2023版高考数学一轮复习讲义：第四章三角函数、解三角形4-6

成套的课件成套的教案成套的试题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸第六节正弦定理和余弦定理·最新考纲·1．借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．2．掌握余弦定理、正弦定理．·考向预测·考情分析：利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其是正、余弦定理的综合问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题．学科素养：通过利用正、余弦定理解三角形考查数学运算的核心素养．积累必备知识——基础落实赢得良好开端一、必记3个知识点1．正弦定理______________________________________，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝____________________；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，________________；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝________等形式，2．余弦定理a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________________.余弦定理可以变形为：cosA＝______________，cosB＝________________，cosC＝________________．3．三角形面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，二、必明3个常用结论1．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB．2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA+B2＝cosC(4)cosA+B2＝sinC3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．三、必练4类基础题(一)判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)在△ABC中，A>B必有sinA>sinB．()(2)在△ABC中，若b2＋c2>a2，则△ABC为锐角三角形．()(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则∠B＝45°或∠B＝135°.()(4)若满足条件C＝60°，AB＝3，BC＝a的△ABC有两个，则实数a的取值范围是(3，2)．()(5)在△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．()(6)在△ABC中，若tanA＝a2，tanB＝b2，则△ABC是等腰三角形．()(二)教材改编2．[必修5·P10T4改编]在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A．π6B．π3C．2π33．[必修5·P10B组T2改编]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c<bcosA，则△ABC为________三角形．(三)易错易混4．(判断三角形解的个数失误)在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A.有一解B．有两解C．无解D.有解但解的个数不确定5．(忽视cosC＝0，出现丢根)在△ABC中，角A，B，C满足sinAcosC－sinBcosC＝0，则三角形的形状为________．(四)走进高考6．[2021·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一利用正、余弦定理解三角形[基础性]1．[2022·四川攀枝花市模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝π3，b＝3，a＝3，则c＝(A．3B．23C．3－3D．32．[2022·四川成都市测试]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3b，sinA＝35，则sinB的值为(A．15B．115C．133．[2022·安徽安庆市测评]在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．若a，b，c成等比数列，且a2＋3bc＝c2＋ac，则∠A的大小是()A．π6B．π3C．2π34．[2022·甘肃高三模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶9，则cosC＝()A．－335B．－C．－15D．－反思感悟用正、余弦定理求解三角形基本量的方法考点二判断三角形的形状[基础性、综合性][例1]设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定听课笔记：一题多变1．(变条件)若将例1中“若bcosC＋ccosB＝asinA”变为“cosAcosB＝ba＝2”，则△2．(变条件)若将例1中“若bcosC＋ccosB＝asinA”变为“若ab＝cosBcosA”，则△ABC反思感悟判定三角形形状的常用技巧[提醒]注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．【对点训练】1．[2022·四川省内江市第六中学测试]若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝7∶11∶13，则△ABC()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2．[2022·安徽高三月考]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A－2cosA＋32＝0且满足a＝3(b－c)，则△ABC的形状是(A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形3．[2022·甘谷县第四中学测试]在△ABC中，若1-sin2C1-sin2B＝bcosCcA．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点三与三角形面积、周长、边长有关的问题[综合性]角度1与三角形面积有关的问题[例2][2022·江西五校联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosA＝b3(1)求A；(2)若a＝3，求△ABC的面积．听课笔记：反思感悟求三角形面积的方法角度2与最值(范围)有关的问题[例3]在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝3ab.(1)求角C的值；(2)若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求a＋b的取值范围．听课笔记：反思感悟求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.【对点训练】1．[2022·陕西宝鸡市测试]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝13，a＝1，B＝60°，则△ABC的面积为()A．3B．2C．23D．32．[2022·兰州市第二十七中学测试]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则a-2b+csinA-2sinA．2393BC．833D．3．