(人教版)福州市九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，在四边形ABCD中，，如果添加下列条件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是（）A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD C．AC2＝AD•BC D．2．如图，和都是等边三角形，点G在的延长线上，，若，，则的长为（）A．1 B． C． D．23．如图，在中，，，，点F为边上一点，则下列条件不能保证与相似的是（）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处.若，，则点的坐标是（）A． B． C． D．5．下列图形中一定是相似形的是（）A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个正方形6．如图，在中，为边上的一点，为边上的一点，连接，，交于点，若为的中点，，则的值为（）A． B． C． D．7．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（）A．90 B．180 C．270 D．36008．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30cm，光源到屏幕的距离为90cm，且幻灯片中的图形的高度为7cm，则屏幕上图形的高度为（）A．21cm B．14cm C．6cm D．24cm9．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（）A． B． C． D．210．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）A． B．C． D．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，延长至点G，连接BG，过点A作AF⊥BG，垂足为F，AF交CD于点E，则下列错误的是（）A． B． C． D．12．已知两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的最小内角为（）A． B． C． D．不能确定二、填空题13．如图，在平行四边形ABCD中，E在AD上，，CE交BD于F，则__________．14．如图，直线，直线交于，直线交于，，，，求的长为______cm．15．已知，则的值为________．16．已知5a=6b（a≠0），那么的值为_______．17．若，则的值为__________．18．如图，是的边上一点，，，．如果的面积为，那么的面积为_______．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为______．20．已知＝k，则k=______．参考答案三、解答题21．如图，△ABC在网格中（每个小方格的边长均为1）．（1）请在网格上建立平面直角坐标系，使A点坐标为（2，3），C点坐标为（6，2），并求出B点坐标；（2）在（1）的基础上，以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△；（3）△的面积S＝．22．如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？23．如图1，与中，，连接、，．（1）求证：；（2）已知，，．将绕点A旋转，当C、E、D三点共线时，如图2，求的长．24．如图，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上．双曲线经过边的中点，与交于点，连结，．（1）求的值及的度数．（2）在直线上找点，使得以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．25．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．（1）在图①中以线段为边画一个三角形，使它与相似．（2）在图②中画一个三角形，使它与相似（不全等）．（3）在图③中的线段上画一个点P，使．26．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．求证：△ABE～△ADC．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】利用相似三角形的判定定理，在AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA的前提下，需添加一角或夹这角的两边对应成比例进行排查即可．【详解】解：A．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠BAC＝∠ADC时，则△ABC∽△DCA；B．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当∠B＝∠ACD时，则△ABC∽△DCA；C．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，由AC2＝AD•BC变形为，则△ABC∽△DCA；D．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，当时，不能判断△ABC∽△DCA．故选择：D．【第讲】本题考查三角形相似问题，掌握相似三角形的判定定理，会根据判定定理进行添加条件使三角形相似解题关键．2．C解析：C【分析】过点G作GH⊥BE，垂足为点H，设BE＝2x，进而可表示出相关线段长，再根据CH＝CG列出方程求得x＝1，最后再根据可得，进而可求得AF的长．【详解】解：过点G作GH⊥BE，垂足为点H，设BE＝2x，∵，，∴CG＝10－2x，AG＝3x，∴AC＝CG－AG＝10－5x，∵和都是等边三角形，∴BC＝AC＝10－5x，CD＝DE＝CE＝BC－BE＝10－7x，∠ABC＝∠DEC＝∠C＝60°，∵GB＝GE，GH⊥BE，∴BH＝HE＝x，∴CH＝CE＋HE＝10－6x，∵∠GHC＝90°，∠C＝60°，∴∠HGC＝30°，∴CH＝CG，∴10－6x＝（10－2x），解得：x＝1，∴AG＝3x＝3，CG＝10－2x＝8，CD＝DE＝10－7x＝3，∴GD＝CG－CD＝5，∵∠ABC＝∠DEC，∴AB//DE，∴，∴，即，解得，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，设BE＝2x，利用含30°的直角三角形的性质列出方程是解决本题的关键．3．