2017年各地中考最后一道题

1.如图，已知抛物线y=-x?+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交

于点B,对称轴是直线x=l

(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标.

(2)动点M从点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时

动点N从点。出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到

达A点时，M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交

抛物线于点P,设运动的时间为t秒.

①当t为何值时，四边形。MPN为矩形.

②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明

【分析】(1)由对称轴公式可求得b,由A点坐标可求得c,则可求得抛物线解

析式；再令y=0可求得B点坐标；

(2)①用t可表示出ON和OM,则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，

由矩形的性质可得。N=PM,可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知

OB=OA,故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ,用t可表示出

Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的

值.

【解答】解：

(1),抛物线y=-x?+bx+c对称轴是直线x=l,

-------y~~-^1>解得b=2,

2X(-1)

•.•抛物线过A(0,3),

，c=3,

.♦.抛物线解析式为y=-X2+2X+3,

令y=0可得-X2+2X+3=0,解得X=-1或X=3,

，B点坐标为(3,0)；

(2)①由题意可知ON=3t,OM=2t,

・.•P在抛物线上，

：.P(2t,-4t2+4t+3),

•••四边形OMPN为矩形，

，ON=PM,

3t=-4t2+4t+3,解得t=l或t=-3(舍去)，

4

.•.当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；

②TA(0,3),B(3,0),

AOA=OB=3,且可求得直线AB解析式为y=-x+3,

.•.当t>0时，OQWOB,

...当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，

由题意可知OM=2t,

，Q(2t,-2t+3),

二0Q=7(2t)2+(-2t+3)2=V8t2-12t+9,BQ=7(2t-3)2+(-2t+3)2t-31,

又由题意可知0<tVl,

当OB=QB时，则有&I2t-3|=3,解得t=f+j但(舍去)或t=6-S；

当OQ=BQ时，则有98t2_i2t+9=&Qt-3],解得t=_1；

综上可知当t的值为生还或外寸，△BOQ为等腰三角形.

44

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、勾股定理、

等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数

法的应用，在(2)①中用t表示出PM和ON的长是解题的关键，在②中用t表

示出Q点的坐标，进而表示出0Q和BQ的长是解题的关键，注意分情况讨论.本

题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.

2.如图，直线y=-2x+4交y轴于点A,交抛物线y=L?+bx+c于点B(3,-2),

2

抛物线经过点C(-l,0),交y轴于点D,点P是抛物线上的动点，作PE_LDB

交DB所在直线于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当4PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；

(3)在(2)的条件下，连接PB,将4PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后

E的对称点坐标.

【分析】(1)把B(3,-2),C(-1,0)代入y=L<2+bx+c即可得到结论；

2

(2)由y=L<2_刍_2求得D(0,-2),根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE,

22

列方程即可得到结论；

(3)①当P点在直线BD的上方时，如图1,设点E关于直线AB的对称点为E，,

过E作E，H_LDE于H,求得直线EE，的解析式为y=L<-2设E，(m,±m-2),

2222

根据勾股定理即可得到结论；②当P点在直线BD的下方时，如图2,设点E关

于直线AB的对称点为E',过E作E，H_LDE于H,得到直线EE，的解析式为y=L(

2

-3,设F(m,Ln-3),根据勾股定理即可得到结论.

2

I-2^-X9+3b+c

【解答】解：(1)把B(3,-2),C(-1,0)代入y=L<2+bx+c得，《，

2Ac

••</，

c=-2

二抛物线的解析式为y=L<2-当-2；

22

(2)设P(m,AJTI2--^m-2),

22

在y=L<2-冬-2中，当x=0时，y=-2,

22

AD(0,-2),

VB(3,-2),

；.BD〃x轴，

VPE1BD,

E(m,-2),

DE=m,PE=LT)2-3m-2+2,或PE=-2-Jun2+^m+2,

2222

•••△PDE为等腰直角三角形，且NPED=90°,

；.DE=PE,

/.m=Ajn2-，或m=-Am2+-5.m,

2222

解得：m=5,m=l,m=0(不合题意，舍去)，

Z.PE=5或1,

P(1,-3),或(5,3)；

(3)①当P点在直线BD的上方时，如图1,设点E关于直线AB的对称点为E\

过E，作E，HJ_DE于，H,

由(2)知，此时，E(5,-2),

/.DE=5,

.•.BE'=BE=2,

•.'EE」AB,

二设直线EE，的解析式为y=4+b,

2

-2=—X5+b»