[2022·北京人大附中检测]在△ABC中，a＝3，A＝π3，则△ABC的最大周长是(A．23B．33C．3＋3D．4＋34．[2022·浙江高三模拟]在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，ACsinA＝2sin∠ABD，则BD＝________，△ABC面积的最大值为________．微专题19计算三角形中的未知量数学运算数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．[例][2020·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.(1)若a＝3c，b＝27，求△ABC的面积；(2)若sinA＋3sinC＝22，求C解析：(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×3c2×cos150°.解得c1＝－2(舍去)，c2＝2，从而a＝23.△ABC的面积为12×23×2×sin150°＝3(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，所以sinA＋3sinC＝sin(30°－C)＋3sinC＝sin(30°＋C)．故sin(30°＋C)＝22而0°<C<30°，所以30°＋C＝45°，故C＝15°.名师点评(1)求边：利用公式a＝bsinAsinB，b＝asinB(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝asinBb，sinB＝bsinAa，sin(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．[变式训练][2022·江西省名校高三教学质量检测]在△ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB.(1)求角C的大小；(2)若bcosC＋ccosB＝4，B＝π4，求△ABC的面积第六节正弦定理和余弦定理积累必备知识一、1．asinA＝bsinB＝csinC＝2RsinA∶sinB∶sinCc＝22．b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosCb2+c

a三、1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×2．解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝b2+c2-a22bc由A∈(0，π)，得A＝2π3，即∠BAC＝2π答案：C3．解析：依题意得sinC<sinBcosA，所以sin(A＋B)<sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<0，所以cosBsinA<0.又sinA>0，于是有cosB<0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．答案：钝角4．解析：由bsinB＝csinC，得sinB＝bsinCc＝40答案：C5．解析：∵sinAcosC－sinBcosC＝0∴cosC(sinA－sinB)＝0即cosC＝0或sinA＝sinB.若cosC＝0，则C＝90°，即为直角三角形；若sinA＝sinB，则A＝B.即为等腰三角形．答案：直角三角形或等腰三角形6．解析：由S△ABC＝12acsinB＝34ac＝3得ac由b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋c2－ac，结合a2＋c2＝3ac得到b2＝2ac＝8，∴b＝22.答案：22提升关键能力考点一1．解析：在△ABC中，由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB＝3＋c2－3c＝9，即c2－3c－6＝0，解得：c＝23或c＝－3(舍)，∴c＝23.答案：B2．解析：由正弦定理可知：asinA＝bsinB⇒3b35＝答案：A3．解析：由已知得b2＝ac，因此a2＋3bc＝c2＋ac可化为b2＋c2－a2＝3bc.于是cosA＝b2+c2-a22bc＝32，又A∈(0答案：A4．解析：由正弦定理：asinA＝bsinB＝csin得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，又因为sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶9，所以a∶b∶c＝5∶7∶9，令a＝5t，b＝7t，c＝9t(t>0)，所以cosC＝a2+b2-c22ab答案：D考点二例1解析：因为bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，所以sinA＝1，所以A＝π2，故△ABC为直角三角形．故选答案：B一题多变1．解析：因为cosAcosB＝ba，由正弦定理得cosAcosB＝sinBsinA，所以sin2A＝sin2B.由ba＝2√，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝π－2B，即A＋答案：直角三角形2．解析：由ab＝cosBcosA，得sinA所以sinAcosA＝cosBsinB，所以sin2A＝sin2B.因为A，B为△ABC的内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝π2所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形对点训练1．解析：△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶11∶13，设a＝7x，b＝11x，c＝13x，cosC＝a2+b2-c22ab＝∴最大角A为锐角，∴△ABC为锐角三角形．答案：A2．解析：cos2A－2cosA＋32＝2cos2A－1－2cosA＋32＝0，解得cosA＝12，A＝π3，则B＝2π∵a＝3(b－c)，∴由正弦定理得sinA＝3(sinB－sinC)，32＝3[sin(2π3-c)-32cosC＋12sinC－sinC＝sin(π3-C)＝12，因为0<C<∴－π3<π3－C<π3，∴π3－∴C＝π6，B＝π2，△答案：B3．解析：由已知1-sin2C1-sin2B＝cos2ccos2B＝bcosCccosB，得cosCcosB＝bc或cosCcosB＝0，即C＝90°或cosCcosB＝bc，由正弦定理得cosCcosB＝sinBsinC，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，∵B，答案：D考点三例2解析：(1)∵acosA＝b3∴由正弦定理得sinAcosA＝sin即tanA＝13tanB＝2tanC∴tanB＝3tanA，tanC＝12tan∵在△ABC中，tanA＝－tan(B＋C)＝－tanB∴tanA＝－3tanA+12tanA即tanA＝－3或tanA＝3.当tanA＝－3时，tanB＝－33，tanC＝－32，则A，B，C均为钝角，与A＋B＋C＝π故tanA＝3，即A＝π3解析：(2)由(1)知tanB＝33，tanC＝32，∴sinB＝32114，sinC∵a＝3，∴3sinπ3＝b解得b＝977，c＝∴S△ABC＝12bcsinA＝12×例3解析：(1)由题意知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理可知，cosC＝a2+b又C∈(0，π)，∴C＝π3解析：(2)由正弦定理可知，asinA＝bsinB＝2sinπ3＝433，即a＝4∴a＋b＝433(sinA＋sinB)＝23sinA＋2cosA＝4sinA+π又△ABC为锐角三角形，∴0<A<π2，0<B=2π3-A<则π3<A＋π6<2π3，∴23<4sinA+综上，a＋b的取值范围为(23，4].对点训练1．解析：由余弦定理可知，b2＝a2＋c2－2c·a·cos