C解析：C【分析】先根据已知条件可证得，由此可得，再利用相似三角形的判定对选项逐个判断即可．【详解】解：∵，，∴，又∵，∴，∴，A选项：∵，，∴，故选项A正确；B选项：∵，∴，，∴，故选项B正确；C选项：无法证明与相似；D选项：∵，，∴，故选项D正确；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．4．B解析：B【分析】根据题意可求得、的长度，根据点在第二象限，从而可以得到点的坐标．【详解】解：∵四边形是矩形∴∵将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处.若∴∴∴∴根据题意可设，则，则∵∴在中，∴根据题意可设∵∴∴∴∴∴∴点的坐标为．故选：B【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、翻折变换、坐标与图形变化（轴对称）、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想进行解答．5．D解析：D【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．【详解】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．6．B解析：B【分析】过点F作FG//BC交AE于点G，证明可得，再由可证得，故可得结论．【详解】解：过点F作FG//BC交AE于点G∵D是BF的中点，∴∵∴∴∴又∵∴∵∴∴故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关定理与性质是解答此题的关键．7．A解析：A【分析】由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．【详解】由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，故面积比为：9∶1，设两个三角形的面积分别为9x，x，则9x－x=80，解得：x=10，故较大三角形的面积为：9x=90．故选：A．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题关键．8．A解析：A【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答即可．【详解】解：如图所示，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴，设屏幕上的图形高是xcm，则，解得：x=21．答：屏幕上图形的高度为21cm，故选：A．【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．9．A解析：A【分析】首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为，又根据，可得出，据此进行求解即可．【详解】∵各种开本的矩形都相似，∴矩形ABCD与矩形BFEA相似，∴，∴AD•BF=AB•AB，又∵，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了相似多边形的的性质，相似多边形对应边之比等于相似比，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．10．B解析：B【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【详解】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，∴AC：BC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：B．【点睛】此题考查三角形相似判定定理的应用，解答关键是应用勾股定理求出边长．11．D解析：D【分析】通过证明△ACD∽△ABC，可得，通过证明△ACD∽△CBD，可得，通过△ADE∽△GDB，△ACD∽△CBD，可得，通过证明△GEF∽△GBD，可得，即可求解．【详解】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠BCD+∠ABC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠ABC，又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴，故A选项不合题意；∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，∴△ACD∽△CBD，∴故B选项不合题意；∵AF⊥BG，∴∠AFB＝90°，∴∠FAB+∠GBA＝90°，∵∠GDB＝90°，∴∠G+∠GBA＝90°，∴∠G＝∠FAB，又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，∴△ADE∽△GDB，∴，∴AD•BD＝DE•DG，∵△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD•BD，∴CD2＝DE•DG，∴，故C选项不合题意；∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，∴△GEF∽△GBD，∴故D选项符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其性质．12．C解析：C【分析】根据相似三角形的性质、三角形的内角和定理可得出另一个三角形的三个内角度数，由此即可得．【详解】由相似三角形的性质得：另一个三角形的两个内角分别为，则另一个三角形的第三个内角为，因此，另一个三角形的最小内角为，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．二、填空题13．3【分析】证明可得结合三角形面积公式即可求得结果【详解】在平行四边形ABCD中∵∴∵∴故答案为：3【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定解析：3【分析】证明，可得，结合三角形面积公式即可求得结果．【详解】在平行四边形ABCD中，，，∵，，∴∵，．∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．14．