2020届中考数学十大题型专练卷07动态问题试题（含答案）

2020届中考数学十大题型专练卷题型07动态问题试题

一、单选题

1.如图，矩形48CD中，AB=4，AD=2，E为4B的中点，F为EC上一动点，P为。尸中点，连

接PB，则的最小值是()

A.2B.4C.0D.272

【答案】D

【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段外尸2,再根据垂线段最短可得当尸2时，PB

取得最小值;由矩形的性质以及己知的数据即可知BP^P^Pi,故BP的最小值为BPi的长，由勾股定理求解

即可.

【详解】解：点P为。F的中点，

当尸运动过程中，点P的运动轨迹是线段产出2

因此可得当C点和尸点重合时，时使P8最小为BPi.

当C和F重合时，P点是8的中点

勺=2

BP,=y]BC2+CP；=V22+22=2V2

故选D.

【点睛】本题主要考查矩形中的动点问题，关键在于问题的转化，要使P8最小，就必须使得〃尸最长.

2.如图，在RtAAfiC中，NC=90"，AB=5,BC=4.点尸是边AC上一动点，过点尸作PQ〃A8交

BC于点Q,。为线段P。的中点，当80平分NABC时，AP的长度为()

8152532

A.—B.—C.—D.—

13131313

【答案】B

【分析】根据勾股定理求出AC,根据角平分线的定义、平行线的性质得到NQBD=ZBDQ,得到QB=QD.

根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

【详解】解：NC=90"，AB=5，BC=4,

AC=7AB2-BC23-

PQ//AB,

ZABD=ZBDQ,又ZABD=NQBD.

ZQBD=ZBDQ,

：.QB^QD,

：.QP=2QB,

PQ//AB,

\CPQACAB,

,CP_=CQ=PQtCPQB2QB

CACBAB345

24

解得，CP=—；

13

AP=CA-CP=—

13

故选B.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

3.如图是函数），=/一2》—3（0«xW4）的图象，直线轴且过点（0,加），将该函数在直线/上方的图

象沿直线/向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最

小值之差不大于5,则〃?的取值范围是（）

A.m>lB.m<0C.0<m<lD.或

【答案】C

【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知.

【详解】解：如图1所示，当/等于。时，

Vy=(X-l)2-4.

...顶点坐标为(1,-4),

当X=O时，y=-3,

A(0,-3),

当x=4时，＞=5,

C(4,5),

当机=0时,

0(4,-5),

，此时最大值为0,最小值为-5；

如图2所示，当阳=1时,

此时最小值为T，最大值为1.

综上所述：OW/nWl,

【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的〃?的值为解题

关键.

4.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知8(2百,2),点4在x轴上，点C在y轴上，P

是对角线08上一动点(不与原点重合)，连接PC,过点P作P£)_LPC,交x轴于点D.下列结论：①

QA=BC=2百；②当点。运动到0A的中点处时，PC2+p£)2=7；③在运动过程中，/CDP是一个

定值；④当△OOP为等腰三角形时，点。的坐标为,0.其中正确结论的个数是()

C.3个D.4个

【答案】D

【分析】①根据矩形的性质即可得到。4=5C=2g；故①正确;

②由点。为OA的中点，得到。。=！。4=6,根据勾股定理即可得到

2

PC2+PD2=CD=OC2+OD=22+=7,故②正确:

③如图，过点P作尸b_LQ4于F，。的延长线交BC于E,PE=a，则PF=EF-PE=2Y,根据三

角函数的定义得到==，求得CE=BC—BE=26一6a=6(2—a)，根据相似三角形

的性质得到五。=云，根据三角函数的定义得到NP£>C=60°，故③正确;

④当AODP为等腰三角形时，I、8=?。，解直角三角形得到0。=@0。=2叵

33

II、OP=OD,根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到NOCP=105°>90°，故不合题意舍去;

IILOP=PD,根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到NOCP=105°>90°，故不合题意舍去；于

是得到当AODP为等腰三角形时，力：。的坐标为,0.故④正确.

