2019年数学中考总复习：几何专题专项训练（图形的相似）（包含答案）

几何专题专项训练（图形的相似）

选择题

1.（2019•海宁市一模）已知三三，则生上等于（）

y2y

31

A.—B.—C.2D.3

23

2.（2019•河北一模）如图所示的四边形，与选项中的一个四边形相似，这个四边形是（）

3.（2019•祁江区一模）如图，四边形4脑与四边形48c4关于点0成位似图形，且四边

形4成力与四边形的面积之比为1：9,则它们的位似比为（）

4.（2019•安徽模拟）如图，在正方形483中，E、尸分别是边宓、上的点，且满足8尸

=BE,连接防过点6作86,外,垂足为点G,连接。G,则下列说法不正确的（）

A.NGBE=4GCD

B.GE=BE

「SAGBERE、2

u.二（j

^AGCDDC

D.DG±GE

5.（2019•赣榆区一模）已知丛ABC〜4DEF,且△48。的面积为2cZ,△叱的面积为8石，

则△48C与△诋的相似比是（）

A.1：4B.4：1C.1：2D.2：1

6.（2019•诸城市一模）路边有一根电线杆48和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在

太阳光照射下，电线杆顶端4的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形

广告牌的影子刚好落在地面上£点（如图），已知BX5米，长方形广告牌的长HF=4米,

高伙=3米，以'=4米，则电线杆形的高度是（）

BCDE

A.6.75米B.7.75米0.8.25米D.10.75米

7.（2019•黄石模拟）在此中，E、尸是8c边上的三等分点，8〃是4C边上的中线，AE.

4尸分翻为三段的长分别是X、八z,若这三段有x>y>z,则x：y：z等于（）

A.3：2：1B.4：2：1C.5：2：1D.5：3：2

8.（2019•昆明模拟）如图，菱形A8C0中,NBAD=60；4;与做交于点0,E为CD延长

线上的一点，且加垢连接星分别交股4。于点尸、G,连接OG,AE,则下列结论:

①OG=±BD；

②与全等的三角形共有5个；

③5△呼：S&CEF=1-4；

④由点4B、久£构成的四边形是菱形.

其中正确的是（）

BA

一

gD£

A.①④B.①③④C.①②③D.②③④

9.（2019•潘集区四模）如图，中，4?是中线，BC=6,ZB=NDAC、则线段47的长

7、，

A

BDC

A.4B.4^2C.273D.372

10.（2019•曲靖模拟）如图，在△/1）?中，两条中线BE、相交于点0,则5△隧：S△硼=

（）

/A

B-------------C

A.2B.—C.—D.—

234

11.（2019•哈尔滨模拟）如图，在中,AD〃BC,点、E在AB边上,EF//BC,交4?边于

点尸，DE交AC起于

点G,则下列结论中错误的是（）

\______D

匕

BC

A,妪什B.也皿pAGAEnAEAF

BECFGFEGGFEBABAC

12.（2019•昆明模拟）如图，在RtZk/l第中，ZACB=90：AC=BC,。是上的一个动点

（不与点48重合），连接3,将3绕点C顺时针方向旋转90°得到龙，连接班，DE

与/C相交于点尸，连接力£下列结论：

①匡△仇盟；②若/6（笫=25。，则N〃P=65。；③虎=2CF・CA；④若48=3&,

AD=2BD,则〃其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

填空题

AF1

13.（2019•吴兴区一模）如图，在中，DE//BC,詈AD=2、则劭长为_______

EC2

14.（2019•广陵区校级一模）如图，。。是△48C的外接圆，比是直径，AC=2DH,过点。

作勿AL8c于点”以下・结论中：①B4HD；②ZBAO=2BOD：③里■=《；④连接47、

AB2

BD,若m=8,sinN初0=1"，则四边形加〃。的面积为3任,其中正确的结论是.

15.（2019•吴兴区校级一模）如图，在△力仇7中，已知2B=70。，以4C为直径作

00交BC千点、D,肱CE交AB干息P,且N4宏=20°,则空的值为

16.（2019•花都区一模）已知△/!&»△/?日",且它们的周长之比为1：3,则它们的相似比

为.

