2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题7

2022-2023学年第一学期九年级数学期末数学模拟试题（07）

班级：姓名：得分：

注意事项：

本试卷满分150分，试题共26题，其中选择8道、填空8道、解答10道.答卷前，考生务必用0.5毫米黑

色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2021秋•南京期末）一元二次方程/=-2x的解是（）

A.x\=x2=0B.X\=X2=2C.XI=0，X2=2D.XI=0,X2=-2

2.（2021秋•无锡期末）一组样本数据为1、2、3、3、6,下列说法错误的是（）

A.平均数是3B.中位数是3C.方差是3D.众数是3

3.（2021秋•无锡期末）若。是从“-1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程（a-1）/+x

-3=0为一元二次方程的概率是（）

A.1B.—C.—D.—

423

4.（2021秋•徐州期末）如图，A8为。0的直径，点C、。在圆上，若NBCD=a,则NABC等于（）

A.aB.2aC.90°-aD.900-2a

5.(2021秋•无锡期末)如图，在平面直角坐标系中，A(0,-3),B(2,-1),C(2,3).则AABC的外

6.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，D,E分别是△4BC的边AB,AC上的点，—,DE//BC,若4

AB3

AQE的面积为6,则△A8C的面积等于（）

A

A.12B.18C.24D.54

7.（2019秋•宜兴市期末）已知抛物线），=47+汝+。（小b、c是常数，«<0）经过点A（-1,0）、B（3,

0）,顶点为C,则下列说法正确的个数是（）

①当-l<x<3时，a^+bx+c>Q-,

②当aABC是直角三角形，则。=-工；

2

③若,时，二次函数>=4/+公+。的最大值为加2+勿“+°,则〃?23.

A.0B.1C.2D.3

8.（2022•锡山区校级二模）已知：如图，在RtZXABC中，NA=90°,48=8,tan/ABC=2•，点N是边

2

AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与8,C重合），连接MN,将△CMN沿翻折得△EMN,

连接BE,CE,当线段BE的长取最大值时，sinNNCE的值为（）

A.近B.返C.D.

5555

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

9.（2022秋•惠山区校级期中）已知a是锐角，tan（90°-Cl）-73=0>贝Ua=°.

10.（2022秋•徐州月考）将抛物线y=W向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式

是.

11.（2022秋•邳州市期中）将方程/-6x=0化成（x+w）2=〃的形式是.

12.（2022秋•建邺区期中）如表中24位营销人员某月销量的中位数是件.

每人销售量6005。0400350300200

/件

人数44672

13.（2022春•滨湖区期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面点数是3的概率向上一面

点数是4的概率.（填“>”、"=”或“<”）

14.（2022秋•徐州月考）如图，抛物线y=o?+c与直线），=蛆+〃交于A（-1,p）,B（2,q）两点，则不

15.（2022秋♦梁溪区校级期中）如图，在AABC中，。在AC边上，AD：£>C=1：2,。是8。的中点，连

接A。并延长交BC于E,则OE：。4=,SABOE：S&BCD=.

16.（2022秋•惠山区校级期中）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△A8C,分别以点48、

C为圆心，以AB长为半径，作史、京、篇，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形.若AB=4,则此曲

边三角形的面积为.

三、解答题（本大题共10小题，共102分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（2022秋•邳州市期中）（1）解方程:x2-2x-1=0；

（2）解方程:（x+1）2-3=0.

18.（2022•南京一模）南京市自2013年6月1日起实施“生活垃圾分类管理办法”，阳光花园小区设置了

“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、和“其他垃圾”四种垃圾箱，分别记为4、B、C、D.

（1）快递包装纸盒应投入垃圾箱;

（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是；

（3）小丽将二种垃圾“废弃食物”（属于厨余垃圾，记为C）、“打碎的陶瓷碗”（属于其他垃圾，记为。）

随机投放，求她投放正确的概率.

19.（2022•玄武区一模）在某次射击训练中，小明10次射击的成绩如下（单位：环）.

（1）填表：

平均数中位数方差

8环_______环_______环2

（2）你认为小明这10次射击的平均成绩8环能反映他的实际水平吗？请说明理由.

