2020年数学《冲刺中考》压轴真题（2019年）培优训练：《三角形》（包含答案）

《冲刺中考》压轴真题(2019年)培优训练：《三角形》

1.(2018•鄂州)如图，在四边形483中，NDAB=90°,DB=DC,点£、尸分别为加、BC

的中点，连接力£EF、AF.

(1)求证：AE=EF；

(2)当府一/IE时，设/加8=(1,/CDB=§,求a,B之间的数量关系式.

2.(2019•江西)在图1,2,3中，已知口ABCD,N/8C=120。，点£为线段为上的动点,

(2)如图2,连接而：

①填空：NFAD.NEAB(填,"<","=")；

②求证：点尸在N48c的平分线上；

(3)如图3,连接EG,DG,并延长OG交班的延长线于点“，当四边形〃'G"是平行四边

形时，求三|的值.

3.(2019•扬州)如图，平面内的两条直线八、e点48在直线人上，点C、。在直线

/?上，过A8两点分别作直线/?的垂线，垂足分别为4,同,我们把线段4氐叫做线段

在直线4上的正投影，其长度可记作八根©或7(AB，lz),特别地线段AC在直线/2

上的正投影就是线段4c.

请依据上述定义解决如下问题：

(1)如图1,在锐角△48C中，48=5,晨公，协=3,则小脓明=;

(2)如图2,在RtZUbC中，NACB=90",心相版=4,九％例一9,求△?!&?的面积；

(3)如图3,在钝角△48。中，N4=60°,点。在边上，N/Q)=90°,T{AD<M=2,

T〈BC,幽=6、求T(sc,co)>

4.（2019•枣庄）在△/!能中，N班占90°,AAAC,4LL8C于点2

(1)如图1,点M,〃分别在4?,48上，且NBMN=90°,当N4W=30°,45=2时,

求线段的长；

(2)如图2,点£,尸分别在他M上，且ZEDF=90°,求证：BE=AF；

(3)如图3,点M在初的延长线上，点N在4C上，旦NBMZ0。，求证：A的AN=J^M.

5.(2019•杭州)如图，在△48C中，AC<AB<BC.

(1)已知线段的垂直平分线与仇?边交于点。，连接48求证：4APX2ZB.

(2)以点8为圆心，线段制的长为半径画弧，与8c边交于点0,连接/IQ.若工力a=3

NB,求N8的度数.

6.(2019•呼和浩特)如图，在△/!宓中，内角4B、C所对的边分别为a、b、c.

(1)若a=6,6=8,c=12,请直接写出N4与N8的和与NC的大小关系；

(2)求证：的内角和等于180°；

(3)若」_=q(a+b+c),求证：宓是直角三角形.

a-b+c-------

7.(2019•镇江)如图，四边形力&?〃中，AD//BC,点、E、尸分别在力久BC上,AE=CF,过

点4C分别作标的垂线，垂足为G、H.

(1)求证：XAGE@XCHF：

(2)连接4C,线段G”与/C是否互相平分？请说明理由.

8.(2019•北京)已知N/I08=3O°,，为射线以上一定点，后1,"为射线的上一

点，附为线段。/上一动点，连接ZW,满足NQ仍为钝角，以点。为中心，将线段/琳顺时

针旋转150°,得到线段/W,连接a/.

(1)依题意补全图1;

(2)求证：AOMP=^OPN-,

(3)点的关于点〃的对称点为。，连接。户.写出一个。的值，使得对于任意的点"总

9.(2019•河北)已知：整式4=(n2-1)2+(2n)1整式Q0.

尝试化简整式A.

发现A=d,求整式反

联想由上可知，序=(4-1)2+(2/7)2,当〃>1时，1-1,2",8为直角三角形的三

边长，如图.填写下表中8的值：

直角三角形三边/72-12〃B

勾股数组I/8—

勾股数组II35/—

10.(2019•赤峰)【问题】

如图1,在Rt△48c中，NACB=90：AC=BC,过点C作直线/平行于48Z£»f=90°,

点。在直线/上移动，角的一边史始终经过点B,另一边DF与4C交于点P,研究如和

%的数量关系.