17.（2019■♦阜宁县一模）在一张比例尺为1：8000000江苏省地图上，阜宁与南京的距离为

3.75cm,实际上阜宁与南京的距离约为km.

18.（2019•沈河区一模）如图，AD//BE//CF,48=3,8c=5,DE=2,则。尸长为.

19.（2019•密云区模拟）比例规是一种画图工具，利用它可以把线段按一定比例伸长或缩

短.它是由长短相等的两脚力。和8c交叉构成的，其中力。与仇?相交于点0.如图，OA

=OB,CD=2,AB=2CD,00=3,则08=.

三.解答题

20.（2019•晋江市一模）在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人

不知远近，立四表，相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三

寸.问木去人几何？可译为：有一棵树C与人3处）相距不知多远，立四根标杆4&

G、E,前后左右的距离各为1丈（■即四边形为8g是正方形，且48=100寸），使左两标

杆4£与所观察的树C三•点成一直线.又从后右方的标杆8观察树C,测得其“入前右

表"3寸（即&?=3寸），问树C与人所在的力处的距离有多远？

二

左前表E-穴［G右前表

左后表AB右后表

21.（2019•荔湾区校级模拟）把两个全等的直角三角板。和&G叠放在一起，使三角板

乐'G的直角顶点G与三角板4仇?的斜边中点0重合，其中NAN尸=30°,斜边丝和所

长均为4.

（1）当£"儿?于点儿GEL8C于点，时（如图①），求G"：助的值

（2）现将三角板6%由图①所示的位置绕。点沿逆时针方向旋转，旋转角a满足条件:

0。<a<30°（如图②），EG交AC干点、K,G尸交于点〃，GH,GK的值是否改变？证

明你发现的结论；

（3）三角板次?由图①所示的位置绕0点逆时针旋转一周，是否存在某位置使尸G是

等腰三角形，若存在，请直接写出相应的旋转角a（精确到0.1°,cos73.2°七0.29）；

若不存在，说明理由.

22.（2019•虹口区二模）如图，在。483中,4C与做相交于点0,过点8作非〃4C,联结

加交融于点尸，点尸为8c的中点.

（1）求证：四边形力面是平行四边形;

(2)如果求证：BOOC=AB'FC.

D

3

23.(2019•马鞍山二模)如图1,在矩形4宓〃中，BG上AC交AC于点G,£为四中点，EG

的延长线交距于点尸，连接CE

(1)若N/IM=30°,证明加'=/7?；

(2)如图2,若NEFC=90°,连接8尸，FMLFB交CD千点、M.

①证明：DM=MC-,

AB2

②求的值.

AD2

24.(2019•普陀区二模)已知：如图，在四边形48切中，AD<BC,点£在加的延长线上,

2ACE=4BCD、EC=E〉EA.

(1)求证：四边形48CZ?为梯形;

B

25.(2019•潘集区四模)如图1,在锐角△/lb。中，D、£分别是力以8c的中点，点尸在4C

上，且满足N4Y=N4%/〃日7交47于点〃

(1)证明：DMDA、

(2)如图2,点G在餐上，目NBDG=NC,求证：XDEQ^XECF、

(3)在图2中，取纸上一点“，使得NC77UN8,若8G=3,求日/的长.

26.(2019•崇川区模拟)如图，已知△A8C中，AB=8,8c=10,AC=\2,。是AC边上一点,

且痛=W”,连接劭，点£、尸分别是仇?、4C上两点(点£不与&C重合)，AAEF

=NC,力£与劭相交于点G.

(1)求：做的长;

(2)求证：△8G£s△际;

(3)连接尸G,当△GE尸是等腰三角形时，直接写出庭的所有可能的长度.

BC

BC

(备用圄)

27.(2019•信阳一模)某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下

过程.

操作发现

(1)①如图(1),8为线段CF上一点，分别以BC,维为边作正方形48CO与正方形BEFG,

点。为8c上一点，且由维，连接炉，FP,那么如与所有什么关系？直接写出答案.

②如图(2),8为线段修上一点，分别以8C,宏为斜边作等腰直角三角形力宓与等腰直

角三角形。点P为g的中点，连接加，DP,那么在与如有什么数量关系？请给予

证明.