（3）若小明增加1次射击，成绩为9环，与增加前相比，小明的射击成绩

A.平均数变小，方差变小

B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小

D.平均数变大，方差变大

小时10次射击成绩的折线统计图

20.（2022秋•惠山区校级期中）如图，在00中，AB是直径，弦垂足为E,连结BC.

（1）若AE=C£>=4,求AB的长；

21.（2022秋•惠山区期中）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在

格点上.

（1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点。，点A、B坐标分别为（-3,-1）、（1,-3）；

（2）以点。为位似中心，画出△ABC的位似三角形B'C',使得aA'B'C与AABC相似比为2：

1;

（3）在边AB上求作例、N两点，使得CM、CN将△ABC面积三等分.

22.（2022秋•徐州期中）如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一

面靠墙（墙的长度为10，"），另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18〃?，设矩形垂直于墙的一边，即AB

的长为xm.

（1）若矩形养殖场的面积为36加2,求此时的x的值；

（2）当x为多少时，矩形养殖场的面积最大？最大值是多少？

<•f

A\\D

xm

23.（2022秋•惠山区校级期中）如图，在RtZ\ABC中，/C=90°,点O在4B上，以点。为圆心，长

为半径的圆与AC、A8分别交于点。、E,且NCBD=NA.

（1）判断直线3。与。0的位置关系，并说明理由；

（2）若A£>：AO=5：3,BC=3,求BD的长.

24.（2022秋•惠山区期中）如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，MQ、PQ分别表示地面和墙壁

的位置，0M表示垂直于地面的栏杆立柱，OA、AB是两段式栏杆，其中0A段可绕点。旋转，4B段可绕

点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时。、A、B在与地面平行的一直线上，并且点8接触到墙壁;

图2表示栏杆处于打开状态，此时AB〃MQ,04段与竖直方向夹角为30°.已知立柱宽度为30“”，点O

在立柱的正中间，OM=12(k7w,04=120。*，AB=150cm.

(1)求栏杆打开时，点A到地面的距离;

(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留10。〃？的安全距离，问一辆最宽

处为2.1%,最高处为2.加的货车能否安全通过该入口？(本小题中盗取1.73)

图1图2

25.(2022秋•梁溪区校级期中)关于x的方程如果“、机c满足/+房二。?且。之。，那

么我们把这样的方程称为“顾神方程”.请解决下列问题：

(1)请写出一个“顾神方程”：；

(2)求证：关于x的“顾神方程”a?+&cx+b=()必有实数根；

(3)如图，已知AB、8是半径为6的。。的两条平行弦，AB=2a,CD=2h,且关于x的方程a?+6加

x+6=0是“顾神方程”，请直接写出/BAC的度数.

26.(2022•徐州二模)如图，已知二次函数丫="』+法+。的图象与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,

与)，轴交于点(0,2).

(1)求此二次函数的表达式;

(2)点。在以BC为直径的圆上(点。与点。，点B,点C均不重合)，试探究0。，QB,QC的数量关

系，并说明理由.

(3)E点为该图象在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点凡若点E从点C出

发，沿着抛物线运动到点B,则点尸经过的路程为.

答案与解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2021秋•南京期末）一元二次方程*=-2x的解是（）

A.x\=x2=0B.X\=X2=2C.无1=0，X2=2D.XI=0，XI--2

【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于X的一元一次方程，再进一

步求解即可.

【解答】解：：p=-2x,

/.X2+2X=0,

•\x（x+2）=0,

.*.x=0或x+2=0,

解得xi=OX2=-2,

故选：D.

2.（2021秋•无锡期末）一组样本数据为1、2、3、3、6,下列说法错误的是（）

A.平均数是3B.中位数是3C.方差是3D.众数是3

【分析】根据算术平均数、中位数、方差和众数的定义求解即可.

【解答】解：这组数据的平均数为1+2+3+3+6=3,中位数为3,众数为3,

5

方差为1x[（1-3）2+（2-3）2+2*（3-3）2+（6-3）2]=2.8,

故选：C.

3.（2021秋•无锡期末）若“是从1、0、1、2”这四个数中任取的一个数，则关于x的方程（a-1）W+x

-3=0为一元二次方程的概率是（）

A.1B.3C.AD.A

423

【分析】根据一元二次方程的定义求出方程（a-l）?+x-3=0是一元二次方程时“的取值范围，进而再

根据概率的意义进行计算即可.