09【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可【详解】解：∵∴即：∴DE=09cm故答案为：09【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：0.9【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：∵，∴即：∴DE=0.9cm故答案为：0.9【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用定理是解答此题的关键15．2【分析】根据可设代入原式即可求解【详解】∵∴设∴故答案为：2【点睛】本题考查了比例的性质利用设k法表示出xyz求解更简便解析：2【分析】根据，可设，，，代入原式，即可求解．【详解】∵，∴设，，，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z求解更简便．16．6【分析】由等式可用a表示出b代入求值即可【详解】解：∵5a=6b（a≠0）∴b=a∴故答案为：6【点睛】本题主要考查比例的性质由已知等式用a表示出b是解题的关键解析：6【分析】由等式可用a表示出b，代入求值即可．【详解】解：∵5a=6b（a≠0），∴b=a，∴，故答案为：6．【点睛】本题主要考查比例的性质，由已知等式用a表示出b是解题的关键．17．5【分析】根据比例的性质可用b表示a代入可得答案【详解】解：由得4b=a-b得a=5b∴=5故答案是：5【点睛】本题考查了比例的性质利用比例的性质得出b表示a是解题关键解析：5【分析】根据比例的性质，可用b表示a，代入可得答案．【详解】解：由，得4b=a-b．得a=5b，∴=5，故答案是：5．【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b表示a是解题关键．18．【分析】先证明△ACD∽△BCA再根据相似三角形的性质得到：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4再结合△ABD的面积为6然后求出△ACD的面积即可【详解】解：∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA∴∴即解析：【分析】先证明△ACD∽△BCA，再根据相似三角形的性质得到：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，再结合△ABD的面积为6，然后求出△ACD的面积即可．【详解】解：∵，∠C=∠C∴△ACD∽△BCA∴∴,即，解得：=2．故答案为2．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方解答本题的关键．19．或【分析】分两种情况：①点落在AD边上根据矩形与折叠的性质易得即可求出a的值；②点落在CD边上证明根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值【详解】解：分两种情况：①当点落在AD边上时如图1四边形AB解析：或．【分析】分两种情况：①点落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得，即可求出a的值；②点落在CD边上，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【详解】解：分两种情况：①当点落在AD边上时，如图1．四边形ABCD是矩形，，将沿AE折叠，点B的对应点落在AD边上，，，，；②当点落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，，．将沿AE折叠，点B的对应点落在CD边上，，，，，．在与中，，，，即，解得，（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．20．2或-1【分析】此题分情况考虑：①当a+b+c≠0时根据比例的等比性质求得k的值；②当a+b+c=0时即a+b=-c求得k的值【详解】解析：2或-1．【分析】此题分情况考虑：①当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，求得k的值；②当a+b+c=0时，即a+b=-c，求得k的值．【详解】①当a+b+c≠0时，由等比性质得k==2；②当a+b+c=0时，即a+b=-c(或a+c=-b或b+c=-a)，得k==-1．故答案为2或-1．【点睛】此题考查比例的等比性质，解题时要注意等比性质的条件．三、解答题21．（1）；（2）作图见解析；（3）；【分析】（1）直接利用已知点坐标得出各点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：（1）如图所示：B点坐标为（2，1）；（2）△A'B'C'即为所求；（3）△A'B'C'的面积S＝×4×8＝16．故答案为：16．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．22．（1）18；（2）3.6【分析】（1）依题意得到△APM∽△ABD，得到再由它可以求出AB；（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F则BF即为此时他在路灯AC的影子长，容易知道△EBF∽△CAF，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．【详解】解：(1)由对称性可知AP＝BQ，设AP＝BQ＝xm，∵MP∥BD，∴△APM∽△ABD，∴，∴＝，解得x＝3，∴AB＝2x＋12＝18(m)，即两个路灯之间的距离为18米(2)设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，则BF即为此时他在路灯AC下的影子长，设BF＝ym，∵BE∥AC，∴△FEB∽△FCA，∴，即＝，解得y＝3.6，当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长3.6米．【点睛】此题主要考查相似三角形的应用，两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例．23．（1）见解析；（2）．【分析】（1）由已知可得，则，可得，结合，则结论得证；（2）由，求出、的长，再结合可得，则可求．【详解】（1）证明：∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．（2）∵，，，∴．∵，∴．∴．将绕点A旋转，当C、E、D三点共线时，，∵，∴．∴．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法及相似性质是解题的关键．24．（1），；（2）点的坐标为：或．【分析】（1）把D点的坐标代入反比例函数可求得k的值，然后得