【详解】解：①•••四边形0A8C是矩形，BQ瓜2),

OA=BC=25，故①正确；

②•点。为04的中点,

OD=-OA=y/3,

2

PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+（百）2=7，故②正确;

③如图，过点尸作尸产，CMA于尸，尸P的延长线交BC于£,

:.PE工BC，四边形OPEC是矩形,

:.EF=OC=2,

设PE=a，则PF=EF-PE=2-a，

在RtMEP中,tanZCBO=—=—=—，

BEBC3

/.BE=&E=/a，

:.CE=BC-BE=26-岛=向2-a),

PDA.PC,

:.NCPENFPD=96，

NCPE+NPCE=9d，

：.ZFPD=ZECP,,

NCEP=NPFD=96，

:.bCEPs"FD.

PECP

"~FD~~PD'

a_6(2-。)

"~FD~2-a'

,-FD=i)

tanZPDC=—=—=^

PDa,

忑

ZPDC=60\故③正确；

④BQ区2),四边形QA8C是矩形，

:.OA=2区AB=2,

“八AB73

tanNA08==—»

0A3

.•.N4O6=30°，

当△0。尸为等腰三.角形时，

I、OD^PD,

：.NDOP=NDPO=30,

ZODP=60,

ZODC=60,

:.0D=-0C=^-

33

IkOP=OD

：.ZODP=ZOPD=75，

ZCOD=ZCPD=90,

ZOCP=W5>90，故不合题意舍去;

III,OP=PD,

:.NPOD=NPDO=30，

:.ZOCP=\50>90故不合题意舍去，

【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的

性质，构造出相似三角形表示出C尸和PD是解本题的关键.

74r1

5.如图，在mABO中，ZOBA=90°,4(4,4),点C在边4?匕且——=—，点。为08的中点，

CB3

点P为边。4上的动点，当点P在Q4上移动时，使四边形POBC周长最小的点P的坐标为()

【答案】C

【分析】根据已知条件得到48=08=4,ZAOB=45°,求得BC=3,OD=BD=2,得到。(0,2),C(4,3),

作Q关于直线OA的对称点E,连接EC交OA于P,则此时，四边形PCBC周长最小，E(0,2),求得直

线EC的解析式为广5x+2,解方程组即可得到结论.

【详解】•.•在/?也480中，NOBA=90。，A(4,4),

二48=08=4,/AO8E5°,

AC\

—=一，点。为08的中点，

CB3

：.BC=3,0D=BD=2,

：.D(0,2),C(4,3),

作D关于直线OA的对称点E,连接EC交于P,

则此时，四边形PO8C周长最小，E(0,2),

♦.•直线04的解析式为产x,

设直线EC的解析式为y=kx+h,

b=2

"[4k+b—3'

\k=L

解得：,4,

b=2

二直线EC的解析式为x^-x+2,

4

尸x

解《_1.得,

y---x+28

-4y=-

3

88

：.P(-,

33

故选C.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键.

6.如图，菱形ABCD的顶点8、C在X轴上(B在C的左侧)，顶点4、D在％轴上方，对角线BD的长是|V1U,

点E(-2,0)为BC的中点，点P在菱形4BCD的边上运动.当点“0,6)到EP所在直线的距离取得最大值时，点P

恰好落在4B的中点处，则菱形4BCD的边长等于()

A.B.V10C.yD.3

【答案】A

【分析】如图1中，当点P是A8的中点时，作于G,连接EF.首先说明点G与点尸重合时，FG

的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交8〃于H,PE交BD于J.设BC=2a.利用相似

三角形的性质构建方程求解即可.

【详解】如图1中，当点尸是的中点时，作FGLPE于G,连接EF.

■:E(-2,0),F(0,6),

；.OE=2,OF=6,

EF=722+42=2/io，

TZFG£=90°,

：.FG<EF,

...当点G与E重合时，/G的值最大.