【探究发现】

（1）如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点。移动到使

点夕与点。重合时，通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程；

【数学思考】

（2）如图3,若点。是/IC上的任意一点（不含端点AC）,受（1）的启发，这个小组

过点。作DG1CD交成?于点G,就可以证明DP=DB,请完成证明过程；

【拓展引申】

（3）如图4,在（1）的条件下，附是边上任意一点（不含端点A6）,〃是射线劭

上一点，AAM=BN、连接椒与8c交于点0,这个数学兴趣小组经过多次取〃点反复进

行实验，发现点附在某一位置时做的值最大.若AC=BX4,请你直接写出8。的最大值.

11.（2019•长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例2如图，在宓中，D,£分别是边做的中点，4?,CE相交于点G,求证：空=

CE

GD=J_

AD-7

证明：连结出.

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程.

结论应用：在“反》中，对角线4C、劭交于点0,£为边6C的中点，AE.劭交于点尸.

(1)如图②，若MBCD为正方形,且45=6,则。尸的长为.

(2)如图③,连结DE交AC于点G,若四边形O/TG的面积为/，则。四切的面积为.

图①图②图③

12.(2019•鸡西)如图，在△48C中，AB=BC、ADLBC千点D,BELAC于点、E,AD与BE

交于点尸，为于点名点"是8c的中点，连接用/并延长交班于点//.

(1)如图①所示，若N/l&?=30°,求证：DF^BH=&BD-,

3

(2)如图②所示，若N/l%=45°,如图③所示，若N4M=60°(点"与点。重合)，

13.(2019•铁岭)如图，中，AB=AC,史垂直平分阳交线段8c于点E(点£与点

C不重合），点尸为4C上一点，点G为四上一点（点G与点力不重合），且乙GER/BAC

=180°.

（1）如图1,当N8=45°时，线段/G和％的数量关系是.

（2）如图2,当N8=30°时，猜想线段4G和〃的数量关系，并加以证明.

（3）若四=6,蚌1,COSQ3,请直接写出听的长.

14.（2019•阜新）如图，是具有公共边的两个直角三角形，其中，AXBC,NACB=N

ADB=90°.

（1）如图1,若延长DA到点E,使AE=BD,连接CD,CE.

①求证：CD^CE,CDJLCE；

②求证：A屏BD=®pD；

（2）若与△/!劭位置如图2所示，请直接写出线段/〃，BD,必的数量关系.

15.（2019•锦州）已知，在Rta/lb。中，NACB=90°,。是8c边上一点，连接加，分别

以切和47为直角边作RtZ\6■然和R14ADF,使乙DCE=N47F=90°，点E,尸在8c下方，

连接EF.

(1)如图1,当BXAC,CE=CD,DF=AD^S,

求证：®Z.CAD=Z.CDF,②BD=EF；

(2)如图2,当BX2AC,CE=2CD、〃F=24?时，猜想劭和)之间的数量关系？并说

明理由.

图1图2

参考答案

1.(1)证明：点6尸分别为。8、8c的中点，

:、EF=¥。

V^DAB=9Q°,

：.AE=亳BD,

•:DB=DC,

:.AE=EF，

(2)解：\'AF=AE,AE=EF,

••.△4所是等边三角形，

：.ZAEF=60°,

・・・/以8=90°,点6尸分别为8c的中点，

：,AE=DE,EF//CD,

・•・NADE=/DAE、N8£F=^BDC=p,

：・4AEB=24ADE=2Q,

乙AEF=/AE济/FEB=2=60。,

Aa,B之间的数量关系式为2a+B=60°.

2.解：(1):四边形〃FG是菱形，

AZ/f£F=180°-NEAG=60°,

：・4CEF=4AEC-2AEF=60。,

故答案为：60°；

(2)①•.•四边形483是平行四边形，

・・・N%8=180°-NABC=60°,

.・•四边形彳3Z?是菱形，ZE4Z?=120°,

，NFAE=60°,

/.4FAD=/EAB,

故答案为：=;

②当外〈维时，如图2,作砒L8C于M,加劭交班的延长线于乂

帆ZFNB=4FMB=90°,

NFM=60°,又N〃F=60°,

NAFN=ZEFM,

•:EF=EA、NF4E=6Q°,

•••△43•为等边三角形，

：.FA=FE,

在和△函/中，

，ZAFN=ZEFM

<ZFNA=ZFME,

FA=FE

：.^AFN^/\EFM(加5)

：.FN=FM,又FMLBC,FNLBA,

点尸在N4所?的平分线上，

当84=BE时,如图4,

•：BA=BE,N腕=120°,

：.ZBAE=ZBEA=3Q",

••■Z£4^=120°,四边形4&G为菱形，

D尸=60°,又EA=EF'

