2020学年数学九年级下册第27章圆教案

27.1.1圆的基本元素

教学目标：使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。

重点、难点：1、重点：圆中的基本概念的认识。

2、难点：对等弧概念的理解。

教学过程：

一、圆是如何形成的？

请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。/

如右图，线段而绕着它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点/随之（0一

旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？

说说你的方法。

由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又

是由什么决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定）

二、圆的基本元素

问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐

公共汽车上学，其他方式上学的同学有3。％,请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方

式。

我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，图23.1.1就是反映学校学生上

学方式的扇形统计图。

'公共汽带

30%/

图23.1.1图23.1.2

如图23.1.2,线段力，OB,%都是圆的半径，线段〃■为直径，这个以点。为圆心的圆叫作

“圆0”,记为线段A?、BC、儿:都是圆。中的弦，曲线比；的。都是圆中的弧，分

别记为晟、BAC,其中像弧晟这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧掰C这样的大于半

圆周的圆弧叫做优弧。

如右图，NAOB、N6%就是圆心角。

结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。

三、课堂练习

1、直径是弦吗？弦是直径吗？

2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？

3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？

4、说出右图中的圆心角、优弧、劣弧。

5、直径是圆中最长的弦吗？为什么？

四、小结

本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。

五、作业

1、如图，46是的直径，点C在。。上，那么哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？

2、经过4、6两点的圆的儿个？它们的圆心都在哪里？

3、长方形的四个顶点在以为圆心，以为半径的圆上。

4、如图，已知4?是。。的直径，4C为弦，OD//BC,交〃'于点〃，BC=6cm,求必

的长。

第1题第4题

27.1.2圆的对称性

教学目标

知识与技能

1.通过动手操作，了解圆心角的概念，理解圆的中心对称性.

2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各

组量也相等，以及它们在解题中的应用.

数学思考与问题解决

1.通过旋转、观察、探索圆中圆心角、弧、弦之间的关系，应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会

研究几何图形的各种方法.

2.在探索关系定理和它的推论中，感受类比的数学方法，在运用中感悟转化与化归的数学思想，获得分析

和解决问题的一些方法.

情感与态度

积极观察、发现、探究数学问题，激发对数学的好奇心和求知欲.

重点、难点

重点

理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的三个关系定理，并能应用这些定理理解相关问题.

难点

圆心角、弧、弦之间的关系定理的探索及其应用.

教学设计

活动1：动手操作，得出性质及概念

L在两张透明纸片上，分别作半径相等的。〃和0'.（一'、

2.将。。绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？（夕）

3.在。。中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角.教师提出圆心角的概念.\/\J

如图1,N4如的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角.B

图1

4.判断图2中的角是否是圆心角，说明理由.

活动2：继续操作，探索定理及推论

1.在。。'中，作与圆心角N4必相等的圆心角/A。),连接4队AB,将两张纸片叠在一起，使。。与

0。'重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得力与。/重合，在操作的过程中，你能发现哪些等

量关系，理由是什么？请与小组同学交流.

2.学生会出现多对等量关系，老师给予鼓励，然后，教师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所

对的弦也相等.

3.在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？

4.综合2、3,我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对

的弧相等，所对的弦也相等.请用符号语言把定理表示出来.

5.分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？

6.定理拓展：教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究.

(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？

(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？

综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应

的其余各组量也相等.

设计意图：让学生通过动手操作，发现圆的旋转不变性，同时以问题引起学生思考，进行探究，发现关系

定理，培养学生的分析能力和解题能力。接着，再以问题形式，搭建“脚手架”，引发学生思考，得出定

理推论，这样可以完整的把握所学知识，感悟类比的数学方法.活动1、2花大量的时间，就是要关注学

生定理探究的过程，积累活动经验.

活动3：学以致用，巩固定理

归纳小结

1.圆心角概念及圆的对称性.

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都

分别相等，及其它们的应用.

3.类比的数学方法及转化与化归的数学思想.

作业布置Aj

1.如果两个圆心角相等，那么()

A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等J

D.以上说法都不对N―/

C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

图3

2.如图3,46和的是。。的直径，笠ACHDE,若弦上3,求弦位的长.