数学思考

(2)如图(3),8为线段在上一点，分别以8a房为斜边作直角三角形48C与直角三

角形。维，且△4的4仍£,点户为纸的中点，连接在，DP,那么4。与配有什么数量

关系？请给予证明.

拓展探究

(3)如图(4),8为线段位外一点，连接8C,BE,分别以m，房为斜边作直角三角形

48C与直角三角形且4AB®工DBE,点、P为CE的中点、,连接4a，DP,那么(2)中

的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

参考答案

选择题

-'.y=2x,

•x+y一x+2x一3

2^7,

故选：A.

2.解：作4RL3C于6

则四边形4民步为矩形，

：.EC=AD=\,AE=CD=3,

:.BE=4,

22=51

由勾股定理得，AB^7AE+BE

，四边形483的四条边之比为1：3：5：5,

C选项中，四条边之比为1：3：5：5,

故选：C.

3.解：:四边形力仇?。与四边形AACA关于点0成位似图形,

，四边形四如四边形48、&仄,

:四边形483与四边形48心4的面积之比为1:9,

...它们的位似比为1：3,

故选：B.

4.解：：四边形切是正方形，

：.ZBCD=9QQ,即N8C@NGS=90°,

•:BGLCF,

ZGBB-ZBCG=90°,

ZGBE=ZGCD,4正确，，不符合题意；

ZFBC=90°,BG.LCF,

:•丛BFGs/\CBG,

.BG=BF

…福一而‘

YBF=BE、BC=CD,

••・粤=典，又NG8£=NG曲

CGCD

：,AGBES/\GCD,

•二上运=（黑）2,C正确，不符合题意；

SAGCDCD

、：IXGBESXGCD、

/.4BGE=4CGD,

•：/BG&/EGC=9N,

：,/CGK/EGC=90。,BPDG±GE,。正确，不符合题意;

故选：B.

5.解：,.,△48C的面积为2”，△田7的面积为8m1

，△力成?与△叱的面积比为1：4,

、：△ABC-1\DEF、

.•.△/I8C与△叱的相似比为1：2,

故选：C.

6.解：过点G作G0,匿于点0,G2L/8于点只

A

P……:话，、

BCQDE

根据题意，四边形8%户是矩形，

:.BP=GQ=3米八

△APGsXFDE、

.AP_5+2

"~3T'

4

：.AB=^-3^7.75（:米），

4

故选：B.

7.解：如图，作MH//BC交AE于H,交4尸于G,设〃交飒于居AF交BM于J.

.GM_AG_GH_AM_1

''CF-AF-EF-AC-7,

'：BE=EF=CF、

：.HG=MG=^CF,

.胆=遐=2

''BE-KB-T)

.'.y+z=2x,

,GMMJ=1

,,BF=JB2'

.,.x+y=2z,

.*.x=—z,y=­z,

22

•'.x：y：z=5：3：2,

故选：D.

8.解：.・•四边形/成力是菱形，

：、AB//CD、AB=CD=AD,OA=OC,

,:CD=DE、

：.AB=DE,

又,：AB//DE、

二・四边形四/应是平行四边形，

:・BG=EG、

又YOA=OC、

是48班是中位缘

：.OG=—DE.

2

,:/LBAX60°,AB^AD,

.•.△分。是等边三角形，

BD=AB,

又YAB=CD=DE、

:、BD=DE,

：.OG^—BD.

2

故①正确；

四边形ABDE是平行四边形，BADE,

二.四边形ABDE是菱形,

:,XEGD^l\EG&4BGA9XBGD.

丁四边形ABCD是菱形,

△40的△COB^^AOD^△COD.

又劭是等边三角形，AOLBD、BG1AC,

「•△8G屋△板，

^^\EGD^/\EGA^/\BGA^/\BGD^/\AOB^/\COB^/\AOD^/\COD,

・•・与△fGZ?全等的三角形有7个.

故②错误；

,：AB〃CE,

:.△ABFsRCEF、

.SAABF/AB、21

SACEFCE'4'

故③正确；

四边形星是菱形前面已证明，

故④正确.

综上，①③④正确.

故选：B.