【解答】解：当。-1W0,即〃#1时，方程（a-1）/+/-3=0是一元二次方程，

・••在“-1、0、1、2”这四个数中有3个数使方程（a-1）3=0是一元二次方程，

恰好使方程（«-1）/+X-3=0是一元二次方程的概率是：1.

4

故选：B.

4.(2021秋•徐州期末)如图，相为。。的直径，点C、。在圆上，若NBCO=a,则NA8D等于()

A.aB.2aC.90°-aD.90°-2a

【分析】由圆周角定理得出NA£>8=90°,ZBAD=ZBCD=a,由直角三角形的性质求出NA8£>=90°

a即可.

【解答】解：是OO的直彳仝,

：.ZADB=90°,

'：ZBAD=ZBCD=a,

：.ZABD=90Q-a.

故选：C.

5.(2021秋•无锡期末)如图，在平面直角坐标系中，A(0,-3),B(2,-1),C(2,3).则aABC的外

【分析】首先由8c的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作A8与BC的

垂线，两垂线的交点即为△A8C的外心.

【解答】解：如图，根据网格点。'即为所求.

•••△A8C的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，

：.EF与MN的交点。'即为所求的△ABC的外心，

.,.△ABC的外心坐标是（-2,1）.

故选：D.

6.（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，D,E分别是aABC的边AB,AC上的点，地=」，DE//BC,若4

AB3

ADE的面积为6,则△ABC的面积等于（）

A.12B.18C.24D.54

【分析】利用DE〃BC判定△AOES/XABC,再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，列出关系式即

可求得结论.

【解答】解：

...△AOES/XABC.

.SAADE,AD、2

^AABC杷

..AD=1

.而T

.SAADE_1

"sAABc可

:.SMBC—9S^ADE=54.

故选：D.

7.（2019秋•宜兴市期末）已知抛物线jua^+fev+c（a、b、c是常数，。<0）经过点A（-1,0）、B（3,

0）,顶点为C,则下列说法正确的个数是（）

①当-1<x<3时，a^+bx+c>Q-,

②当△ABC是直角三角形，则。=-2；

2

③若mWxWm+3时，二次函数y=ax^+bx+c的最大值为。渥+加+的则〃?23.

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据a<0可得抛物线的开口方向；根据抛物线经过点A(-1,0)、8(3,0),可得抛物线的对称

轴及其与x轴的交点坐标，据此对逐个结论分析即可.

【解答】解：；抛物线丫=/+公+，(〃、b、c是常数，a<0)经过点A(-1,0)、B(3,0),

该抛物线开口向下，对称轴为》=土3=1,抛物线与x轴的两个交点分别为点4和点B,

2

•*.①正确；

•••点C为抛物线的顶点，

...当△ABC是直角三角形时，此三角形为等腰宜角三角形，

对称轴x=l与x轴的交点将△4BC分成两个全等的等腰直角三角形，其直角边长为旭=2,

2

,此时点C坐标为:(1,2).

y=axi+bx+c=a(x-I)2+2,

将A(-1,0)代入得:0=4a+2,

.".a---,

2

故②正确；

♦.•对称轴为x=l,a<0,

...当时，二次函数、=加+历什。的函数值随着x的增大而减小，

二③中即可，故③错误.

综上，正确的有①②.

故选：C.

8.(2022•锡山区校级二模)已知：如图，在RtZ\ABC中，ZA=90°,AB=8,tanNABC=±•，点N是边

2

4c的中点，点M是射线8C上的一动点(不与B,C重合)，连接MM将△CMN沿翻折得△EMM

连接BE,CE,当线段BE的长取最大值时，sin/NCE的值为()

近B遮c2^3.口

5555

【分析】由翻折可知：NC=NE,所以点E在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点8,N,E共线时，如图

所示：此时8E最大，由翻折可知：是CE的垂直平分线，延长GN交48于点可得ON平分NAN8,

过点。作DHLBN,然后证明RtAAND空RtAHND(HL),可得AN=4N=6,根据勾股定理即可解决问题.