2

/.b=-—,

2

直线EE，的解析式为y=lx-1,

22

设E，(m,Ln--),

22

EZH=-2--Lm+-^--AJD,BH=3-m,

2222

VE,H2+BH2=BE,2,

(§-Ln)2+(3-m)2=4,

22

/.m=—,m=5(舍去),

5

：.E'(X-11)；

55

②当P点在直线BD的下方时，如图2,设点E关于直线AB的对称点为E\

过E'作EZH±DE于H,

由(2)知，此时，E(1,-2),

.*.DE=1,

，BE'=BE=2,

,.•EE」AB,

二设直线EE，的解析式为y=L<+b,

2

-2=Lxi+b,

2

/.b=--,

2

二直线EE，的解析式为y=lx-1,

22

设E，(m,AJTI-a)，

22

E'H=AJTI--§-+2=-Lm-LBH=m-3,

2222

VEZH2+BH2=BE,2,

(AJTI--)2+(m-3)2=4,

22

m=4.2>m=l(舍去)，

/.E'(4.2,-0.4),

综上所述，E的对称点坐标为(旦，-11),(4.2,-0.4).

55

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾

股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

3.已知,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=2,D是AC边上的一个动点，

将aABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处.

（1）如图1,若点D是AC中点，连接PC.

①写出BP,BD的长；

②求证：四边形BCPD是平行四边形.

（2）如图2,若BD=AD,过点P作PHLBC交BC的延长线于点H,求PH的长.

【分析】（1）①分别在Rt^ABC,Rt^BDC中，求出AB、BD即可解决问题；

②想办法证明DP〃BC,DP=BC即可；

(2)如图2中，作DNJ_AB于N,PE1AC于E,延长BD交PA于M.设BD=AD=x,

则CD=4-x,在Rt△BDC中，可得x2=(4-x)2+22,推出x=i-,推出

2

DN=JRn2_DM2=^由△BDNsaBAM,可得典=毁，由此求出AM,由aADM

VBD-BN2AMAB

s/^APE,可得续他，由此求出AE=W,可得EC=AC-AE=4-区且由止匕即可

AEAP555

解决问题.

【解答】解：(1)①在Rt^ABC中，VBC=2,AC=4,

,,AB=^22+42=2,\/5,

VAD=CD=2,

«"BD=422+2

由翻折可知，BP=BA=2遥.

②如图1中，

A

VABCD是等腰直角三角形，

，NBDC=45°,

,ZADB=ZBDP=135°,

.•.ZPDC=135°-45°=90°,

/.ZBCD=ZPDC=90°,

.•.DP〃BC,VPD=AD=BC=2,

，四边形BCPD是平行四边形.

(2)如图2中，作DN_LAB于N,PE_LAC于E,延长BD交PA于M.

设BD=AD=x,则CD=4-x,

在RtABDC中，BD2=CD2+BC2,

x2=(4-x)2+22,

x=$,

2

VDB=DA,DN1AB,

，BN=AN=V^,

在RtABDN中，DN=^BD2_BN2=^,

由△BDNs^BAM,可得典=世，

AMAB

返5.

•_~2

AM275

，AM=2,

；.AP=2AM=4,

由△ADMs^APE,可得幽地，

AEAP

5

­2Jl

••--------,

AE4

.•.AE=H,

5

EC=AC-AE=4-

55

易证四边形PECH是矩形，

1.PH=EC=A.