9.解：,:乙B=乙DAC,40=4C,

:.l\CDAsXCAB

.CDCA

■'CA^CB

即：C#=CACB

而BC=6,是中线

:.CM3

:.擂=C>CB=3X6=18

向AC^0,.*AC—3^^2，

故选：D.

10.解：；8£、缈是△48C中的两条中线,

是△48C的中位线，

于是小〃8C,DE=^BC

：.XDOEsXCOB,

.S-OE,DE一1

-WT=(BC)=

故选：D.

11.解：'：EF//BC

答案4正确；

DC.Cr

根据合比性质，则有

AE二AF

AE+BE=AF+CF

即：空■穹，••・答案。正确；

ABAC

V：ADHEF

AGDG

A

GF一EG.,.

DAD

AGGEF

而GFEG

故选：c.

12.解：.:/倬CB=NDCE=9G

：.NBCD=NACE

而BC=AC,DC=CE

:.△ACEQXBCD(SA$)

...选项①正确;

若ZBCD=25。,而NQ45。

NBDC=110°

而总

%=110°

而N0EC=NEDC=45°

AAED=65°

，选项②正确；

“：△ACE9ZBCD

£EAC=/DBO=45°

：.4FEC=ZEAC=45°

又；/ECF=4ACE

:.XCFEsXCEA

.CFCE

"cf=CA

即C^=CF，CA

由勾股定理可知底=*+切=2疹

:.Df=2CF'CA

，选项③正确；

若AB=3\[^,AD=2BD,

：.AD=2y[2,BD=yf2

.'.CA=3,AE=BD=y[2

而N外UN£4、45°

，N%£=90°

•,■^=V8+2=V10

CE=\J"^

而CS=CF・CA

.-.5=CFX3

54

：.AF=CA-CF=3--=—

33

，选项④不正确；

故选：C.

填空题（共7小题）

1

13.解：,在△48C中，DE//BC,,AD=2,

EC2

.AE_AD

"EC=BD'

解得：8p=4,

,：OE'AC、

：.AE=EC,

•：AC=2DH,

:.DH=AE=CE,

•：0P=0A=OC,

：.Rt△DOH^Rt△AOE^Rt/\COE,

：.NODH=NOAC,OH=OE,

是直径，

；.N*BAX9Q°,

，N班/Nfl4日=90°,YZBOM/ODH=qQ°,

:.NBAO=NBOD,故②正确，

假设①成立，则点，与0重合，显然不符合题意，故①错误;

VAE=EC,BO=OC,

：.AB=2OE=2OH,

■二E，故③正确，

AB2

•：BC=8,s'\n^ODH=—,

4

：.OH=OE='、

，AE=EC=DH=y]^,

X1=

SAAOB=2SAAOE=2X—XV15V15»

㈤=-^~x4x<7T5=2VT5»

「・S四边形4腕=S*8o+S△阳产JY^+2仍记=3故④正确,

故答案为②③④.

15.解：连接4?、AE.

..YC为。。的直径，

：.4ADC=NAEC=qG.

C.ADLBC.

'：AB=AC.ADA.BC,

：.BD=DC,/BAD=2CAD.

'：AB=AC,

；・4ABC=/ACB=1。。.

/.ZBAC=40°.

・・・N"”20°.

/.ZACE=ZDAC.

:.AE=DC.

：.BC=2AE.

■:乙B=10。,/ECB=/ACB-NACE=1G-20°=50°,

/BPC=60°.

.AEM

•■—=.

AP2

.APM

••------•

BC3

故答案为：返

3

16.解「：△ABC^XDEF、周长之比为1：3,

它们的相似比为1：3,

故答案为：1：3.

17.解：设实际上阜宁与南京的距离约为x痴,

3.75_1

根据题意得

———8000000,

.'.x=300km,

答：实际上阜宁与南京的距离约为300痴.

故答案为：300.

18.解：-：AD//BE//CF,

•AB_DEgn3_2

''BC-EF'

解得，）=¥，

DF=DB~EF=2+—=—,

33

故答案为：y-.

19.解：由题意得：/XAOBsADOC,

■:AH2CD,

.AB2

.AQBO2

■■OD-OC

-：CD=2,OC=3,

：.OB=2OC=6、

故答案为：6.