，△4宁"为等边三角形，

N陶=60°,FA=FE,

则在8=90。,又FA=FE,

点尸在N48C的平分线上，

当班时，同理可证，点厂在N48c的平分线上,

综上所述，点尸在Z48C的平分线上；

(3)♦.•四边形〃7:G是菱形，N&k?=120°,

，4GQ60。,

:./FGE=NAGE=3G,

:四边形4£劭为平行四边形，

：.GE//AH,

:.NGA4NAGE=3Q°,24NFGE=3。。,

:.NGAN=9Q°,又ZAGE=30°,

：.GN^2AN,

ZDAB=6Q°,Z//=30°,

AZADH=30°,

:・AD=AH=GE,

:四边形四cz?为平行四边形,

BC=A。,

：.BC=GE,

YNHAE=NEAB=3C,

・•・平行四边形4阳/为菱形，

：,AB=AN=NE,

：.GE=3AB、

.BC=3

"AB"

DC

7,

2^/、

HAB

图3

芯DC

月B

图4

FD(r

图2

3.解：(1)如图1中,作CHLAB.

A

图1H

,Toc,幽=3,

:、AH=3,

-：AB=5,

・・.8//=5-3=2,

T(BC,AB>=BH=2、

故答案为2.

(2)如图2中，作CH1AB于H.

,T(AC、AB)=4,晨8aAB)==^i

:,AH=4,BH=9,

■:/ACB=/CHA=/CHAM,

4ACH=qN,4AC*/BCH=9N,

:.4A=/BCH、

:.AACHSRCBH,

.CH=AH

一丽一亩

.CH=_£

■'V-CH，

:.CH=6,

：.S4ABe=AB-C7/=yX13X6=39.

(3)如图3中，蚱CH'AD于■H、BKLCD于K.

：.AC=2,

VZA=6Q°,

ADC=/BDK=3G,

=1====

CDAD2AC'A、AH^^AC19DH

,:T”c,AB)=6,CH-LAB^

:.BH=6,

.\DB=BH-DH=3,

在RtZk8〃/T中，VZ/T=90°,BD=3,NBDK=30°,

；.DK=B>cos3Q°二冬巨，

2_

.,.欧=W冰=2后.3V3-7V3

4.⑴解：■：ZBAC=9Q°,AB=AC,ADI.BC,

：.AD^BD^DC,NABXNAC8=45°,NBAMNCAD=45°,

•：AB^2,

.'.AD=BD=DC=A/2，

•・・N/MW=30°,

・・・N身0=180°-90°-30°=60°,

・・・N侬?=30°,

：、BM=2DM、

由勾股定理得，8"-次=8/口即(2麻2一3=(加)2,

解得，DM=瓜,

\AM=AD-DM=y[2~羊；

(2)证明：•..4M8C,NEDF=9Q°,

ZBDE=NADF,

在48班和△〃?尸中,

'/B=/DAF

■DB=DA,

ZBDE=ZADF

:.XBDEQ4ADF(.ASA)

:・BE=AF；

(3)证明：过点制作寐〃8c交48的延长线于£

/.ZAME=90°,

贝1］彳£=扬明Z£=45°,

：.ME=MA,

VZAME=9Q°,N8椒=90°,

：・NBME=/AMN,

在△例归和△M〃中，

^ZE=ZMAN

<ME=MA，

ZBME=ZAMN

:.△BMEWXNMA(a4),

:.BE=AN、

：.AB^AN=A济BE=AE=&4K

5.解：（1）证明：•・・线段四的垂直平分线与死边交于点匕

：、PA=PB,

:・4B=4BAP、

NAPC=4济匕BAP,

/.NAPC=2NB；

(2)根据题意可知&1=8。

/BAQ=/BQA,

VZAQC=3ZB,2AQC=乙阶乙BAQ、

/.NBQA=2NB,

・「N班仆N86M+N8=180°,

・・・5N8=180°,

，N8=36°•

6.解：（1）6在△/8C中,a=6,6=8,c=12,

r.N+N8<NC；

（2）如图，过点8作触〃/C,

•：MN//AC,

:./MBA=小、N伤UNC（两直线平行，内错角相等），

■；NMB"NABONNBXW（平角的定义），

.-.Z/H-Z/l^Z^=180Q（等量代换），

即：三角形三个内角的和等于180°；

（3）•..^=/（a+b+c）,

a-b+c-------

c

ac——（尹从。）（a一加c）=—[（才+2add）-6]

22

2ac=a+2ac^-c-b2,

.\a2+c2=2?2,

・•・△48C是直角三角形.