3.如图4,在。。中，C,〃是直径4?上两点，且AC=BD,MCLAB,ND]AB,

欣阳在。。上.4(C(5D\JB

(1)求证：AM=BN.图4

(2)若C、〃分别为》、的中点，则AM=MN=8N成立吗？

答案：1.D2.3

3.(1)连接〃欣G；证明△加1。名&A如得出乙盼=NA如得出4W=8N.(2)成立.

板书设计

27.1.2圆的对称性

一、圆心角的概念四、检测

三、例3

五、小结

二、定理及其推论

学生板书

备课资料

课外拓展阅读

圆是一种美丽的图形.春秋战国时期，墨翟在其所著《墨经》一书中就曾明确指出：“圆，一中同长

也。”意思是说：圆，只有一个圆心，由圆心到圆周的长都相等.圆在日常生活中的应用非常广泛，如车

轮、方向盘、光盘等.相传，英国的亚瑟王用圆桌宴请骑士，就是因为圆形桌子不易区分上、下席，所以

每位骑士都是贵宾.餐厅的餐桌大都做成圆形，月饼也大都做成圆形，这些都象征圆满、团圆、和谐.毕

达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美丽的是圆形.”

备选练习

1.下列说法，正确的是()

A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等

C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等

2.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角为

3.在00中，直径小〃弦敛入出]度数为60°,则/仇2/

4.在(DO中，弦丝的长恰好等于半径，弦四所对的圆心角为

图5

5.如图5,以平行四边形的顶点力为圆心，48为半径作圆,

别交6a加于点E、F,若/分55°,求弧应1的度数和弧成的度数.

答案：1.B2.90°3.60°4.60°

5.弧班'的度数为70°,弧所的度数为55°.

27.1.3圆周角

【学习目标】

1.了解圆周角的概念.

2.探索并了解同弧所对的圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.

3.通过探索一一猜想一一验证一一运用，感受分类、转化、整体思想，加强推理能力和应用意识.

【学习重、难点】

重点：圆周角定理及推论1.

难点：探索圆周角定理及推论L

【教学设计】

一.情境引入

1.教师提问：同学们，我们学校的三大特色是什么？（接着播放学校足球队参加比赛的图片）在一次体

育课上，进行足球射门练习时，王老师安排了三个夕后琳《

射门点GD、E,而点D、£与入射球门边缘点力、8在同{

一个圆上，小明认为在点〃处射门角度大些，想在点4处射门./f

从数学角度来说他的想法合理吗？为什么？D

2.学生活动：针对提问自由发表看法.

3.教师引导学生进行数学建模，绘出相关图形，连接的、OB,复习上节课学习的圆心角；连接。、CB、

DA、DB、EA、EB,提出问题：NGND、/£是圆心角吗？为什么？它们是什么角呢？这就是我们今天要

学习的圆周角，并板书课题.

设计理念

结合学校足球特色，由生活中的实际问题引入对圆周角定理的猜想，让学生以此建立数学模型来解决

生活问题，从而激发学生的学习激情，并感受到数学来源于生活，又能服务于生活.

二.探究归纳

（一）自学探究，明晰概念

1.提出问题1：什么样的角叫圆周角？请阅读教材，把相关概念的关键词勾画出来.

2.学习反馈：判断下列各图中的角，哪些是圆周角，为什么？

4.教师在学生自学时巡视，在学生展示时，可考虑让各学习小组的中等水平的学生或学差生回答，若学

生回答错误，鼓励学生互助，进行剖析说理.

设计理念

让学生在初步理解什么是圆周角的基础上，在针对其定义的关键词进行反例对比练习，使学生真正落

实对圆周角定义的理解.

（二）合作探究，猜想验证

1.教师引导学生分析引入问题，其实就是判断圆周角NG/£1的大小问题.那这几个圆周角有什

么关系？对着弧46的还有圆心角/力如，它与这些圆周角又有什么大小关系？

提出问题2：下面，我们先探究同弧所对的圆周角与圆心角有什么大小关系.

2.思路导航：测量下面几个图中同弧所对的圆周角与圆心角的度数.