5

【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理.相似三角形的判定和性质、翻折变

换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会

添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

4.如图，正方形ABCD的边长为1,点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕

点C顺时针旋转90。得到CF,连结DF,以CE、CF为邻边作矩形CFGE,GE与AD、

AC分别交于点H、M,GF交CD延长线于点N.

(1)证明：点A、D、F在同一条直线上；

(2)随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，

请说明理由；

(3)连结EF、MN,当MN〃EF时，求AE的长.

【分析】（1）由△DCF四△BCE,可得NCDF=NB=90°，即可推出/CDF+/CDA=180°,

由此即可证明.

（2）有最小值.设AE=x,DH=y,贝UAH=1-y,BE=1-x,由△ECBSAHEA,推

出里上旦工可得B1-x,推出y=x?-x+l=（x-工）2+旦，由a=l>0,y有最小值,

AEAHxW24

最小值为之.

4

（3）只要证明△CFNgZ\CEM,推出NFCN=NECM,由NMCN=45。，可得NFCN=

ZECM=ZBCE=22.5°,在BC上取一点G,使得GC=GE,则aBGE是等腰直角三角

形，设BE=BG=a,则GC=GE=&a,可得a+&a=l,求出a即可解决问题；

【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是正方形，

，CD=CB,ZBCD=ZB=ZADC=90°,

VCE=CF,ZECF=90°,

/.ZECF=ZDCB,

/.ZDCF=ZBCE,

AADCF^ABCE,

/.ZCDF=ZB=90°,

.,.ZCDF+ZCDA=180°,

.•.点A、D、F在同一条直线上.

(2)解：有最小值.

理由：设AE=x,DH=y,贝UAH=1-y,BE=1-x,

•.•四边形CFGE是矩形，

；.NCEG=90°,

/.ZCEB+ZAEH=90°

CEB+NECB=90°,

，NECB=NAEH,

VZB=ZEAH=90°,

.'.△ECB^AHEA,

•­•-B-C_--B-E，

AEAH

・

••—1_-l---x---,

xl^y

.,.y=x2-x+l=(x-—)2+二

24

Va=l>0,

，y有最小值，最小值为W.

4

ADH的最小值为工.

4

(3)解：•四边形CFGE是矩形,CF=CE,

二四边形CFGE是正方形，

，GF=GE,ZGFE=ZGEF=45",

；NM〃EF,

,NGNM=NGFE,ZGMN=ZGEF,

ZGMN=ZGNM,

；.GN=GM,

；.FN=EM,

VCF=CE,ZCFN=ZCEM,

.♦.△CFN四△CEM,

/.ZFCN=ZECM,VZMCN=45",

/.ZFCN=ZECM=ZBCE=22.5°,

在BC上取一点G,使得GC=GE,则ABGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a,则

GC=GE=\/^a,

♦♦a—1»

«•a=^2-1，

AAE=AB-BE=1-(&-1)=2-近.

【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等

三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键

是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的

思想思考问题，属于中考压轴题.

5.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(3,0),D(-1,0),

与y轴交于点C,点B在y轴正半轴上，且OB=OD.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,抛物线的顶点为点E,对称轴交x轴于点M,连接BE,AB,请在

抛物线的对称轴上找一点Q,使NQBA=NBEM,求出点Q的坐标；

(3)如图2,过点C作CF〃x轴，交抛物线于点F,连接BF,点G是x轴上一

点，在抛物线上是否存在点N,使以点B,F,G,N为顶点的四边形是平行四边

形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)首先证明BE_LAB,分两种情形求解①作BQ_LEM交EM于Q,由NABQ+

NEBQ=90。，NEBQ+NBEM=90。，推出NABQ=NBEM,满足条件，此时Q(l,1).