【解答】解：如图，由翻折可知：NC=NE,

所以点£在以N为圆心，NC长为半径的圆上，点8,N,E共线时，如图所示：此时最大，

在RtZXABC中，/A=90°,

•：AB=S,tanZABC=-^-=—,

AB2

：.AC=\2,

:点N是边AC的中点，

:.AN=CN=6,

:.NE=6,

由翻折可知：MN是CE的垂直平分线,

：.ZENG=ZCNG,

延长GN交48于点O,

:./BND=NAND,

:.DN平分4ANB,

'.'DAA.AN,

过点。作DHLBN,

:.DA=DH,

:.DB=AB-AD=8-DH,

在RtAA/VD和RtAHND中，

fDN=DN

lDA=DH，

；.Rl4AND/RlAHND(HL),

：.AN=HN=6,

在Rtz^ABN中，AB=8,AN=6,

:.BN=13

；.BH=BN-HN=I。-6=4,

在RtzXQB”中，DB=8-DH,根据勾股定理得：

DB2=DH2+BH2,

：.(8-DH)2=加+42,

解得。H=3,

在RtZkAON中，DH=DA=3,AN=6,根据勾股定理得:

DN2=AD2+AN2,

/.£)/V2=32+62=45,

:.DN=3娓,

,.•/A=/NGC=90°,NAND=4GNC,

：.ZADN=ZNCG,

VsinZADN=皿=-A=-=,

DN3755

；.sin/NCG=sin/NCE=-^良

5

故选：D.

二.填空题（共8小题）

9.（2022秋•惠山区校级期中）已知a是锐角，tan（90°-Q）-73=0＞则a=30°.

【分析】利用特殊角的三角函数值，进行计算即可解答.

【解答】解：：tan（90°-a）-V3=0.

Atan（900-a）=F，

.,.90°-a=60°,

.♦.a=30°,

故答案为：30.

10.（2022秋•徐州月考）将抛物线），=/向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式是

y=（x-2）2+3.

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【解答】解：将抛物线），向上平移3个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的解析式是^=（x-2）

2+3.

故答案为：y=（x-2）2+3.

11.（2022秋•邳州市期中）将方程7-6x=0化成（x+〃?）2=〃的形式是（X-3）2=9.

【分析】利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答.

【解答】解：f-6x=0,

x2-6x+9=9,

（x-3）2=9,

故答案为：（x-3）2=9.

12.（2022秋•建邺区期中）如表中24位营销人员某月销量的中位数是350件.

每人销售量6005。0400350300200

/件

人数44672

【分析】根据求中位数的方法求即可.

【解答】解：表中的数据是按从小到大的顺序排列的，处于中间位置的是350和350,

因而中位数是350+35°=350,

2

故答案为:350.

13.（2022春•滨湖区期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面点数是3的概率=向上一面点

数是4的概率.（填”或“<”）

【分析】分别求出向上一面点数是3的概率和向上一面点数是4的概率，进行比较即可.

【解答】解：一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，

向上一面点数是3的概率为工，向上一面点数是4的概率为工，

66

所以向上一面点数是3的概率等于向上一面点数是4的概率.

故答案为：—.

14.（2022秋•徐州月考）如图，抛物线y=/+c与直线尸必交于A（-1,p）,B（2,q）两点，则不

等式的解集是-2VxV1.

y

//0\\、7

【分析】作直线y=mr+”关于y轴的对称直线CD：y=-的+〃，点C、。是两个函数的交点，根据点的对

称性，点0(-2,q),即可求解.

［解答］解：作直线y=〃?x+〃关于y轴的对称直线CD：y--mx+n,

点C、力是两个函数的交点，根据点的对称性，点C(1,p),D(-2,q),

由图象可以看出，“x2+c>"-'的解集为：-2<X<1,

故答案为：

15.(2022秋•梁溪区校级期中)如图，在△ABC中，。在AC边上，AD：DC=1：2,。是B力的中点，连

接4。并延长交8c于E,则。氏。4=1：2,S&B0E：SABCD=1：8.

