为A到本身广的一个映射厘,则我们可惯以得到和这锣个映射油相伴随的矩撒阵,就是押或万黎,瞒就叫做与映师射乳相伴的广义嫩置换矩阵.蝶例吉设集合A豪={1,2肿,3,4,腐5},损,泽,葡,师,叼,则可以得赛到映射俗的相伴矩阵林为好从上面供的例题可以彩看出广义置完换矩阵是一引种特殊的(阶0,1)矩歇阵.染2置换矩阵违的性质钻第府一部分介绍刚了置换矩阵埋与广义置换巡矩阵的定义牌,本节将研吊究置换矩阵技和对称置换敬矩阵的性质福及证明,并炎给出具体例摆子加以说明剃.零2.1置换妈矩阵的基本辞性质奥性复质1如果哑是置换矩阵供,那么以下嫌式子成立:芽,储反之亦然.脱证县明充分性哲因为斗,则由定义枣知,脊所以愿是正交的窑,款又霸因为另所以懂是标准的跑.矛必降要性因为她是置换矩阵霸,所以医存在正交性域,则有,所以.给注额呼或衣.环例余1设则故有.良性虫质2如果嫌是置换矩阵肃,那么以下塘式子成立贝(1)贝;劝(2)慌.级证明根据骗矩阵运算法双则.诞例遵2那么则有故.孕性蔽质3如果短分别是置换胶矩阵,肉具有相同的端阶数,那么汪以下式子成玉立真证忙明同理.柱例武3设明,撕为啦阶置换矩阵花,,则,所以.苗性鉴质4如果膊是置换矩阵鸡,并且有香,那么以下使式子成立肿证倘明由已知丹可知瘦是置换矩阵族,故有,所鼻以悬,牲所以亡.杏例最4设则有取所以故成立.李性断质5如果育,柏分别是已知疑的置换矩阵集,那么以下孟矩阵方程廉有解,则其方解为口.挽证售明因为晨,等式左右腿两边分别乘索以酷,垃有,括所以角馅诵毛塑畅勒.常例挤5设,则当时,尽栽未糖术陈漫显驶姨此时少符合题意,详.即.犯2过.炸2缓对称置换矩绝阵哑2批.少2贝.丝1捆对称置换矩掘阵的定义煌如果置换矩友阵膊符合倦那么我们把顶它称为对称柳置换矩阵,那.权2扇.预2话.朋2芹对称置换矩佳阵澡的基本性质暑性匠质6如果突是尿阶布尔矩阵育,并且是对震称置换矩阵皮,那么骨.桥证皱明因为衫是对称置换胖矩阵,则存乏在唇所以当越时,则午；当祥时,则披故输.库例洗6设后为对称置换疲矩阵,令则.杯性质7如羊果凤是对称置换跑矩阵,那么澡以下式子成虽立荡司研丈证叹明由于绑,故织得证.饿例电7设,则,所以成立.晴3馒广义置换矩摔阵的性质掏3.1广义瑞置换矩阵的更基本性质衬显滑广义置换矩醋阵是置换矩躺阵的推广形支式,下面的另六个命题总酒结出了广义非置换矩阵的结基本性质,斤并通过证明出得出这六个午命题互相等职价什.盲命题1如桃果柿是橡阶矩阵,那怎么以下命题信是等价的:五(1)她是广义置换膝矩阵；校(2)抵是广义置换椒矩阵；疑(3)属是广义置换害矩阵（搏为自然数）炊；绳(4)灾是广义置换垮矩阵,这里殊的掉,垂(5)柏是广义置换奶矩阵,这里期的划是置换矩阵寨；铃(6)众或（存）是对称正较定的广义置河换矩阵.欺证遍明挎(1)治(2)显坝然成立.嘴(1)您(3)因拨为夕,钢,灭,故沙为广义置换役矩阵.岔(1)瓦(4)因决为陕,故跌为广义置换趟矩阵.税(1)费(5)因望为地,故少为广义置换坚矩阵.土(1)抛(6)因城为汤,故邀为朱广义置换矩烛阵且线为非奇异的晴,则监还为正定的赛.眨推败(2)鸡(3)因房为舌得证.害(3)似(4)因喝为诞所以租是广义置换惕矩阵,故链得证.陪(4)们(5)因都为膜,所以楼,所以骆是广义置换却矩阵,所以察得证.婚(5)躁(6)因蚕为验,所以获,所以菠是广义置换贵矩阵,所以奋,所以赏为他对称的,车非奇异,故愈还为正定.亦3.2广义寿置换矩阵的易判定饰漂本节首先给穗出广义置换坦矩阵的等价谅定义并给出遮两个广义置摸换矩阵的判蛾定定理.棕定义1雷我们设栽代表涨阶矩阵辛,这里的劲,键如果存在句,那么炒就称为广义声置换矩阵.摸引瘦理1令爷为一个辽阶可逆矩阵鼠,箭一个息维的非负向书量颠,它有唯一取一个正分量塔,如果.解证铜明(1)扫设御至少有一个示正分量,否贴则运,那么脊与已知条件樱相矛盾,所培以煮至多有一个福正分量.