3.大胆猜想:圆周角的度数是同弧所对的圆心角的度数的.

4.尝试验证：如图（1）或图（2）或图（3）,点/、B、C在。。上.

求证：NA0F2/ACB.

5.学生活动：独立测量，接着分别在学习小组和班级交流讨论，得出猜想并尝试验证.在投影或黑板上

展示学生的验证方法，要落实书写的严密性与规范性.

6.教师在学生测量与验证过程中巡视，针对学生具体学情进行指导和提示.先板书学生对图（1）的验证

过程，再让各学习小组讨论图（2）、图（3）的验证方法；还可先由学优生分析图（2）的验证思路和理由

后，再让学生类比思考图（3）的验证思路，最后完成书面验证.教师还应引导学生归纳出相关的分类思

想、转化思想和整体思想.

设计理念

让学生先动手测量探索，进而大胆猜想圆周角定理，再进行严密验证，最后尝试运用解决反馈题，在

“探索一一猜想一一验证”的过程中，让学生经历数学探索的过程，培养学生做数学研究的能力，并感受

分类、转化思想，加强其推理能力和应用意识.

（三）练探结合，归纳定理

1.试找出图中所有相等的圆周角（教材练习第1题）.

2.提出问题3：同弧所对的圆周角有什么大小关系？

3.学生活动：独立思考回答，再尝试完成圆周角定理的

文字归纳与符号表示.

4.此环节考虑让学困生或中等水平的学生回答.学生回答时教师补充追问为什么，根据学生情况适当引导,

并注重对学生回答的鼓励和肯定.

设计理念

让学生在运用问题2所得结论解决问题时，完善圆周角定理:同弧所对的圆周角相等.这样让学生在

探中练，练中学，从而促进了课堂教学的有效开展.

（四）再次练探，归纳推论

1.提出问题4：半圆所对的圆周角的度数是多少？为什么？

2.学生活动：独立思考回答并说理，再尝试完成推论的

文字归纳与符号表示.AB

3.教师根据学生情况适当引导，并注重对学生回答的鼓励和肯定.

4.学习反馈：如图，4?为。。的直径，ZA=50°,则/比°.

设计理念

让学生在运用圆周角定理解题时，得到其推论1：直径（半圆）所对的圆周角是直角，反之亦然.这

样既练习了圆周角定理，又推导出推论1.让学生在做中练，练中学，从而促进了课堂教学的有效开展.

三.学以致用

1.解决情景引入的射门问题.

教材练习第2题.

教材练习第3题.

2.学生活动：此环节可采用小组PK的方式进行.可结合各学习小组的正确率进行计分.

3.教师巡视并根据学生正确率的反馈情况进行评价.由于以上题目是教材上的常规题目，应达到较高的

过关率，可考虑中等水平的学生或学困生展示.

设计理念

达标检测由易到难，层层递进，螺旋上升，进一步巩固所学知识，达成学习目标，让不同的学生在数

学上得到不同的发展，同时也有效的使用了教材.

四.回顾反思

今天这节课我学到的知识有……感受到的数学思想方法有……我的疑惑是……

1.学生活动：根据学生的课堂反应，若回答不够积极，可以让学生小组交流后再发言.

2.教师巡视.在学生回答时，及时肯定、鼓励、引导、校正.

五.拓展延伸

1.提出拓展题：如图，在一次足球比赛中，我校队员小李、小王、夕

小张互相配合向对方球门进攻，当小李带球冲到。点时，小王和\\'i。

小张也分别冲到〃点和£■点，从纯数学的角度分析，小李应直接0V

射门，还是把球传出去？如果传出去，传给谁好？为什么？

2.学生活动：思考、小组交流讨论、展示回答.

3.教师巡视，参与小组交流，并适当引导.若问题在课堂上没有完全解决，可留待课后完成，这样让学

生带着思索走出课堂，更延伸到课外.

设计理念

此题拓展到圆外角与圆内角知识，但又可转化为圆周角来解决.同时此题又与引入问题首尾呼应，更

能有效激发学生解决问题的兴趣.能激发学生的学习兴趣，而且使数学学习延伸到课外.