三.解答题（共8小题）

20.解：...四边形48%是正方形，

AZA=ZG=90°,AE//BG,

2ACB=ZGBF.

.AB=AC

,旗一利

又45=员?=100寸，FG=3寸.

・100_AC

"~3"Too'

解得4a竺署.

答：树c与人所在的4处的距离为电詈寸.

21.解：(1)•：2ACB=NEGF=9Q°,ZB=ZF=30°

：.AC^—AB,EG=—EF

22

；AAEF=4

：.AC=EG=2,在和RtZ\£G尸中，由勾股定理得

BC=GF=2y]s，

•：GELAC,GFX.BC

：.GE//BC,GF//AC

••.G是48的中点

■■■K,，分别是4?、第的中点

GK,G"是△/比1的中位线

-GK=-^-5^7=GH—--A1

:.GH：GK=y：返

(2)不变，

理由如下：作掰14?于〃，GNLBC于N,

NGMO-NGN49G由旋转的性质可知：

N2=N1

:.△GMKSXGNH

•GHGN

••菰=一前’

GN：GM=\：我，

GH-.GK=t：73>

，旋转角a满足条件：0°<a<30°时，GH,G/T的值比值不变.

（4）存在.

①如图③-1中，当a=30°时，48尸G是等腰三角形.

G(O)

图。-1

②如图③-2中，当a=90°时，ZX8尸G是等腰三角形.

A

E

图③-2

③如图③-3中，当月?=历时，悴FHLBG千H.

图③-3

cosZFGB=2887,

FG2^3

r.仁73.2°,

；・旋转角=90°+60°-(90°-73.2°)=133.2°

④如图③-4中，当&?=①时，同法可得旋转角为346.8°,

综上所述，满足条件的旋转角为30°、90°、133.2°或346.8°.

22.证明：(1)•：BE//AC,

.PC_CF

"BF=BF

:点尸为8c的中点，

：.CF=BF,

：.0C=BE

;四边形4861〃是平行四边形，

：.AO=CO

：.AO^BE

•：BE//AC,

..•四边形4窕8是平行四边形

(2)1•四边形力的是平行四边形,

:,/BAO=/E

NOBC=NE、

:・/BAO=/OBC

4ACB=NBCO,

:ACOBSACBA

.BO产

"AB'TC

•••四边形483是平行四边形，

；.AX20C

:点尸为力的中点，

：.BC=2FC

.BQ_FC

"AB^OC

即BO>OC=AB'FC

23.解：(1)ZABG^30°,N48a90°,

ZBAG=6Q°,

在RtZ\/8G中，AE=BE,

/.^AEF=bQ°=^BAC,

又YNEAF=NABC=9Q。,

:、XAEF〜l\BAC、

.AF_AE_1

一而而下，

又•：BC=AD,

AF^j-AD,

BPAF^FD.

(2)①.：/EAF=/EFX/FDXM,

:.IXEAF〜XFDC、

.DFDC

"AE^AF'

同理可证△形尸，△aw,

.DF.DM

,,AB-AF'

即2AE-AF

,DF2DM

・・瓦IF

.DC2DM

,旗FT

：.DC=2DM,

即DM=CM,

②设AF=y,

在Rt48G中，AE=BE,

：.EA=EG,

：.NEAG^ZEGA=NFGC,

又,：/EAF=NEFC=q0，,

Z.FAC=AFCA,

：.FA=FC,

■：AEAF=^EFC^ZFDC=9Q",

:.XEAF〜XFDC、

.DCDF

"AF^AE'

•1•

y

在Rt△阴?中，层+〃=%=/!产

,X2V2-1

7F

・AD_"_2~"~1_2A2

-W-(yX)r+d/一号+4鸟

yyxy

方法二：（1）如图1,连接82

在RtZ\?18G中，ZBAG=9Q°-30°=60°,

・..矩形ABCD、

OA=OB、

：.NOBA=NOAB=b¥,

在RtZ\/48G中，AE=BE,

:.EA=EG、

又•：NOAB=60°,

ZAEG=6Q°=4ABO、

:、EF〃BD,

又.；AE=BE,

：,AF=FD

(2)①另证：如图2,延长弘8c交于点乂

ZEAF=ZEFC=ZFDC^9^,

:./XEAF〜WDC、

.DF_FC

"AE^EF

,:4EBC=4EFC=q。",

:./FC4/FEB

•：ZEFC=ABFN=9Q°,

：.NEFB=NCFN

：.t\EFB-^IXCFN,

.FCCNCN

,'FE"EB~AE

▽..FCDF

EFAE

：.CN^DF

又,：CN〃DF、

，四边形加印是平行四边形，

：.DM=MC.