如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H,PE交BD于J.设BC=2a.

'：PA=PB,BE=EC=a,

：.PE//AC,BJ=JH,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AC1BD,BH=DH①,BJ巫,

36

:・PE1BD,

,/ZBJE=ZEOF=ZPEF=90°,

：.ZEBJ=ZFEO,

:.△BJEs/\EOF,

.BEBJ

•.——=——,

EFEO

X^lO

・・・；=£

2V102

.5

3

BC=2a=—,

3

故选A.

【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题

的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

7.如图，抛物线y=—/一4与x轴交于A、8两点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆上的动点，

4

。是线段A4的中点，连结。。.则线段。。的最大值是()

A.3B.C.-D.4

22

【答案】C

【分析】根据抛物线解析式可求得点A(-4,0),8(4,0),故。点为A8的中点，又。是4P上的中点可知

OQ=^BP,故。。最大即为8P最大，即连接8c并延长8C交圆于点P时8P最大，进而即可求得。。的

最大值.

【详解】•..抛物线y=-4与x轴交于A、B两点、

4

(-4,0),B(4,0),即04=4.

在直角三角形COB中

BC=4OC2+OBT=A/32+42=5

•.•。是AP上的中点，。是A8的中点

OQ为A48P中位线，即0。=；BP

又在圆C上,且半径为2,

:.当B、C、尸共线时8P最大，即0Q最大

巾匕时BP=BC+CP=1

17

OQ=-BP=-.

【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到

圆上最长的距离，解本题的关键是将求0。最大转化为求BP最长时的情况.

8.如图，4ABe中，AB=4C=10,S"A=2,BELAC于点E,力是线段8E上的一个动点，则。。十好^。

的最小值是（

A.275B.475C.5百D.10

【答案】B

BE

【分析】如图，作DALAB于从于M.由“2A=——=2,设BE=2a,利用勾股定理构建

方程求出m再证明推出由垂线段最短即可解决问题.

55

【详解】如图，作。H_L4?于"，CM_LA3于M.

----------------0c

VBE1AC,

・・・/AEB=90。,

BE又

,:tanA=---=2，设AE=afBE=2a，

AE

贝！］有：100=tz2+4n2,

/.a2=20,

・"二2逐或・2石（舍弃），

BE=2a=45/5，

9：AB=AC,BELAC,CMLAB,

：.CM=BE=4y[5（等腰三角形两腰上的高相等））

ZDBH=ZABE,ZBHD=ZBEA,

，sinNDBH=也AE

BD

：.DH=­BD,

5

CD+—BIXCD+DH,

5

二CD+DH>CM,

石

一

5

8。的最小值为4石.

故选B.

【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅

助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

9.如图，已知两点的坐标分别为（8,0）,（。,8）,点C、下分别是直线x=-5和x轴上的动点，

C尸=10,点。是线段CF的中点，连接4。交y轴于点E；当/43E面积取得最小值时，的

值是（）

【答案】B

【分析】如图，设直线4-5交x轴于K.由题意K/A'CF=5,推出点。的运动轨迹是以K为圆心，5为

2

半径的圆，推出当直线AD与。K相切B寸，ZiABE的面积最小，作EHLAB于H.求出EH,AH即可解决问

题.

【详解】如图，设直线广-5交x轴于K.由题意阳=1（7/=5,

2

x=-5

.•.点。的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆,

，当直线AD与。K相切时，4ABE的面积最小，

是切线，点。是切点，

：.AD1KD,

：AK=13,DK=5,

：.AD=[2,

OEDK

♦tcinNEAO-=-----

OAAD

OE_5

~s~~n

,10

・・OE——,

3

.\AE=VOE2+OA2——

3

作EH±AB于H.

..1

.S&ARE=—・AB・EH=S&AOB-SAAOE,

2

3

1772

:.AH=yjAE2-EH2

3

772

EH

：.tanABAD3_7

AH-1772-17'

3

故选B.