六.分层作业

必作题：教材复习题第3题，第8题.

选作题：除了足球射门角度问题和曲尺检验凹面，其实生活中还有一些问题可以用圆周角定理及其推论来

解释.请你通过网络或其他方式，查询与圆周角定理及其推论1有关的实际问题，并做好问题交流的书面

作业.

【教学反思】

27.2.1点与圆的位置关系

教学目标

1、探索并掌握点与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系中点与圆心的距离与半径的大小关系；

2、知道经过不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形与圆的关系；

3、理解数形结合的方法。

教学重点、难点

重点：探索并掌握点与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系中点与圆心的距离与半径的大小关系;

难点：知道经过不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形与圆的关系。

教学准备：课件

教学方法：操作体验法

教学过程

一、引入

以课本的图片引入。

你玩边飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同的位置的成绩是计算的吗？

这其中体现了平面内点与圆的位置关系。

二、操作

1、画。。，在圆的外部、圆上、圆的内部分别画点力、B、C,测量物、OB、0c的长度，测量圆的半径花

2、比较。1、OB、0C与半径A的大小关系：

3、思考点与圆的位置关系；

4、班级展示。

5、教师总结

(1)点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外；

(2)点与圆的位置关系与点到圆心的距离与半径的大小关系。

OA<r,OB-rOC>r.

6、提出问题：圆上的点有无数个，那么多少个点可以确定一个圆呢?

三、学习试一试

1、画出过点4的圆。

2、画出过点/和6的圆，这些圆的圆心在哪里？

3、班级展示。

4、老师总结。

过两个点/和6可以画无数个圆，圆心在线段相的垂直平分线上。

5、提出问题：经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？

四、学习思考

1、分组操作：(4人一组)画过三个点的圆。

2、班级展示；

3、老师总结：

(1)如果三个点在同一直线上，不能画圆；

(2)如果三个点不在同一直线上，可以画一个圆，圆心就是连接三个点的线段的中垂线的交点。

1、不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、这时三个点形成的三角形就是圆的内接三角形；圆就是三角形的外接圆，圆心叫做外心。外心在三角

形三条边的垂直平分线上。

3、提了问题：课本练习第2题。

六、补充例题

例1、在平面内，。冰J半径为5cm,点碎IJ圆心处］距离为3cm,则点尸与。冰］位置关系是。

答案：点雁。讷

解析：•.•W=3cm,r=5cm,OP<r,

；.点尸在。。内。

例2、指出下列描述的区域。

(1)到点力的距离小于5cm,到点8的距离大于3cm；

(2)到点尸的距离等于4cm,到点。的距离等于7cm。

解：(1)以点4为圆心，5cm为半径的圆内；以点6为圆心，3cm为半径的圆外的公共部分；

(2)以点尸为圆心，4cm为半径的圆上；以点0为圆心，5cm为半径的圆上，两圆的并点。

七、小结

1、学生小结

2、老师小结：本节课学习了点与圆的三种位置关系，重点研究了不在同一直线上的三点确定一个圆的事

实。

八、作业设计

课本习题27.2第1、2、3题。

九、板书设计

27.2.1点与圆的位置关系

一、引入二、学习试一试三、学习思考四、例题

十、教学反思

27.2.2直线与圆的位置关系

教学目标

1、了解直线与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系与圆心到直线的距离与半径的大小关系之间的联

系；

2、理解数形结合的方法。

教学重点、难点

重点：了解直线与圆的三种位置关系，知道这三种位置关系与圆心到直线的距离与半径的大小关系之间的

联系；

难点：理解数形结合的方法。

教学准备：课件

教学方法：讲授法

教学过程

一、复习

点与圆有哪些位置关系？每种关系中点与圆心的距离与半径的大小关系？

二、引入

大家也许看过日出，如图所示的照片中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳升起的过程中，和地平线

会有怎样的位置关系？

三、学习试一试

1、分组活动。（4人一组）在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与

圆的公共点个数的变化情况吗？如果直线与圆有公共点，那么公共点的个数最少有几个？最多有几个？

2、班级展示

3、教师总结

四、直线与圆的位置关系

1、三种位置关系：直线与圆没有公共点，就称直线与圆相离；直线与圆只有一个公共点，就称直线与圆

相切；直线与圆有两个公共点，就称直线与圆相交。

2、两种线：与圆相切的直线，叫做圆的切线，此时公共点叫做切点；和圆相交的直线，叫做圆的割线。

3、圆心与直线的距离与半径的大小关系

直线/与O。相离Od>r；

直线/与。。相切Od=r；

f［线/与。。相交Od<r.