BEC

【分析】过点。作。F〃AE,交CE于点F,根据已知可得里=2,再证明A字模型相似三角形△CCFs

CA3

△C4E,从而利用相似三角形的性质可得4£=旦。凡d=2,然后根据线段中点的定义可得30=0。=工

2EF2

BD,再证明A字模型相似三角形从而利用相似三角形的性质可得凡BF=2BE,

2

△BOE=(1)2=1,进而可得还=上，CF=BF,最后进行计算即可解答.

,△BDF24AE3

【解答】解：过点。作。/〃AE,交CE于点F,

D

'：AD：DC=1：2,

•.•—CD—_—2,

CA3

'JDF//AE,

ZCDF=ZCAE,ZCFD=ZCEA,

:.XCDFsXCAE,

•CD=DF=CF=2

"CAEACE3"

：.AE=^-DF,空=2,

2EF

:.CF=2EF,

是8。的中点，

:.BO=OD=LBD,

2

'：OE//DF,

：.ZBOE=ZBDF,ZBEO=ZBFD,

：.4BE0s&BFD,

•B0=0E=BE=2

"BDDFBF2"

：.OE=^DF,BF=2BE,泡姐=(-1)2=A

2S/kBDF24

yDF

.OE=2_=1

"AE3.?

2uDrF

AOE：OA=］：2,

,:CF=2EF,BF=2BE=2EF,

:,CF=BF,

・♦・/XBDF的面积的面积，

AS^BOE:S^BCD=1:8,

故答案为：1：2）1：8.

16.（2022秋•惠山区校级期中）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC,分别以点A、B、

C为圆心，以AB长为半径，作前、农、源，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形.若AB=4,则此曲

边三角形的面积为8『8册.

【分析】此三角形是由三段弧组成，先求弓形的面积.那么曲边三角形的面积就等于三角形的面积加上三个

弓形的面积.

2

【解答】解：扇形ABC的面积为6°-X4=旦三,

3603

三角形ABC的面积为±*4*2愿=4日，

弓形的面积为4-4禽，

3

，曲边三角形的面积为4愿+3X（空L-4%）=8ir-8百.

3

故答案为：8TT-873.

三.解答题（共10小题）

17.（2022秋•邳州市期中）（1）解方程:x2-2x-1=0；

（2）解方程：（x+1）2-3=0.

【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；

（2）利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）x1-2x-1=0,

x2-2x=1,

X2-2X+1=1+1,

（X-1）2=2,

x-1=±^2»

X-或X-1=-祀,

汇l=l+&，X2=l-V2；

（2）（x+1）2-3=0,

（x+1）2=3,

x+l=±V^，

x+l=焉或x+l=-M，

XI=V3-1>X2=-Vs-1.

18.（2022•南京一模）南京市自2013年6月1日起实施“生活垃圾分类管理办法”，阳光花园小区设置了

“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、和“其他垃圾”四种垃圾箱，分别记为A、B、C、D.

（1）快递包装纸盒应投入」垃圾箱;

（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是1；

一4一

（3）小丽将二种垃圾“废弃食物”（属于厨余垃圾，记为C）、“打碎的陶瓷碗”（属于其他垃圾，记为。）

随机投放，求她投放正确的概率.

【分析】（1）快递包装纸盒属于可回收物；

（2）根据概率公式求解即可;

（3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【解答】解：（1）快递包装纸盒应投入A垃圾箱,

故答案为：A;

（2）小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是工,

4

故答案为：—；

4

（3）画树状图如下:

由树状图知，共有16种等可能结果，其中她投放正确的只有1种结果,

,她投放正确的概率为工.

16

19.（2022•玄武区一模）在某次射击训练中，小明10次射击的成绩如下（单位：环）.

（1）填表:

平均数中位数方差

8环9环3.8环2

(2)你认为小明这10次射击的平均成绩8环能反映他的实际水平吗？请说明理由.

(3)若小明增加1次射击，成绩为9环，与增加前相比，小明的射击成绩C.

人平均数变小，方差变小

B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小

D.平均数变大，方差变大

【分析】(1)根据中位数、方差的计算方法分别计算即可；

(2)数据中“3”与其他数据的大小差异很大，因此不能较好的反映小明的实际水平；

(3)根据平均数，方差的意义即可求解.