【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题

的关键是灵活运用所学知识解决问题.

10.如图，AB是。的直径，M、N是弧AB（异于A、8）上两点，。是弧MN上一动点，ZACB

的角平分线交。于点。，NBA。的平分线交CO于点E.当点C从点M运动到点N时，则C、E两

D.当

【答案】A

【分析】连接5E,由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得N4E8=135。，为定值，确定出点E的运动

轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在A8的中垂线上，根据题意过圆心。作直径CD,则CO

LAB,在CO的延长线上，作。尸=D4,则可判定A、E、B、尸四点共圆，继而得出£>E=D4=。凡点。

为弓形AB所在圆的圆心，设。。的半径为/?,求出点C的运动路径长为）R,DA=6R,进而求出点E

的运动路径为弧4E8,弧长为正%R,即可求得答案.

2

【详解】连结BE,

•.•点E是NACB与NCAB的交点,

二点E是ZM8c的内心，

...BE平分NA8C,

\'AH为直径，

二NAC8=90°,

，点E的轨迹是弓形48上的圆弧，

二此圆弧的圆心一定在弦A8的中垂线上,

,AD=BD»

；・AD=BD,

如下图，过圆心0作直径。£>,则COL4B,

NB/）O=/ADO=45°,

在CO的延长线上，作。尸=。4,

则NAFB=45。，

即ZAFB+ZAEB=180°,

••.A、E、B、尸四点共圆，

,ZDAE=ZDEA=67.5°,

：.DE=DA=DF,

点。为弓形48所在圆的圆心，

设。。的半径为七

则点C的运动路径长为：7lR，

DA=6R,

点E的运动路径为弧AEB,弧长为：砂上匣;立兀R,

1802

兀R=£

C、E两点的运动路径长比为：0一，

——兀R

2

故选A.

【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性

较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.

二、填空题

11.如图，矩形硬纸片ABCZ）的顶点A在，轴的正半轴及原点上滑动，顶点8在X轴的正半轴及原点上滑

动，点E为AB的中点，AB=24,8C=5,给出下列结论：①点4从点。出发，到点B运动至点。为止，点E

经过的路径长为12兀；②△OA8的面积的最大值为144；③当。。最大时，点。的坐标为（至叵，空&5）,

2626

其中正确的结论是（填写序号）.

【分析】①由条件可知A8=24,则48的中点E的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E所

经过的路径长；②当△OAB的面积最大时，因为AB=24,所以AOAB为等腰直角三角形，即04=08,可求

出最大面积为144；③当0、E、力三点共线时，0。最大，过点。作。尸，y轴于点凡可求出0/>25,证

明s^AOg和△OFOS^BOA,可求出OF长，则。点坐标可求出.

【详解】解：：点E为48的中点，AB=24,

：.OE=-AB=\2

2

...AB的中点E的运动轨迹是以点。为圆心，12为半径的一段圆弧，

ZAOB=90°,

QQX]2X九"

•••点E经过的路径长为二-----=6兀,故①错误；

180

当AOAB的面积最大时，因为AB=24,所以△OAB为等腰直角三角形，即0A=08,

•••E为48的中点，

：.OEA.AB,OE=-AB=12

2

•••SA°B=gx24xl2=144,故②正确；

如图，当。、E、。三点共线时，。。最大，过点。作OF_Ly轴于点F,

AD=BC^5,AE=-AB=\2

DE=ylAD2+AE2=752+122=13

:.OD=DE+OE=13+12=25,

设DF=x,

:.OF=^ODr-DF2=7252-x2

•••四边形4BCZ）是矩形，

二ZDAB=90°,

：.ZDFA=ZAOB,

：.ZDAF=ZABO,

：./\DFA^/\AOB

DFDA

"~OA~AB

.x_5

,QA-24

C,24X

5

：E为AB的中点,ZA08=90。,

：.AE=OE,

：.^AOE=ZOAE,

:.△DEOsXBOA,

OPOF

~AB~~OA

解得户誓…誓舍去,

故答案为②③.