②当点Q在AB的下方时，设Q(1,m),AB交EM于K.易知K(1,2),由4

3

GTBKSZ^CTEB,可得Q，B2=Q，K・QE列出方程即可解决问题；

(3)由题意可知当点N的纵坐标为±2时，以点B,F,G,N为顶点的四边形

是平行四边形，当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，

由此即可解决问题；

【解答】解：(1)把A(3,0),D(-1,0)代入y=-x?+bx+c得至]-9+3b+c=°,

[-l_b+c=0

解得我=2,

lc=3

，抛物线的解析式为y=-X2+2X+3.

Vy=-(x-1)2+4,

AE(1,4),VA(3,0),B(0,1),

二直线BE的解析式为y=3x+l,直线AB的解析式为y=--lx+1,

3

V3X(-1)=-1,

3

ABE±AB,作BQ_LEM交EM于Q,

VZABQ+ZEBQ=90°,NEBQ+NBEM=90°,

，NABQ=NBEM,满足条件，此时Q(l,1).

当点Q在AB的下方时，设Q(1,m),AB交EM于K.易知K(1,2)

3

VZQBK=ZBEM,/BQ，K=NBQ'E,

.•.△Q'BKs^Q，EB,

.,.Q*QkCTE,

/.12+(m-1)2=(--m)•(4-m),

3

解得m=l,

4

，Q(1,-1),

4

综上所述，满足条件的点Q的坐标为(1,1)或(1,1).

4

(3)如图3中,

由题意可知当点N的纵坐标为±2时，以点B,F,G,N为顶点的四边形是平行

四边形，

当y=2时，-x?+2x+3=2,解得x=l土可得M(1+a,2),N4(1-&，2),

当y=-2时，-X2+2X+3=-2,解得x=l±可得N2(1+V6»-2),N3(1-

-2),

当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，此时N5(1,4),

综上所述，满足条件的点N的坐标为(1+a，2)或(1-&,2)或(1+加，

-2)或(1-灰，-2)或(1,4).

【点评】本题考查二次函数的综合题、一次函数的应用、两直线垂直的判定、平

行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用

分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题.

6.如图，抛物线y=ax?+bx+c(aWO),经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)

三点.

(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)连接AC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限，当SANBC=SAABC时，求N

点的坐标；

(3)在(2)问的条件下，过点C作直线l〃x轴，动点P(m,3)在直线I上，

动点Q(m,0)在x轴上，连接PM、PQ、NQ,当m为何值时，PM+PQ+QN的

和最小，并求出PM+PQ+QN和的最小值.

【分析】(1)将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数

解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；

(2)设N(t,-t?+2t+3)(t>0),根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直

线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据SANBC=S

△ABC，即SACDB+SABDN=L\B・OC建立关于t的方程，解之可得；

2

(3)将顶点M(1,4)向下平移3个单位得到点M，(1,1),连接M，N交x轴

于点Q,连接PQ,此时M\Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=MQ+PQ+QN取最

小值，由点M，、N坐标求得直线M，N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知

m的值，过点N作NE〃x轴交MIVT延长线于点E,可得IWE=6、NE=3、

Z

MN=^32+62=3V5,即M，Q+QN=3遥，据止匕知m=|■时，PM+PQ+QN的最小值为

375+3.