7.（1）证明：・・・4?J_4；CHIEF、

・・・NG=NQ90°,AG//CH.

'：AD//BC,

:.NDEF=NBFE,

YNAEG=NDEF,NCFH=4BFE,

:・/AEG=/CFH、

'NG=NH

在△AGE和△断中，,ZAEG=ZCFH，

AE=CF

：,^\AGE^/\CHF（AAS）；

（2）解：线段G〃与4?互相平分，理由如下:

连接4ACG,如图所示：

由（1）得：RAGEQXCHF,

：.AG=CH,

•:AG〃CH,

・•・四边形4/CG是平行四边形,

・•・线段的与AC互相平分.

(2)设40PM

・・・线段掰绕点户顺时针旋转150。得到线段?

・・・N/W=150°,PM=PN

：・/OPN=4MPN-NOPM=\5G0-a

'：ZAOB=30°

：.ZOMP=]8Q°-4AOB-4OPM=W-30°-a=150°-a

：.4OMP=/OPN

(3)8=2时，总有加OR证明如下：

过点也乍NCr仍于点C,过点户作PD10A于点D,如图2

「・NNCP=ZPDM=NPDQ=90°

V^AOB=30°,OP=2

：.PD=—OP=\

2

•••加加2_建2=立

；的=后1

：.DH=OH-0D=\

'：NOMP^NOPN

.-.180°-N戚=180°-AOPN

典NPMgNNPC

在二PDM与/\NCP中

，ZPDM=ZNCP

-ZPMD=ZNPC

TM=NP

:ZD蛇XNCP(加S)

：.PD=NC,DM=CP

设M=CP=x,贝I］仇MH=MMD4/\

•・•点M关于点，的对称点为Q

：.HQ=MH=)&y

DgDlhHQ=1+A+1=2+X

：.OC=DQ

在XOCN与XQDP中

'0C=QD

<Z0CN=ZQDP=90o

,NC=PD

:.丛OCN空丛QDP(SAS')

图2

9.角星：A=(/72-1)2+(2/7)2=n-2n+1+4n=n+2n+1=(/72+1)2,

■:A=百、B>0,

：.B=n+\,

当2"=8时，/7=4,.'.n+1=42+1=17；

当I-1=35时，)+1=37.

故答案为：17；37

10.证明：【探究发现】

(1)ZACB=90°,AC^BC

；.NCAB=，CBA=45°

•：CD//AB

：.2CBA=NDCB=45°,且BDLCD

：.』DCB=4DBC=45°

：.DB=DG

即DB=DP

【数学思考】

(2)'：DG±CD,N06»=45°

NDCG=ZDGC=45°

：.DC^DG,NDCP^ZDGB=135°,

ZBDP=ZCDG=90°

：.Z.CDP=Z.BDG,且DC=DG,NDCP=NDGB=135°,

：.^CDP^/\GDB(ASA)

：.BD=DP

【拓展引申】

(3)如图4,过点、M作MHLMN交AC于点、H,连接阳HO,

:.NAM卅NNMB=qQ°

•：CD//AB,NCDB=90°

:・NDBM=90°

/./NMm/MNB=QN

:・/HMA=/MNB、且AM=BN、NCAB=/CBN=45°

「△AMgRBNQ(ASA)

：.AH=BO

•・・N4?8=90°,AC=BC=4,

:53=4&,AC-AH=BC-BO

:・CH=CQ

:・/CHQ=/CQH=45°=/CAB

：.HQ//AB

:・/HQM=/QMB

'：4ACB=/HM—N

.•点4点K点。，点。四点共圆，

4HCM=4HQM

：.4HCM=/QMB、且/彳=/烟=45°

.AC^AM

一而怎

.4二州

"4^2"AM=BQ

...如-(AM-2圾产

4

r./IQ2M0寸，8。有最大值为2.

11.教材呈现：

证明：如图①，连结。.

...在△/b。中，D,£分别是边8a的中点，

：.DE//AC,DE=%C,

:・XDEGsXACG、

.CG=AG_=AC=2

■GE-GD-DE-'

.CG招EAGKDQ

GEGD

.GE_GD_1

''CE-AD-7；

结论应用：

(1)解：如图②.