五、学习例题

例1、在中，///=90°,戊7=8,6c=6,以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆,

试问所作的圆与斜边46所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由。

(2)r=4.8；(3)尸5。

H

O作斜边48卜一的高cn

在RtA4»Ci|«,

AB=/4C2+BC2

=V82+62

=10.

由三角形的面积公式，可得

CD•AB=AC•BC.

.ci)-

,,°-ACA.BBC

8x6

二10

=4.8.

即点C到直线AB的距离d=4.8.

(1)当r=4时,d>r,因此OC与AB相离；

(2)当r=4.8时,4=r,因此OC与48相切;

(3)当r=5时,d<r,因此。C与48相交.

变式：当尸8、9时，。。和线段48有几个公共点？

答：当尸8时，有一个公共点；当r=9时，没有公共点。

练习1、课本练习第1、2题。

1.剧的半径为5度米，当冏心到贪或/的距离为下列数值时，立线，和H］分别有几个

公共点？它们与剧有怎样的位近关系？

(1)4反米；(2)5厘米；(3)6摩札

2.已加圜的立役为10摩米，直蜕/和阙只有一个公共点.求ISI心到在线,/的题离.

2、已知。。的半径为3cm,圆心。到直线/的距离是4cm,则直线/与。。的位置关系是—

3、已知。。的半径为5cm,直线/与。。相交，圆心。到直线1的距离为d则d的取值范围是

六、小结

1、学生小结；

2、老师小结：本节课学习了直线与圆的三种位置关系。

七、作业设计

1、课本练习第3题。

2、课本习题27.2第5题。

八、板书设计

27.2.2直线与圆的位置关系

一、复习二、学习试一试三、直线与圆的位置关系

九、课后反思

27.2.3切线（一）

教学目标

1、理解切线的判定定理和性质定理；

2、能够利用切线的性质定理构造直角三角形。

教学重点、难点

重点：理解切线的判定定理和性质定理；

难点：能够利用切线的性质定理构造直角三角形。

教学准备：课件

教学方法：讲授法

教学过程

一、复习

1、直线与圆有哪些位置关系？

2、直线与圆的位置关系与圆心到直线的距离与半径的大小关系是怎样的？

二、引入

下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着雨伞的边缘飞出，仔细观察一下，水珠是顺着什么样

的方向飞出的？

这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况。

三、学习做一做

做一做--------------------

如图27.2.8，皿i一个圆0及半径0A，经过OO

的半径0A的外端点A画一条直线/垂直于这条半

径（M,这条衣线与圆有几个公共点？

图27.2.8

1、小组活动。（4人一组）

2、班级展示；

3、老师总结。

对直线/除点4以外的任一点户，必有0处0A,即点尸位于圆外，从而可知直线与圆只有一个公共点，所

以直线/是圆的切线。

四、学习切线的判定定理

1、定理的内容：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、图形语言。

3、符号语言。

「以是。。的半径，曲1.直线，（已知），

...直线）是。。的切线（切线的判定定理）。

五、切线的性质定理

1、定理的内容：圆的切线垂直于经过切点的半径。

2、图形语言

3、符号语言

是。。的半径，过点1的直线/是圆的切线（已知）,

.•.如，直线/（切线的性质定理）。

六、学习例题

例2、如图，直线28经过。。上的点4且48=04,/的=45°。求证：直线相是。。的切线。

•:AB=OA,Z.OHA=45°,

Z.AOR=LOBA=45°,

/_()AR=90°.

乂•••点4在圆t,

I'［线AB是。。的切线(切线的判定定理).