【解答】解：(1):抛物线y=ax2+bx+c(a#0)经过点A(-1,0),B(3,0),

C(0,3),

a-b+c=0

••,9a+3b+c=0，

tc=3

a=-l

解得：，b=2，

,c=3

/.y=-X2+2X+3=-(x-1)'+4,

则抛物线的顶点M坐标为(1,4)；

(2)..飞是抛物线上第四象限的点,

.,.设N(t,-t2+2t+3)(t>0),

又点C(0,3),

设直线NC的解析式为y=k1x+bi，

'2

则[k[t+bi=-t+2t+3,

lbl=3

解得：ki1=-t+2,

-i=3

，直线NC的解析式为y=(-t+2)x+3,

设直线CN与x轴交于点D,

・SANBC=SAABC，

•,.SACDB+SABDN=X^B*OC,E|JlBD»|yc-yN|=^[3-(-1)]X3,

222

即工义(3-[3-(-t2+2t+3)]=6,

2t-2

整理，得：t?-3t-4=0,

解得:ti=4,t2=-1(舍去),

当t=4时,-t2+2t+3=-5,

AN(4,-5)；

(3)将顶点M(1,4)向下平移3个单位得到点(1,1),连接M，N交x轴

".'P(m,3)、Q(m,0),

...PQ，x轴，且PQ=OC=3,

...PQ〃MM',且PQ=MM',

，四边形MMQP是平行四边形,

.•.PM=QM',

由作图知当M\Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=MQ+PQ+QN取最小值,

设直线Z的解析式为

MNy=k2x+b2(k2#0),

k+b=l

将点M，(1,1)、N(4,-5)代入，得：,22

4k2+b2=-5

k=-2

解得：,2

户2=3

直线M，N的解析式为y=-2x+3,

当y=0时，x=—,

2

，Q(W,0),即m=2，

22

此时过点N作NE〃x轴交MM，延长线于点E,

在Rt^M'EN中，VM(E=1-(-5)=6,NE=4-1=3,

.•.M，N=/不=3代，

M，Q+QN=3代，

.,.当m=3时，PM+PQ+QN的最小值为3娓+3.

2

【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法

求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到

点P、Q的位置.

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+c(aWO)与x轴交于A、B两

点，与y轴交于点C,且OA=2,OB=8,OC=6.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，

同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当

其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当aMBN存在时，求运动多少

秒使aMBN的面积最大，最大面积是多少？

(3)在(2)的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点

P,使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，

请说明理由.

【分析】(1)由线段的长度得出点A、B、C的坐标，然后把A、B、C三点的坐

标分别代入y=ax2+bx+c,解方程组，即可得抛物线的解析式；

(2)设运动时间为t秒，则MB=6-3t,然后根据△BHNs/^BOC,求得NH=3t，

5

再利用三角形的面积公式列出SAMBN与t的函数关系式SAMBN=-2-(t-互尸+5,

1032

利用二次函数的图象性质进行解答；

(3)利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=-当+6.由二次函数图象上点

4

的坐标特征可设点P的坐标为(m,-jim2+-im+6).过点P作PE〃y轴，交BC

84

于点E.结合已知条件和(2)中的结果求得SAPBC=生.则根据图形得到SAPBC=S

2

△cEp+SABEP=LEP・m+L・EP・(8-m),把相关线段的长度代入推知：-

22

222

【解答】解：(1)VOA=2,OB=8,OC=6,

.,.根据函数图象得A(-2,0),B(8,0),C(0,6),

4a-2b+c=0

根据题意得卜4a+8b+c=0,解得，

,c=6

二抛物线的解析式为y=-当2+&+6；

84

(2)设运动时间为t秒，则AM=3t,BN=t.

；.MB=10-3t.

由题意得，点C的坐标为(0,6).

在RtaBOC中，BC=Jg2+62=10.

如图，过点N作NHJ_AB于点H.

，NH〃(:0,

/.△BHN^ABOC,

••・HNL-BN，enHN_一t,

0CBC610

.*.HN=2t.

5

•0MBN=.B・HN=L(10-3t)・3=--Lt2+3t=--L(t-空)2+且

225101032

当aMBN存在时，OVtvW,

3

.".当t=5时,

SAMBN最大二—

2

(3)设直线BC的解析式为广kx+c(kWO).

(3

把B(8,0),C(0,6)代入，得，8k+c=0,解得卜二7,

I>6[c=6

二直线BC的解析式为y=-lx+6.

4

•.•点P在抛物线上.

二设点P的坐标为(m,-Am2+-%n+6),

84

如图，过点P作PE〃y轴，交BC于点E,则E点的坐标为(m,--^471+6).