【解答】解：(1)小明成绩的方差X[(3-8)2+(6-8)2+(9-8)2X5+(8-8)2X2+(10-8)

10

2]=3.8,

把小明的成绩从小到大排列为3,6,8,8,9,9,9,9,9,10,

则中位数殳9=9(环)，

2

故答案为：9,3.8；

(2)不能较好的反映,

理由：该组数据中“3”与其他数据的大小差异很大,因此不能较好的反映小明的实际水平;

(3)若小明增加1次射击，成绩为9环,

平均成绩7=(8X10+9)+11=超(环)，

11

••・平均数变大，

由小明的成绩得方差会变小，

故答案为：C.

20.(2022秋•惠山区校级期中)如图，在。。中，AB是直径，弦垂足为E,连结BC.

(1)若AE=C£)=4,求AB的长；

(2)若/BC£>=36°,OB=6,求能的长度.

【分析】(D连接OC,根据垂径定理求出CE,根据勾股定理列出方程，解方程求出厂，进而求出A以

(2)根据圆周角定理求出/BOC,根据弧长公式该计算，得到答案.

【解答】解：(1)连接OC,

设。。的半径为r,则OE=4-r,

是直径，弦CC4B,

：.CE=^-CD=2,

2

在RtZ\OEC中,OE2+CE1=OC2,即(4-r)2+22-r,

解得」=2

2

/.AS=2r=5；

(2)TAB是直径,弦CDJLA3,

，前=俞,

：.ZBOC=2ZBCD=12°,

.•我的长为：丝3=经孤

1805

21.（2022秋•惠山区期中）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，△ABC的顶点都在

格点上.

（1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点。，点4、8坐标分别为（-3,-1）、（1,-3）；

（2）以点。为位似中心，画出△ABC的位似三角形4A'B'C',使得△/1'B'C与△ABC相似比为2：

1：

（3）在边AB上求作M、N两点，使得CM、CN将△ABC面积三等分.

【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系即可;

（2）根据题意画出图形即可；

（3）根据平行线等分线段定理即可得到结论.

【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示;

CR

(2)B'C'即为所求；

(3)如图，点用、N即为所求.

22.(2022秋•徐州期中)如图，某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一

面靠墙(墙的长度为10,〃)，另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为18胆，设矩形垂直于墙的一边，即A8

的长为xm.

(1)若矩形养殖场的面积为36/，求此时的x的值：

(2)当x为多少时，矩形养殖场的面积最大？最大值是多少？

【分析】(1)根据矩形的面积=36列出方程，解方程去符合条件的x的取值即可；

(2)根据矩形的面积公式列出函数解析式，并根据函数的性质和x的取值范围求最值.

【解答】解：(1)由题意得：x(18-2%)=36,

整理得：f-9x+18=0,

解得xi=3,X2=6,

V18-2xW10,

••尤=6；

(2)设矩形养殖场的面积为y平方米，

由题意得：y=x(18-2x)=-2>?+\^=-2(x-—)+2上，

22

；-2<0,4«18,

.•.当x=9■时，y最大，最大值为国1,

22

答：当x为4.5米时，矩形养殖场的面积最大，最大值是生平方米.

2

23.(2022秋•惠山区校级期中)如图，在RtZXABC中，NC=90°,点O在4B上，以点。为圆心，Q4长

为半径的圆与AC、AB分别交于点。、E,且NCBO=NA.

(1)判断直线3。与的位置关系，并说明理由；

(2)若A£>：AO=5：3,BC=3,求3。的长.

【分析】(1)连接OQ，先利用角间关系说明NOQB=90°,再利用切线的判定方法得结论;

(2)连接£>E,先说明△ADES/^BCZ),再利用相似三角形的性质得结论.

【解答】解：(1)BO是。。的切线.

理由：连接OD

;点。在。0上，

：.OD=OA,

：.ZA=ZADO.

VZC=90°,

AZA+ZCBD+ZDBA=90°.

:NCBD=NA,

：.2ZA+ZDBA=90°.

,.•/£)OB=NA+/4r>O=2/A,/DO8+ND8A+/OOB=180°,

二NOO8=90°.

♦.•点。在。。上，

.♦.BO是。O的切线.

(2)连接DE.

是。。的直径，

：.AE=2A0,NAOE=90°=ZC.

又•：NCBD=/A,

:.AADESABCD.