【点睛】本题考查四边形综合题、宜角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识.解题的

关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

12.如图，在边长为1的菱形ABC。中，ZABC=60°,将人钻。沿射线8。的方向平移得到△48'。',

分别连接AC，A'O，B'C则A'C+B'C的最小值为

【答案】G

［分析］过。点作BD的平行线/,以/为对称轴作B点的对称点B1,连接A4交直线/于点a,当A,旦,e

三点共线时AC1+8C］取最小值，再根据勾股定理即可求解.

【详解】如图，过C点作8D的平行线/,以/为对称轴作B点的对称点瓦，连接交直线/于点C

根据平移和对称可知A'C+B'C=AG+BG，当A，4，G三点共线时AG+BC1取最小值，即A4,乂

AB=BB］=1,

根据勾股定理得，AB［=6故答案为百

【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知平移的性质及勾股定理的应用.

13.如图，在矩形A8CQ中，AB=4,NCCA=30。，点尸是对角线AC上的一个动点，连接。F,以。尸为

斜边作尸E=30。的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧，点尸从点4到点C的运动过程中，

点E的运动路径长是.

【答案】逑.

3

【分析】当尸与A点重合时和尸与C重合时，根据E的位置，可知E的运动路径是EE的长；由已知条件

可以推导出AOEE是直角三角形，且NDEE=30。，在放△/1£>£中，求出OE=2叵即可求解.

【详解】解：如图

E

1

D/\G

AB

石的运动路径是的长；

・；A8=4,ZDCA=30°,

：.BC=^~,

3

当F与4点重合时，

在RdACE中，AO=1^,NZM£=30°,/4DE=60°

3

:.DE=^^,ZCDE=30°,

3

当尸与C重合时，Z£DC=60°,

.*.Z£DF=90°,NQEE=30°,

4、C

在用ZkOEE1中，EE：=—^--,

3

…士“4A/3

故答案为".

3

【点睛】本题考查点的轨迹；能够根据E点的运动情况，分析出E点的运动轨迹是线段，在30度角的直角

三角形中求解是关键.

4过点尸作x轴的垂线交直线AB：y='x—2于

14.如图，点P是双曲线C：y=—(x>0)上的一点,

X.2

点Q,连结0P,。。.当点P在曲线C上运动，且点P在。的上方时△POQ面积的最大值是_____.

"11

【答案】3

【分析】令PQ与x轴的交点为£,根据双曲线的解析式可求得点A、8的坐标，由于点P在双曲线上，由

双曲线解析式中k的几何意义可知aOPE的面积恒为2,故当aOEQ面积最大时△POQ的面积最大.设Q(〃,

1111919

—a—2)则SAOE°=—xax(—a—2)=一a'-tz=(—a—1)~+1,口J知当a=2时S^OEQ最大为1,即当Q

22242

为A8中点时△OEQ为I,则求得面枳的最大值是是3.

.♦.A(0,-2),B(4,0)

即08=4,。4=2

令尸。与x轴的交点为E

•••p在曲线C上

.•.△OPE的面积恒为2

，当AOEQ面积最大时△POQ的面积最大

设Q(。，］。-2)

.,,1117,1.、，一

贝USAOEQ=-x4x(—a—2)=—ci~—ci=(-a.1)"+1

2242

当a=2时SAOEQ最大为1

即当Q为A8中点时AOEQ为1

故△P。。面积的最大值是是3.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握

反比例函数中上的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.

15.如图，正方形ABC。中，AB=\2,AE=』AB,点尸在BC上运动(不与B、C重合)，过点尸作

4

交CD于点Q,则CQ的最大值为.

【答案】4

【分析】先证明ABPESACQP,得到与c。有关的比例式，设CQ=y,BP=x,贝UCP=12-x，代入解

析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值.