4

当aMBN的面积最大时，SMBC=9SAMBN=驾，

2

SAPBC=SACEP+SABEP=—EP•m+-l_*EP*(8-m)=Lx8・EP=4X(-jlm2+3m)=-

2228

—m2+12m,B[J-21n)2+12m=—.解得mi=3,m=5,

2222

；.P(3,西)或(5,il).

88

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数

法求二次函数、一次函数的解析式、三角形的面积公式，依据题意列出关于

SA

MBN与t的函数关系式以及SAPBC的面积与m的函数关系式是解题的关键.

8.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3,0).与y轴

交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与

y轴交于点F,求PE+EF的最大值；

(3)点D为抛物线对称轴上一点.

①当4BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；

②若ABCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围.

【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式；

(2)易得BC的解析式为y=-x+3,先证明4ECF为等腰直角三角形，作PH_Ly

轴于H,PG〃y轴交BC于G,如图1,则^EPG为等腰直角三角形，PE=1pG,

2

设P(t,t2-4t+3)(l<t<3),则G(t,-t+3),接着利用t表示PF、PE,所以

PE+EF=2PE+PF=-叔+3位+近,然后利用二次函数的性质解决问题；

(3)①如图2,抛物线的对称轴为直线*=-三2,设D(2,y),利用两点间的

距离公式得到灰2=18,DC2=4+(y-3)2,BD2=l+y2,讨论:当ZkBCD是以BC为

直角边，BD为斜边的直角三角形时，18+4+(y-3)2=l+y2；当aBCD是以BC

为直角边，CD为斜边的直角三角形时，4+(y-3)2=i+y2+i8,分别解方程求出

t即可得到对应的D点坐标；

②由于4BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+(y-3)2+l+y2=18,解得

竺近，丫2=生叵，得到此时D点坐标为(2,史五)或(2,三叵)，

2222

然后结合图形可确定4BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围.

【解答】解：(1)把B(3,0),C(0,3)代入y=x?+bx+c得［9+3b+c=0,解得［b=-4,

Ic=3Ic=3

抛物线的解析式为y=x2-4x+3；

(2)易得BC的解析式为y=-x+3,

直线y=x-m与直线y=x平行，

二直线y=-x+3与直线y=x-m垂直,

.,.ZCEF=90°,

•••△ECF为等腰直角三角形，

作PH_Ly轴于H,PG〃y轴交BC于G,如图l,AEPG为等腰直角三角形,PE=^,PG,

2

设P(t,t2-4t+3)(l<t<3),贝ijG(t,-t+3),

.-.PF=7^H=V2t>PG=-t+3-(t2-4t+3)=-t2+3t,

/.PE=^1PG=-返t2+22/lt,

222

，PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=-匹?+3位+心-^2+4^=-&(t-2)2+472»

当t=2时，PE+EF的最大值为4加；

(3)①如图2,抛物线的对称轴为直线*=-工2,

2

设D(2,y),则BC2=32+32=18,DC2=4+(y-3)2,BD2=(3-2)2+y2=l+y2,

当ABCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2,即18+4+

(y-3)2=i+y2,解得y=5,此时D点坐标为(2,5)；

当ABCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2,即4+(y

-3)2=l+y2+18,解得y=-l,此时D点坐标为(2,-1)；

②当4BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2,即4+(y-3)2+l+y2=18-

解得yi=3+'/E,丫2=乏叵，此时D点坐标为（2,3+且）或（2,为豆），

2222

所以4BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为生叵VyV5或-l<y

_2

<±VTT,

2

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握等腰直角三角形的性质、二次

函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；

会利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨

论的思想和数形结合的思想解决数学问题.

9.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1,0）,B（0,-2）,并与x轴交于点

C,点M是抛物线对称轴I上任意一点（点M,B,C三点不在同一直线上）.

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）在抛物线上找出两点七,P2,使得△MP1P2与aMCB全等，并求出点Pi，

P2的坐标；

（3）在对称轴上是否存在点Q,使得NBQC为直角，若存在，作出点Q（用尺

规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标.