•.•—AD-.-B,C.

AEBD

'：AD：A0=5：3,

：.AD：4E=5：6.

ABC：80=5：6,

：8C=3,

5

24.（2022秋•惠山区期中）如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，MQ、PQ分别表示地面和墙壁

的位置，OM表示垂直于地面的栏杆立柱，04AB是两段式栏杆，其中0A段可绕点。旋转，AB段可绕

点A旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时。、A、B在与地面平行的一直线上，并且点8接触到墙壁；

图2表示栏杆处于打开状态，此时AB〃加Q,0A段与竖直方向夹角为30°.已知立柱宽度为30c5，点O

在立柱的正中间，OM=120cm,OA=]20cm,AB=\50cm.

（1）求栏杆打开时，点A到地面的距离；

（2）为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留10c〃?的安全距离，问--辆最宽

处为2.1%,最高处为2.加的货车能否安全通过该入口？（本小题中收取1.73）

【分析】（1）构造直角三角形，在RtZiOAQ中，根据边角关系求出A。，进而求出AC即可;

(2)令FG距地面为210a”，求出尸G的长即可，在RtZXAFH中，求出A”，进而求出尸”，得出尸G即可.

【解答】解：(1)如图，在Rt/XOAO中，0A=120。〃?，NOA£>=30°,

：.AD=^-OA=60\[3

()，

2

：.AC=AD+CD=(60禽+120)cm,

答：点A到地面的距离为(60我+120)cm；

(2)如图，取尸G距地面高为210CT«,即HC=210c/〃，

在RtZXAF“中，AW=60V3+120-210=(60愿-90)cm,ZFAH=30°,

:.FH=^-AH=(60-30禽)cm,

3

•,.FG=FH+GW=60-3()73+210=270-305/3^218.1(cm),

V218.K210+10,

货车不能安全通过该入口，

答：货车不能安全通过该入口.

图2

25.(2022秋•梁溪区校级期中)关于x的方程—+亚cx+〃=0,如果a、b、c满足/+必二/且。W0,那

么我们把这样的方程称为“顾神方程”.请解决下列问题：

(1)请写出一个“顾神方程”：67+10后x+8=0(答案不唯一)；

(2)求证：关于x的“顾神方程”/+&次+匕=0必有实数根；

(3)如图，已知A3、8是半径为6的。。的两条平行弦，AB=2a,CD=2b,且关于x的方程af+6加

x+6=0是“顾神方程”，请直接写出/BAC的度数.

【分析】(1)由“顾神方程”满足的条件，即可写出一个“顾神方程”；

(2)由一元二次方程根的判别式，即可判断；

(3)由勾股定理，垂径定理，圆周角定理，即可求解.

【解答】(I)解：写出一个“顾神方程”：6?+10V2A+8=0(答案不唯一),

故答案为：6A-2+10V2A+8=0(答案不唯一)；

(2)证明；•.•关于x的方程a7+&<x+6=0是“顾神方程”，

.'.a2+h2=c2且cWO,

①当“W0时，

△—2-4ab,

=2<？-4ab=2(tz2+Z>2)-4ah,

=2(a2+b2-2ab),

=2(a-bl22。，

方程有两个实数根，

②当a=0时，

方程为&cx+b=O，c#0，

•••该方程有实数根，

“顾神方程”必有实数根；

(3)解：NBAC=45°,理由如下：

作OELAB于E,延长EO交CD于F,连接OB,OC,

,JDC//AB,

：.EFLCD,

：.AE=BE=a,CF=DF=h,

"：B^+OEL=OB1,

：.a2+OE2=62,

我x+b=O是“顾神方程，

.'.a2+b2=62,

：.OE=b=CF,

•：OB=OC,

ARtABOE^RtAOCF〈HL】,

:.乙FOC=NOBE,

；NOBE+NEOB=9G°,

/.ZFOC+EOB=90Q,

，/COB=90°,

ZA=AZBOC=45°.

2

26.（2022•徐州二模）如图，已知二次函数yno?+fot+c的图象与x轴交于A（-1,0）,B（2,0）两点,

与y轴交于点（0,2）.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）点。在以8c为直径的圆上（点。与点O,点8,点C均不重合），试探究。O