【详解】解：NBEP+NBPEW。,ZQPC+ZBPE=90°,

：.NBEP=NCPQ.

又"=NC=90。，

岫PESACQP.

.BE_BP

"PC-CQ

设C0=y,BP=x，则CP=12-x.

-一9=一x，化简得旷二-1力/一,一口叶、，

12-xy9v'

整理得y=-L(x-6)2+4,

所以当尸6时，y有最大值为4.

故答案为4.

【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数

最值求解考查了树形结合思想.

16.如图，在平面直角坐标中，一次函数y=-4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正方形ABCQ

k

的顶点C、。在第一象限，顶点。在反比例函数丫=一(咛0)的图象上.若正方形ABCQ向左平移”个单位

x

后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则〃的值是.

【答案】3.

【分析】过点。作£>E_Lx轴过点。作CF_Ly轴，可证AABO也△O4E(AA5),^CBF^/^BAO(AAS),则可求

0(5,1),C(4,5),确定函数解析式y=C向左移动〃个单位后为(4-〃，5),进而求〃的值.

【详解】过点。作DELx轴，过点C作CF_Ly轴,

\9AB±AD,

：.ZBAO=ZDAEf

*：AB=ADfZBOA=ZDEAf

：./\ABO^ADAE(AAS),

：.AE=BO,OE=OA,

y=-4X+4,当产0时，尸4,

当y=0时，0=-4x+4,x=\,

AA(1,0),8(0,4),

AOA=1,03=4,

・・・OE=OA+AE=5,

AD(5,1),

k

;顶点。在反比例函数了=—上,

x

:・k=5.

/.y=—,

x

易证△△3AO(/L4S),

ACF=4,BF=lf

・・・C(4,5),

・・・C向左移动〃个单位后为(4-%5),

A5(4-n)=5,

/.n=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的

平移等，综合性较强，正确添加常用辅助线是解题的关键.

17.如图1,在四边形A3C。中，AD//BC,/8=30°,直线/，43.当直线/沿射线3。方向，从点3开

始向右平移时，直线/与四边形ABCD的边分别相交于点E、F.设直线/向右平移的距离为x,线段跖的

长为y,且y与x的函数关系如图2所示，则四边形ABC。的周长是.

图1

图2

【答案】10+26

【分析】根据图1直线/的平移过程分为三段，当尸与A重合之前，X与y都不断增大，当当F与A重合之

后到点E与点C重合之前，x增加y不变，E与点C重合后继续运动至尸与。重合x增加y减小.结合图2

可知8c=5,45=7-4=3,由口AB且NB=30。可知AB=26，当尸与A重合时，把CO平移到E点位置可

得三角形为正三角形，可得CD=2,进而可求得周长.

【详解】由题意和图像易知8c=5,AD=7-4=3

当BE=4时（即尸与A重合），EF=2

又且/8=30°

二48=2百，

•.•当尸与A重合时，把CD平移到E点位置可得三角形AEO为正三角形

/.CD=2

：.AB+BC+CD+AD=2G+5+2+3=10+275

故答案时10+2JJ.

【点睛】本题考查了30。所对的直角边是斜边的一半，对四边形中动点问题几何图像的理解，解本题的关键

是清楚掌握直线/平移的距离为X,线段EE的长为的图像和直线运动的过程的联系，找到对应线段长度.

18.如图，在矩形ABC。中，A3=g,AO=3,点尸是4。边上的一个动点，连接8尸，作点A关于直

线3尸的对称点连接AC，设AC的中点为Q,当点P从点A出发，沿边运动到点。时停止运动，

点。的运动路径长为.

3

【分析】如图，连接B4,取BC使得中点0,连接O。，BD.利用三角形的中位线定理证明0Q=^=

定值，推出点Q的运动轨迹是以。为圆心，0Q为半径的圆弧，圆心角为120。，已解决可解决问题.