【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的表达式；

(2)分三种情况：

①当△P1MP2且^CMB时，取对称点可得点Pi，P2的坐标；

②当△BMC丝AP2PlM时，构建回P2MBe可得点Pi，P2的坐标；

③△P1MP2会ACBM,构建团MP1P2C,根据平移规律可得Pi，P2的坐标；

(3)如图3,先根据直径所对的圆周角是直角，以BC为直径画圆，与对称轴的

交点即为点Q,这样的点Q有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明△BDQi

^△QiEC,列比例式，可得点Q的坐标.

【解答】解：(1)把A(-1,0),B(0,-2)代入抛物线y=x?+bx+c中得：

fl-b+c=0

lc=-2'

解得：仔T,

lc=-2

抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x2-x-2；

(2)如图1,Pi与A重合，P2与B关于I对称，

.*.MB=P2M,PIM=CM,PIP2=BC,

/.△PIMP2^ACMB,

Vy=x2-x-2=(x-—)2--,

24

此时Pi(-1,0),

VB(0,-2),对称轴：直线x=L,

：.P2(1,-2)；

如图2,MP2〃BC,且MP2=BC,

此时，Pi与C重合，

VMP2=BC,MC=MC,ZP2MC=ZBPIM,

.'.△BMC丝2PlM,

APi(2,0),

由点B向右平移上个单位到M,可知：点C向右平移1个单位到P2,

22

当*=回寸，y=(---)2—2工，

22244

.力2(互，I)；

24

如图3,构建回MP1P2C,可得△P1MP2且△CBM,此时P2与B重合，

由点C向左平移2个单位到B,可知：点M向左平移2个单位到Pi，

...点Pi的横坐标为-3,

2

当x=-3n寸，y=(--5.-2-a=4-,

222444

APi(-上，工)，P2(0,-2)；

24

(3)如图3,存在，

作法：以BC为直径作圆交对称轴I于两点Qi、Cb，

则/BQiC=NBQ2c=90。；

过Qi作DE_Ly轴于D,过C作CE^DE于E,

设Qi(―,y)(y>0),

2

易得△BDQISAQIEC,

.BDDQI

，，Q7E="EC"，

.2+yy

"2-^y'

乙2

y2+2y-

4

解得』=三（舍）“竽,

.•必（1,左丘）,

22_

同理可得：Cb（1,2近）；

22

苧）或亭

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、

二次函数的性质、圆周角定理以及三角形全等的性质和判定，解题的关键是：（1）

利用待定系数法求出函数解析式；（2）利用二次函数的对称性解决三角形全等问

题；（3）分类讨论.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用二次

函数的对称性，再结合相似三角形、方程解决问题是关键.

10.如图1,矩形OABC的顶点A,C的坐标分别为（4,0）,（0,6）,直线AD

交BC于点D,tanZOAD=2,抛物线Mi：y=ax2+bx（aWO）过A,D两点.

(1)求点D的坐标和抛物线Mi的表达式；

(2)点P是抛物线Mi对称轴上一动点，当NCPA=90。时，求所有符合条件的点

P的坐标；

(3)如图2,点E(0,4),连接AE,将抛物线Mi的图象向下平移m(m>0)

个单位得到抛物线

M2.

①设点D平移后的对应点为点当点D”恰好在直线AE上时，求m的值；

②当lWxWm(m>l)时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范

围.

【分析】(1)如图1中，作DHLOA于H.则四边形CDHO是矩形.在RgADH

中，解直角三角形，求出点D坐标，利用待定系数法即可解决问题；

(2)如图1-1中，设P(2,m).由NCPA=90。，可得PC2+PA2=AC2,可得2?+

(m-6)2+22+m2=42+62»解方程即可；

(3)①求出D，的坐标；②构建方程组，利用判别式△>(),求出抛物线与直线

AE有两个交点时的m的范围；③求出x=m时，求出平移后的抛物线与直线AE

的交点的横坐标；结合上述的结论即可判断.