补充例题：如图，。。是比的外接圆，4C为直径，故BD=BA,跖，如交比'的延长线于点瓦

(1)求证：N1=NBAD；

(2)求证：跖是。。的切线。

证明：(1),:BD=BA,

:.NBDA=NBAD。

•：N1=NBDA,

.".Zl=ZBADo

(2)如图，连接80,

'：ZAB(=W°,

又,：NBA/NBCD=180°,

：.ABCO^BCD=180°。

,/0B-0C,

：.Z.BC0=4CB0,

C.Z.CB0+Z.BCD=180°,

：.OB//DE.

'：BEVDE,

:.BELOB。

•.•庞是。〃的半径，

...应■是。。的切线。

七、学生练习

1、课本练习第1、2题。

2、补充练习

(1)如图，已知4?是。。的直径，力。是弦，切切。。于点C,交力〃的延长线于点D,N"ZM20°,除10cm,

则。。的半径为()

10cmD.12cm

外切。。于点C,交力夕的延长线于点〃，且CO=CD,则N户。二()

A.30°B.45°C.60°D.67.5°

力为切点，点。在。。上，连接回并延长交2〃于点。，若N/妗70°,则

/AD扶()

A.35°B.45°C.55°D.65°

（4）如图，四是。。的直径，如，"'分别与O相切于6、C两点，若/4/25°,则/〃的度数为

八、小结

1、学生小结

2、老师小结：本节课学习了切线的判定定理和性质定理。

九、作业设计

1、课本练习第3题。

2、课本习题27.2第7、8题。

十、板书设计

27.2.3切线（一）

一、复习二、学习做一做三、切线的判定四、切线的性质

十一、课后反思

27.2.3切线（二）

教学目标

1、理解切线长定理；

2、理解三角形的内切圆和内心等概念，区别内切圆和外接圆。

教学重难点：

重点：理解三角形的内切圆和内心等概念；区别内切圆和外接圆。

难点：理解切线长定理。

教学准备：课件

教学方法：讲授法

教学过程

一、复习

1、切线的判定定理；

2、切线的性质定理。

二、学习切线长

1、切线长的定义：把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、探索：在纸上画出如图的图形，沿着直线夕0将纸对折，由于直线加经过圆心。，所以尸。是圆的一条

对称轴。两半圆重合，PA与PB、NAPO与NBPO有代么关系?

3、班级展示

4、教师总结

我们可以发现：PA=PB,NAPg/BPO。

三、学习切线长定理

1、定理的内容：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等。这一点和圆心的连线平分这两条

切线的夹角。

2、定理的证明

已知：如图，PA,如是的两条切线，切点分别为4B。

求证：PA=PB,々APg4BPO。

AH

<3D>连结()A和。E.

•••P/I切。。于点儿

/.OA1PA.

同理可得OB1PR.

OA=OB,

OP=OP,

PA=PB,LAPO=Z.BPO.

四、学习试一试

试（一试

,如图27.2.13是一张三角形铁皮，如何在它上面截

一个面积眼大的圆形铁皮？

可能大家都会想到这样一个叫它与三免形的三条

«<■边都相切，那么这样的网存在叫？如果存在，我们乂如何

图27.2.13把它画出来呢？

1、小组活动。（4人一组）

2、班级展示。

3、老师总结。

在△应为'中，如果有一个圆与4?、AC,"都相切，那么该圆的圆心到这三边的距离都等于半径.如何找

到这个圆的圆心呢？

这个圆的圆心就是三个角的角平分线的交点。

五、学习三角形的内切圆

1、图形

A

内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆。

内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心；内心就是三角形三个角的平分线的交点。

外切三角形：各边都与圆相切的三角形叫做圆的外切三角形。

六、补充例题

例1、如图，在比1中，/e90°,点。在4C上，以以为半径的。。交4?于点〃被的垂直平分线交

BC于点、E,交物于点E连接飓

(1)判断直线〃£与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若4>6,BO8,如=2,求线段比'的长。

解：(1)直线应与。。相切。理由如下:

