2017年数学研习试题七

2017年数学研习试题七

1.（2016济南，13,3分）如图，在口A8C。中，AB=\2,A£）=8,ZABC的平分线交CD

于点凡交AO的延长线于点E,

为（)A.yB.4小

2.（2016济南，21,3分）如图1,在矩形纸片A8CD中，AB=84,AO=10,点E是CD

的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2,折痕

为MN,连接ME、NE：第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3,点B落在股处，折

痕为HG,连接则tan/EHG=.

3.（本小题满分9分）如图1,Z70ABC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5,反比例函数y

='（x>0）的图象经过点A（1,4）.（1）求反比例函数的关系式和点8的坐标；（2）如图2,

X

过8c的中点。作。P〃x轴交反比例函数图象于点尸，连接AP、OP.①求△AOP的面积；

②在OOABC的边上是否存在点使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？若存在，请

求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

4.+(a+3)x+3(a#0)与x轴交于点A(4,0),

与y轴交于点8,在x轴上有一动点E0)(0<w<4),过点我作》轴的垂线交直线AB

于点N,交抛物线于点P,过点于点(1)求a的值和直线A8的函数表达

式；(2)设△产〃％的周长为G，△AEN的周长为C2,若求机的值；

C25

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE,旋转角为a(0。

2

<a<90°),连接£4、E'B,求的最小值.

2017年数学研习试题七

1.（2016济南，13,3分）如图，在F1ABCO中，AB=12,AO=8,ZABC的平分线交CD

于点F,交AD的延长线于点E,CG1.BE,垂足为G,若EF=2,则线段CG的长为（）

A.-yB.45C.2VBD.y[55

【答案】C【解析】•.•四边形4BC£）是平行四边形，...ABaCD,AD〃BC.

ZCBE=ZE.平分NABC,：.NABE=NCBE.：.ZDFE=ZE.：.DE=DF.

:NABE=NCBE,NABE=/DFE,NCFB=NDFE,

：.NCBE=NCFB.：.CF=CB=S.：.DF=DC-CF^\2~S=4.

EFDF24

：△・••就=隹・；・

*AE//BC,:,DEFs^CBF.BFCFBF8BF=4.

；CF=CB,CGIBE,.•.尸6=86=；8尸=2（三线合一）.

在Rt/XCFG中，CG=qC尸一FG?=N8?=2炽.：.选项C正确.

2.（2016济南，21,3分）如图1,在矩形纸片ABC力中，AB=8小，4。=10,点E是CZ）

的中点.将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2,折痕

为MN,连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3,点8落在用处，折

痕为HG,连接则tanNEaG=.

【答案】乐【解析】在图2中，设DM=x,则AM=EM=10—工；点E是CZ）的中点,

AB=CD=85,；.DE=CE=3CD=44在RtADEM中，'：DE2+DM2=EM2,；.(4小片

+/=(10-x)2.解得x=2.6..\DM=2.6,AM=EM=10—2.6=7.4.过点N作NF_LCC于

DFFM•4A/37.4解得EN=^®：,

点（如答案图）则二丽=丽.

F1,ADEMSAFNE.*,10~EN'

AN=EN=^\[3.AN

tanZAMN—^j

第21题答案图1第21题答案图2

在答案图2中，,:MELEN,HGLEN,:.ME//HG.:./NME=NNHK.

又；NNME=NAMN,NEHG=ZNHK,：.NAMN=NEHG.：.tan/EHG=tan/AMN=^.

3.（本小题满分9分）如图1,Z7Q4BC的边OC在x轴的正半轴上，OC=5,反比例函数y

='（x>0）的图象经过点A（1,4）.（1）求反比例函数的关系式和点8的坐标；

X

（2）如图2,过BC的中点。作。P〃x轴交反比例函数图象于点尸，连接AP、OP.

①求△AOP的面积；②在口O4BC的边上是否存在点M,使得△POM是以PO为斜边

的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

4

y=~.

Jx

'."XB=AB+1=5+1=6,yB=4,，点B的坐标为(6,4).

(2)①：。是BC的中点，且B(6,4),C(5,0),：.D(5.5,2).

作OP的延长线，交0A于点£.。是8C的中点，，点E是04的中点.

(0.5,2).过点A作AFLOC于点F,交PE于点G,则AGLPE于点G,且AF=4.

44

点P的纵坐标与点Z)的纵坐标相同，.•.点P的纵坐标为2.把y=2代入得2=：

x=2.点尸的坐标为(2,2)..•.PE=XP-XE=2—0.5=15

：./XAOP的面积的面积+Z\EOP的面积AG+；PE-FG=；PE(AG+FG)=|

PE-AF=1x1.5X4=3.

②在OOABC的边上是否存在点M,使得△POM是以P。为斜边的直角三角形.

以0P为直径作圆，该圆交0C于点交0A于点“2，则Mi，M2就是符合题意的点.

且点P的坐标为（2,2）,

...点的坐标为（2,0）.可求得直线的解析式为y=4x.

；PM2_LOA,.♦.可设直线尸”2的解析式为y=—%+江

把点P（2,2）代入，得2=—；X2+b.解得％=2.5.

直线PM,的解析式为产一本+25

.f10

y=4xin40

由<=_].+25解得J40.，点也的坐标为（方！7）,

0」4”•[产方

综合以上可得，符合题意的点M的坐标为（2,0）或瑞瑞）.

4.（本小题满分9分）如图1,抛物线y=/+（a+3）x+3（aWO）与x轴交于点A（4,0）,

与y轴交于点B,在x轴上有一动点E（%,0）（0<^<4）,过点E作x轴的垂线交直线A8

于点N,交抛物线于点P,过点P作网W于点例.（I）求“的值和直线AB的函数表达

式；（2）设△PMN的周长为C|,的周长为C2，若邑=9,求m的值；

^^25

（3）如图2,在（2）的条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转得到。足，旋转角为a（0。

2

<a<90°）,连接E'B,求屈的最小值.

aa-°

16a+4(a+3)+3=0.解得a=一不，抛物线的函数表达式为：y=-^x1+^x+3.

把x=0代入上式，得y=3.，点8的坐标为(0,3).

由A(4,0),B(0,3)可得直线AB的函数表达式为：y=-%+3.

(2)根据题意，WOE=m,AE=4—m,A8=5,点尸的坐标可表示为(相，—^m2+^n

3Q

+3).PE——^m2+^m+3...................................................................................①

・・AAM△4cA.AN_NE_AE.ANNE4f

--

,XAEN/\AOB,­•AB-BO-4■•-534,

：.AN=^4~m),NE=^4—⑼.VAPM^AAEM且a=(,

・型_6・DM_665._3_

•♦AN~~《《AN—]><4(4一m)一2(4—加).

339

，PE=NE+PN=Z^(4—