【解答】解：(1)如图1中，作DHLOA于H.则四边形CDHO是矩形.

•.,四边形CDHO是矩形，

A0C=DH=6,

VtanZDAH=-^2,

AH

，AH=3,

V0A=4,

.*.CD=OH=1,

AD(1,6),

把D(1,6),A(4,0)代入y=ax?+bx中，则有a+b=6

16a+4b=0

解得fa=-2,

lb=8

，抛物线Mi的表达式为y=-2X2+8X.

(2)如图1-1中，设P(2,m).

VZCPA=90",

.,.PC2+PA2=AC2,

A22+(m-6)2+22+m2=42+62,

解得m=3±Vi3，

：.P(2,3+/)，P'(2,3-V13).

(3)①如图2中,

易知直线AE的解析式为y=-x+4,

x=l时，y=3,

：.D'(1,3),

平移后的抛物线的解析式为y=-2X2+8X-m,

把点>坐标代入可得3=-2+8-m,

m=3.

②由1yz'-x+l,消去y得到2x2-9x+4+m=0,

y=-2

当抛物线与直线AE有两个交点时，△>(),

/.92-4X2X(4+m)>0,

••*4II9I,

8

③x=m口寸，-m+4=-2m2+8m-m,解得m=2+&或2-&(舍弃)，

综上所述，当2+&WmV空时，抛物线M2与直线AE有两个交点.

8

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、解直角三角形、锐角三角

函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方

程组，利用判别式解决问题，属于中考压轴题.

11.如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-5,0),B(1,0)两点,

与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点E(X,y)为抛物线上一点，且-5<x<-2,过点E作EF〃x

轴，交抛物线的对称轴于点F,作EHJ_X轴于点H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF

周长的最大值；

(3)如图2,点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P,使以点P,A,C为

顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说

明理由.

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题；

(3)分三种情形分别求解①当NACP=90。，由AC?+PC2=PA2,列出方程即可解决.②

当NCAP=90。时，由AC2+PA2=PC2,列出方程即可解决.③当NAPC=90。时，由

PA2+PC2=AC2,列出方程即可.

【解答】解：(1)把A(-5,0),B(1,0)两点坐标代入y=-x2+bx+c,

得到「25-5b+c=0,

I-l+b+c=0

解得卜与

lc=5

.•.抛物线的函数表达式为y=-x2-4x+5.

(2)如图1中,

•••抛物线的对称轴x=-2,E(x,-x2-4x+5),

/.EH=-x2-4x+5,EF=-2-x,

矩形EFDH的周长=2(EH+EF)=2(-x2-5x+3)=-2(x+§)

22

,:-2<0,

.•.x=-3时，矩形EHDF的周长最大，最大值为工L.

22

①当NACP=90°,VAC2+PC2=PA2,

(572)2+22+(m-5)2=32+m2,

解得m=7,

.,.Pi(-2,7).

②当NCAP=90°时，,.•AC2+PA2=PC2,

(5&)2+32+m2=22+(m-5)2,

解得m=-3,

/.P2(-2,-3).

③当NAPC=90°时，•.•PA2+PC2=AC2,

A32+m2+22+(m-5)2=(5&)2,

解得m=6或-1,

AP3(-2,6),P4(-2,-1),

综上所述，满足条件的点P坐标为(-2,7)或(-2,-3)或(-2,6)或(-

2,-1).

【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的判定和性质、

勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨

论的思想思考问题，属于中考压轴题.

12.抛物线y=ax?+bx+c过A(2,3),B(4,3),C(6,-5)三点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DELAB交AC于点E,若满足

里YE,求点D的坐标；

AE2

(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l_LAB,若点P在直线I上运动，点

Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q,使得以B、P、Q为顶点的三角形与

△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△BP