如图，连接切，

OIH0A,

:.NQNODA。

是血的垂直平分线，

：.EB^ED,

：.NB=4EDB。

•.♦"90°,

庐90°,

：.NODA+ZEDB-9Q°,

：.NO的180°-90°=90°,

直线应'与。0相切。

(2)如图，连接。瓦

设DE=x,贝!]EB=x,CB=8-x„

•：NC=NODE=90°,

:.OG+CE=OB=O4+DB,

A42+(8-x)2=2、x2,

解得x=4.75,

则腔4.75。

例2、如图，在中，乙43=90°,〃为加上一点，以切为直径的。。交外于点回连接451交切

于点只交。。于点月连接质NCA4NADF。

(1)判断46与O0的位置关系，并说明理由；

(2)若用Pg：2,4斤5,求⑦的长。

解：(1)45是。。的切线。

理由：如图，连接鹿、CF。

;5是。。的直径，

:.NDEC=NDFO卿。

,：ZACB=90°,

：.ZDEC+ZACE=180a,

:・DE//AC,

:・/DEA=NEAU/DCK

■:/DFC=90°,

：.ZFCI^ZCDF=90oo

■：/AD六/EAO/DCF,

:"ADF+ZCDeW,

・・・//麻90°,

・・・CDLAD,

・・・力6是。。的切线。

(2)•：/CP芹/CPA,/PC产/PAC,

:、l\PCFs[\PAC,

・PCPF

^~PA~~PCf

:.PG二PF・PA.

设小a,则用2a,

.*.4a2-a(a+5),

解得3F—,

：.PC=2^—O

3

七、练习

1、课本练习第1、2题；

2、如图，相为。。的直径，点E在。。上，。为的中点，过点。作直线切，熊于点〃，连接〃；BC。

(1)试判断直线切与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若1介2,AC=y/6,求4?的长。

八、小结

1、学生小结

2、老师小结：本节课学习了切线长定理和三角形的内切圆。

九、作业设计

1、课本习题27.2第9、10、llo

2、课本复习题第12、15题。

十、板书设计

27.2.3切线（二）

一、复习二、学习切线长三、切线长定理四、三角形与圆

十一、课后反思

27.3圆中的计算问题

第1课时

教学目标

1、掌握扇形的弧长和面积计算公式，会用公式求阴影部分的面积；

2、对图形进行正确的切分，综合运用所学知识进行计算。

教学重难点

重点：掌握扇形的弧长和面积计算公式；会用公式求阴影部分的面积。

难点：对图形进行正确的切分，综合运用所学知识进行计算。

教学准备：课件

教学方法：讲授法

教学过程：

一、引入

1、提出问题：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°,你能求出这段

铁轨的长度吗？(精确到0.1米)

2、学生回答后，老师总结：

我们容易看出这段铁轨是圆周长的;，所以，铁轨的

氏度I=2"±100=501T=157.08(米).

4

3、提出新的问题：如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢？

二、思考与探索

1、思考：如图，各圆心解所对的弧长分别是圆周长的几分之几？

(I)⑵(3)(1)

2、探索

(1)圆心角是180。，占整个周角的理，因此它所对的弧长是圆周长的；

360

on

(2)圆心角是90°,占整个周角的卫，因此它所对的弧长是圆周长的；

360

(3)圆心角是45°,占整个周角的,因此它所对的弧长是圆周长的

(4)圆心角是1°,占整个周角的,因此它所对的弧长是圆周长的;

(5)圆心角是,占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的。

3、教师总结

如果弧长为/,圆心角的度数为〃，圆的半径为八那么，弧长为

因此弧长的计算公式为

I=胆

一180,

4、提出问题

扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形的面积也越大。怎样计算圆心角

为〃的扇形的面积呢？

三、思考与探索扇形的面积

1、思考：如下图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几？

2、探索

(1)圆心角是180°,占整个周角的出，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的;

360

(2)圆心角是90°,占整个周角的出，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的;

360

(3)圆心角是45°,占整个周角的，因此圆心角是45°的扇形面积是圆面积的

(4)圆心角是1°,占整个周角的，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的；

(5)圆心角是,占整个周角的，因此圆心角是的扇形面积是圆面积的<

3、班级展示

4、老师总结

如果设圆心角是〃。的扇形的面积为S,圆的半径为r,那么扇形的面积为

n

777；•irr

360

Imtr

2"XT80Xf

21^

因此，扇形面积的计算公式为

2

mrr

或S=—lr.