【详解】解：如图，连接BA-取使得中点O,连接

APD

IS

BC

•.•四边形ABC。是矩形，

Zfi4D=90°,

An广

：.tanZABD=—=J3,

AB

二ZABD=60°,

•:AQ=QC,BO=OC,

：.OQ=^BAi=^AB=^-,

二点。的运动轨迹是以。为圆心，。。为半径的圆弧，圆心角为120°，

r-

・,•点。的运动路径长1/5小3万G

=-1-----=--71

1803

故答案为立力.

3

【点睛】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，

属于中考常考题型.

19.如图，A4BC是。。的内接三角形，且42是。。的直径，点尸为。。上的动点，且NBPC=60°，O

。的半径为6,则点P到AC距离的最大值是一.

【答案】6+3\/3-

【分析】过。作OMLAC于M,延长MO交。。于P,则此时，点P到AC距离的最大，且点尸到AC距

离的最大值=PM,解直角三角形即可得到结论.

【详解】过。作OMJ_AC于-M,延长MO交。。于P,贝皿匕时，点P到AC距离的最大，且点P到AC

距离的最大值=PM，

-：OM1AC，ZA=ZBPC=60°.OO的半径为6,

OP=OA=6，

OM="04=正x6=3百，

22

，PM=OP+0M=6+3y/3.

•••则点P到AC距离的最大值是6+36，

故答案为：6+3>/3•

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关

键.

20.如图，在正方形ABCO中，AB=8,AC与BD交于点O,N是A。的中点，点M在BC边上，且BM=6.

P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为一.

【分析】如图所示，以8。为对称轴作N的对称点N',连接PN',根据对称性质可知，PN=PN',由此

可得PM—PN'KW,当P,航,N'三点共线时，取“="，此时即PM—PN的值最大，由正方形的性质求

出AC的长，继而可得ON'=CW=2j5，AN'=60，再证明可得PM〃4B〃CZ),

BMAN3

NCMN'=90。,判断出AN'a/为等腰直角三角形，求得N'M长即可得答案.

【详解】如图所示，以8。为对称轴作N的对称点N',连接PN',根据对称性质可知，PN=PN',：.

PM-PN'<MN',当三点共线时，取“=”，

•.•正方形边长为8,

:.AC=^AB=8O'

,。为AC中点，

:.A0=0C=46)

■:N为04中点，

：6=2亚，

•••ON，=ON=20

二AN'=6y[2>

,;BM=6,

.♦.CM=AB-8M=8-6=2,

.CM_CN'

,,威一而一

：.PM//AB//CD,NCMN'=90°,

'：ZN'CM=45°,

:.AN'CM为等腰直角三角形，

：.CM=N'M=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题

等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

三、解答题

21.如图，抛物线Ci：y=x2-2x与抛物线C2：>=，/+笈开口大小相同、方向相反，它们相交于0,C两

点，且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA—2OB.

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使％+PC的值最小？若存在，求出点尸的坐标，若不存在，

说明理由：

(3)M是直线0C上方抛物线C2上的一个动点，连接MO,MC,M运动到什么位置时，△M0C面积最大？

并求出最大面积.

【答案】(1)y=-r+4x；⑵线段AC的长度=南；(3)SAM"最大值为，.

O

【分析】(1)G、C2：尸谓+法开口大小相同、方向相反，则。=-1,将点A的坐标代入C2的表达式，即可

求解：

(2)作点C关于Ci对称轴的对称点C(-1,3),连接AC交函数Ci的对称轴与点P,此时PA+PC的值最

小，即可求解；

1339

(3)S^MOC=—MHxxc=—(-x2+4x-x)=—X2H—，即可求解.