•.•四边形须缈为正方形，£为边8c的中点，对角线4C、曲交于点0,

：.AD//BC,B0=±BD,

:・IXBEFs/\DAF、

.BF_BE_1

''DF-AD

：.BF=^DF,

；.BF=^BD,

,:Bg三BD,

0F=OB-BF^—BD--BD^—BD,

236

••,正方形483中，AB=6、

BD=6y[2,

.••如=加.

故答案为&;

(2)解：如图③,连接0E

由(1)知，BF=—BD,OF=—BD,

36

，度=2.

OF

•.•△弼与△比尸的高相同，

二△皮尸与△龙户的面积比=此=2,

OF

同理，△CEG与△。&7的面积比=2,

，△桀G的面积+△在厂的面积=2(△，£&的面积+△窕厂的面积)=2X^=1,

*0•△80C的面积=q，

.•・口力8缈的面积=4X—=6.

2

故答案为6.

图①图②图③

12.(1)证明：连接庐，如图①所示：

■：ADrBC,BELAC,

：.CF-LAB,

YBH工AB,

：.GF//BH.

：,/CBH=/BCF、

:点〃是％的中点，

：.BM=MC,

，ZMBH=ZMCF

在△阚和△好中，＜BM=MC,

ZBMH=ZCMF

:4BMgXCMF(ASA),

:・BH=CF,

,：AB=BC,BEA-AC,

・•・%垂直平分4C,

:・AF=CF、

：.BH=AF,

:・AD=DXAF=DPrBH、

•・•在RtZ\4Z?8中，ZABC=3Q°,

.\AD=^-BD,

3

：.DXBH=^B氏

(2)解：图②猜想结论：DRBH=BD,,理由如下：

同（1）可证：AD=DRAF=DF+BH、

:在中,N483=45°,

：.AD=BD,

：.DF+BH=BD}

图③猜想结论：DRBH=®入理由如下:

同（1）可证：AD=DRAF=DXBH、

•・•在RtZ\4Z78中，NABC=60°,

：.AD=，^D,

：.DF^BH=y^D.

B\~^MDC

图①

13.解：（1）相等，理由：如图1,连接

•・・必垂直平分府，

：.AE=BE,

/.ZBAE=Z8=45°,

:.AELBC、

'：AB=AC,

:・BE=EC=AE,NBAE=NEAC=NC=45°,

•・•NG所N仍£7=180°,

・・・N/G6N4/T=360°-180°=180°,

・・,//|阳NC/T=180°,

：・/AGE=/CFE、

YNGAE=NC=45°,

侬△废尸（加S）,

:・AG=CF\

故答案为：AG=CF}

(2)AG=^CF,

理由：如图2,连接

•：AB=AC,

NQNa30°,

AZ^C=120°,

・・,止■垂直平分AB,

:.AE=BE、

：・/BAE=/B=3。。,

：.ZCAE=9Q°,NBAE=NC,

・「NG册■/附。=180°,

/.^AGB-ZAFE=]8QQ,

・・・N密•N"F=180°,

・•・NAGE=NCFE,

:、XAGEsXCFE、

.AG_AE

"CF=CE,

在RtZ\4笫中，Z0=30°,

.AG_1

.同一》

：.AG=—CF；

(3)①当G在以上时，如图3,连接

・・・。£垂直平分彳区

:,AD=BD=3,AE=BE,

・・A—BD

BE

•••8£=-^S=4,

COSD—

4

:・AE=BE=4,

・•・4BAE=NB,

：AB=AC,

「・N8=NC,

：・40=2BAE、

・・•NGMN附。=180°,

：.ZAGB-ZAFE=360°-180°=180°,

VZAFB-ZCFE=]80Q,

:・/CFE=/AGE、

:.△CFESRAGE、

.CFCE

一正=一记’

过力作4a8c于点〃，

'cozB——,cos450=^^-,

42

•・•旦>返，

42

Z5<45°,

•••E在，的左侧，

339

BH=—AB=—X6=—,

442

■：AB^AC,

：.BC=2BH=9,

,:BE=4,

."£=9-4=5,

；4G=40-砧=3-1=2,

.CF_5

''~2~T

.-.CF=2.5；

②当点G在劭上，如图4,同（1）可得，XCFEsXAGE,

.CF=CE

''AG-A