360

四、学习例题

例1、如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm,求这个扇形的面积和周长（精确到0.01cm?和0.01cm）

,r=10厘米，所以扇形的面板为

nirr2

360

60XTTxIO2

360

50TT

«52.36（平方卯米）.

扇形的周氏为

inrtr-

Z=i80+2r

60XTTX10

+20

18()

=20+竽

=30.47(厘米).

例2、如图，在口△/如中，N45庐90°,的=3,吩2,将双△/如绕点。顺时针旋转90°后得RtZiA比,

将线段）绕点£逆时针旋转90°后得线段初，分别以0,£为圆心，OA、助长为半径画弧/尸和弧加；

连接则图中阴影部分的面积是。

答案:8-n

分析：如图，过点。作觎L/E于点区

•:NAOB=90°,614=3,OB=2,

/.AB=>/OA2+OB2=V13。

由旋转的性质可知，OE=OB-2,DE=EF=AB=y{vi,/\DHE^/\BOA,

：.DH=0B=2,

阴影部分的面积为△/应的面积+△£〃的面积+扇形/①的面积-扇形龙尸的面积

90XKX32

」X5X2+Xx2X3+-90X71X13

22360360

二8-五。

例3、如图，4?是。。的切线，6为切点，水?经过点0,与。。分别相交于点〃a若N"»=30°,AB=y/3,

则阴影部分的面积是。

答案.V3.兀

26

分析：如图，连接如。

•・,/3是。。的切线,

・・・OBLAB.

,：OOOB,Z6^30°,

:"OBU40300,

:・/AOB=/a/OBC=60°o

在RtZUHO中，•:NABg90°，力庐6，乙4=30°,

・••娇1,

K

1、如图，在等腰直角三角形/欧中，N4匠90°,力庐4,以点力为圆心，4C长为半径作弧，交/出于点〃

则图中阴影部分的面积为.

3题图

2、如图，49为。。的直径，点C在48的延长线上，且/生2叱4,⑺与。。相切于点。，则图中阴影部分

的面积是。（结果保留根号和加

3、如图，在半径为4,圆心角为90°的扇形内，以以7为直径作半圆交于点〃，连接或，则阴影部分

的面积是。（结果保留n）

六、小结

1、学生小结

2、老师小结：本节课学习了扇形的弧长和面积的计算方法。

七、作业设计

1、课本练习第1、2题；

2、课本习题27.3第1,4题。

八、板书设计

27.3圆中的计算问题

第1课时

一、学习弧长公式二、学习扇形面积公式三、例题

九、课后反思

27.3圆的计算问题

第2课时

教学目标

1、了解圆锥的高和母线；

2、理解圆锥的侧面展开图与圆锥的关系。

教学重难点

重点：理解圆锥的侧面展开图与圆锥的关系；

难点：理解圆锥的侧面展开图与圆链的关系。

教学方法：讲授法

教学过程

一、复习

1、计算弧长的公式？

2、计算扇形面积的公式？

二、认识圆锥

1、圆锥是由一个底面和一个侧面围成的；

2,母线：圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线;

3、高：连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。

三、认识圆锥的侧面展开图

1、圆锥的侧面展开图是一个扇形；

2、展开图的扇形的弧长等于圆锥底面的周长;

3、展开图的扇形的半径等于圆锥母线的长。

四、学习例题

例2、一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120。，弧长为20万的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的

母线的长。

O设该圆锥底面的半径为r,母线的长为«.

则

2m=207r.

可得

r=10.

乂

”120x7Txa

207r—画一

可得

a=30.

补充例题1、如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线47与高/。的夹角。参考公式：圆锥的侧面积

S=nrl,其中「为底面半径，/为母线长。

解：由题意，得冗1=2nr,

7=2r,

母线与高的夹角的正弦值为

12

母线4?与高的夹角为30°。

补充例题2、已知圆锥的侧面积为16Jicm%

(1)求圆锥的母线长/(cm)关于底面半径r(cm)之间的函数关系式;

(2)写出自变量r的取值范