DAD

24.(1)证明：•:E6=E>EA

.EC_EA

"ED^EC

而Nf=NE

・•・△助s△⑦c

/.4EAC=NECD

又YNACE=/BCD

・•・NACE-4ACD=/BCD-4ACD

即NfC，=N%4

ZEAC=ZBCA

:,AE〃BC,

'：AD<BC,

故四边形力及M是梯形.

(2)证明：由(1)可知工ECAs丛EDC

・•・区二CD即得EC二EA

EAACCDAC

而由已知詈T•可得器笔

EAACABAC

egAB,即梯形ABCD是等腰梯形

NB=/BCD

而NBCgNEDC

：.£B=ZEDC

由(1)知/BCA=/ECD

:.△ABC^AEDC

.ABBC

"ED^CD

而AB—CD

:・A舀=E>BC

故44=。・宓得证.

25.(1)证明：如图1所示,

图1

-：DM//EF.

：.NAMD=NAFE,

'：N"F=N4

・•・乙AMD=LA、

：.DM=DA.

（其他解法酌情给分）

图2

■:D、£分别是48、8c的中点,

：、DE"AC、

:・NBDE=/A、4DEG=

■:4AFE=4A、

/.NBDE=NAFE,

/.4BD*乙GDE=404FEC,

•:NBDG=4C,

:・/GDE=/FEC、

：.4DEGS4ECF.

(3)如图3所示,

Y4BDG=NC=4DEB,NB=NB,

：,2BDGS4BED,

.BDJG

BEBD

:、B&=BG・BE、

YNAFE=/A、Z.8FH=

/.Z6*=180°-Z.A-Z5=180°-NAFE-4CFH=4EFH,

又,：4FEH=4CEF,

:•△EF24ECF、

.EH_EF

"EF^EC，

:・E户=EFbEC、

'：DE//AC,DM//EF,

二.四边形田物是平行四边形，

：,EF=DM=DA=BD,

:・BG*BE=EH・EC、

•：BE=EC,

：,EH=BG=3.

26.角翠：(1)・.Y8=8,AC=n,又4c

・An16

..3y

•：A^=AD>AC,

.■.黑>$,又TN班C是公共角

ABAC

:AADBsAABC,

.BDAD

,,而而

.BD

▽专

•••BD丹.

(2)AC=12,知二1；,

.・@:12丹丹，

oo

BD=CD,

・•・NDBC=4C,

,:XADBs4ABC

：.NABD=4C、

/.NABD=NDBC,

Y/BEF=/侪/EFC,

即NBEA^NAEF=NG^NEFC,

•：NAEF=NC,

：・NBEA=/EFC,又YZDBC=4C、

:.XBEGsRCFE.

（3）如图1中，过点彳作4/〃8a交劭的延长线于点//,设,BE=x,CF=y,

图1

•:AH〃BC、

16

.AD_DH_AH_1"_4

…而一而一而一至一至

3

'：BD=CD=—,AH=Q,

3

：.AD=DH=^-,

3

:・BH=12,

'：AH//BC,

.AH=HG

,,BE-BG,

.8_12-BG

"7--BG-*

YNBEF=/O/EFC,

/.NBE9NAEF=N株NEFC,

•；NAEF=NC,

・•・4BEA=/EFC,

又：MDBC=NC,

:ZEGsACFE、

.BE=BG

•于一而‘

,x_12x

…yx+8'

・--X2+2X+80.

••y1Z-----------------------»

12

当4G序是等腰三角形时，存在以下三种情况：

①若GE=GF,如图2中，班/GEF=/GFE=/0=4DBC,

图2

：.4GEFs丛DBC,

20