(爆2)可设夕有两个或两推个以上正分乏量,可分别廊设为改,由条件泄可得到下列黑式子成立严由于傲可知纪,路则夏为奇异矩阵容,与殊可逆矛盾.雨焦综上,则弄有唯一的一棋个正分量.劈芳定搅理1如果米是广义置换音矩阵嗽存在置换矩凝阵溪和正帅对角矩阵举使得下.满证死明(摸)已知杯,所以征,甲故垃为广义置换修矩阵.册(播)因为碌并且存在艳,所以执每一列只含艺有一个正元植素,有因为碗可逆,则窗,所以蒜得每一行只崖含有一个正淹元素,所以扶有置换矩阵狭和正对角矩仆阵相使得蹈,故有正.保定狮义构2印对任意的召阶实矩阵式,如果首与恩都为满正对角矩阵央,我们称格为广义正交西矩阵.鸣定投理2如果笼是广义置换左矩阵白为非负的广僵义正交矩阵输.扰证明(绩)侨为非负的正买交矩阵,则鞭且为广义正规交矩阵,则理未和含都为正对角乒矩阵,易推碌出匹是广义置换篇矩阵.谨(薯)固是广义置好换矩阵,则泄存在置换矩边阵底和正对角矩蜻阵膊使得贪,使得杀和筛都是正对角除矩阵,故偏为非负的广励义正交矩阵练.醉4置换矩阵萝的应用擦4.1置换胆矩阵在矩阵奇行列式变换沾中的应用诱定义3我们兵交换恰阶单位阵呈的任意逢行（或功列）,从而译得到的矩阵壶为售阶置换矩阵墙.令亚是坛阶单位阵蝇交换第湿,第筋两行（或两姐列）而得出伴的置换矩阵功.略定理3置野换矩阵去左或右分别惊乘以窑,相当于交留换了仁的第练两行或两列渡.证明设则可以得到如果则有遵例吹8设尾为8阶置换泽矩阵,则令,则挤得出第三行眯与第六行互宝换.量定悠理4如果要是林阶置换矩阵魔,那么扫也是柏阶置换矩阵爷.变例骨9则宏也为滨阶置换矩阵童.幕4.2梢置换矩阵在肉模糊交换矩容阵中的枕应用害定装理5如果跌是抄阶置换矩阵芝,那么深左（右）乘预以模糊矩阵勉,也就是交经换矩阵缩的几行（列北）胖.烈从份而引出如下寇定义怜定后义蜻4如果存在咐,当团时,我们称呆叫做圈模糊交换矩侨阵.记做找这里的何,怪分别为棵阶和研阶置换矩阵倍.惭例刮10设障议,怒吸,则撤那么鹿叫做泉的模糊交换颂矩阵.记纱定理6如袍果站,那么装是潮的模糊交换愿矩阵的充要围条件是寿是吼的模糊交换按矩阵.银证明必要晋性因为谋,所以存在岁分别为沟阶和袭阶置换矩阵凯,则有存,又由于粉也为春阶和商阶置换矩阵蜂,那么路,故谊.氏同理可证得强充分性.小定山义5如果毅是渡阶置换矩阵脚,并且有刑是膝非零模糊阵我,则旁叫做头的强模糊交绣换矩阵.适定渠理7如果摊它是对称的秃充要条件是袋的强抽模糊交换矩饮阵也是对称紫的.权完证鉴明(刻)令种为剥阶置换矩阵萍,根据定义景有按是喂的模糊交换身矩阵,又因搁为研,所以动得强交换阵沸对称,必要龄性得证.弦(埋)令大,这里的离是姐阶置换矩阵喜,并且仍,则有岁,又因为陡,厕,故波是对称的,籍充分性得证衔.咱定决理8如果戴,那么余是庆的尚强模糊交换懂矩阵的充要斜条件是保是驶的强模糊交遵换矩阵.枣证明(设)令急为谦阶置换矩阵偷,并且有桌,因为鞠是弊阶置换矩阵猎,故怨也为松阶置换矩阵卵,则有手,所以库是拢的强模糊交辆换矩阵.资同理充分性童可证.5结束语龄本暮文介绍了置滩换矩阵,对蓝称置换矩阵稿,广义置换芹矩阵的定义掀、性质及证辫明,探讨了兔广义置换矩且阵的判定方屑法,讨论了遗置换矩阵在慢矩阵的行列勺式变换和模甜糊交换矩阵固两个方面的穷应用.在定航义方面,本到文主要介绍夕了置换矩阵联和广义置换抚矩阵的定义海及等价定义圈；在性质方佳面,介绍了持置换矩阵和涝广义置换矩卵阵的基本性芒质,给出了仪证明过程,便并通过具与体事例加以鉴说明；在应极用方面,探竞讨了置换矩膜阵在矩阵行牌列式变换和望模糊交换矩专阵中的应用菠.置换矩阵从在代数学,差经济学等领趟域有很重要迅上的应用,图其应用性质思有待进一步迫研究.菌提番菌省镇致谢语海必感谢高玉峰漫老师在论文仁写作过程中重对我的热心梅帮助和悉心鸭指导,也感吐谢帮助