2222

【详解】(I)令：y—x2-2x—0,则x=0或2,即点8(2,0),

,.,Ci、C2：丫=。/+云开口大小相同、方向相反，则a=-l,

则点A(4,0),将点A的坐标代入C2的表达式得：

0=-16+48,解得：b=4,

故抛物线C2的解析式为：)，=-x2+4x；

(2)联立Ci、C2表达式并解得：x=0或3,

故点C(3,3),

作点C关于G对称轴的对称点C'(-1,3),

此时PA+PC的值最小为：线段AC的长度=7(4+1)2+32=734：

(3)直线OC的表达式为：y=x,

过点M作y轴的平行线交0C于点H,

设点m(x,-x2+4x),则点H(x,x),

1339

则S4Moe=—MHxxc=—(-N+4X-x)=x2H—,

2222

3,必3

•--<0,故*=一,

22

45

SAMOC最大值为—.

8

【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求

解；还要注意求最大值可以借助于二次函数.

22.如图一，在射线DE的一侧以4。为一条边作矩形ABC。，AD=5A/3.8=5,点M是线段AC上

一动点(不与点A重合)，连结BM，过点M作的垂线交射线£>E于点N,连接BN.

EANDENAD

(图二)

(1)求NC4D的大小；

(2)问题探究：动点M在运动的过程中，

①是否能使A4MN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由.

②的大小是否改变？若不改变，请求出NAffiN的大小；若改变，请说明理由.

(3)问题解决：

如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与6N的交点为尸，MN的中点为H,求线段FH的长度.

【答案】（1）NC4D=30°;（2）①能，CM的值为5或5百；②大小不变，NMBN=30：⑶吐.

6

【分析】（1）在用AAOC中，求出ND4C的正切值即可解决问题.

（2）①分两种情形：当NA=NM时,当AN=A"时，分别求解即可.

②NMBN=30.利用四点共圆解决问题即可.

（3）首先证明足等边三角形，再证明BN垂直平分线段4M，解直角三角形即可解决问题.

【详解】解：（1）如图一（I）中，

•.•四边形ABCZ）是矩形,

•••ZADC=90，

•./n/CAD=史=2=包

AD5733

二ZC4D=300.

(2)①如图-(1)中，当AN=NM时,

■：ZBAN=ZBMN=90°.BN=BN,AN=NM,

二Rt/^BNAsRtABNM(HL),

，BA=BM，

在HAABC中，•..NAC3=NZ)AC=30°，AB=CD=5，

AC=2AB=10，

/BAM=60°.BA=BM,

：.是等边三角形，

AM=AB=5，

：.CM^AC-AM^5.

如图一(2)中，当AN=AM时，易证NA"N=NAM0=15°，

图一⑵

/BMN=99，

/•ZCMB=75°，ZMCB=30°，

，NCBM=180°-75°-30°=75-，

，ZCMB=ZCBM,

；•CM=CB=5后,

综上所述，满足条件的CM的值为5或5百.

②结论：NM3N=30°大小不变.

理由：如图-（1）中，；N84N+NBMN=180"，

N四点共圆，

•••4MBN=NMAN=30°.

如图一（2）'：ZBMNZBAN=90，

二A,N,B,M四点共圆，

ZMBN+4MAN=180"，

NZMC+NM47V=180°，

/■NMBN=NDAC=30°，

综上所述，ZMBN=30°.

（3）如图二中,

图二

•：AM=MC,

:.BM=AM=CM,

：.AC=2AB，

•••AB=BM=AM

钻M是等边三角形，

•••ZBAM=ZBMA=60).

•/ZBAN=乙BMN=90°，

NNAM=NNMA=3G，

NA=NM,

,:BA=BM，

：.BN垂直平分线段AM，

FM

2

cos303

,/乙NFM=90°-NH=HM,

.0口155/3

••FH=—MN=----

26

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三

角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

23.如图，在小钻。中，乙4=90，AB=3,AC=4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点（点M不与

AB重合），且过点M作的平行线交AC于点N,连接N。，设BQ为X.

（1）试说明不论》为何值时，总有kQBMsA4BC；

（2）是否存在一点Q,使得四边形BMN。为平行四边形，试说明理由；

（3）当x