(典型题)初中数学八年级数学上册第二单元《实数》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．下列算式中，运算错误的是（）A． B．C． D．＝32．若表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果等于（）A． B． C． D．3．实数（每两个1之间依次增加一个3），其中无理数共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．下列说法中：①立方根等于本身的是,0,1；②平方根等于本身的数是0,1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤是负分数；⑥两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．65．将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（）A． B． C． D．6．一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的棱长变为原来的（）倍．A．2 B．3 C．4 D．57．对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示，两数中较大的数，例如.则方程的解为（）A．-1 B．-2 C．-1或-2 D．1或28．化简得（）A． B． C． D．9．己知，则的值是（）．A． B．3 C．5 D．10．下列说法中不正确的是（）A．是绝对值最小的实数 B．C．是的一个平方根 D．负数没有立方根11．下列说法中正确的是（）A．的值是±5 B．两个无理数的和仍是无理数C．-3没有立方根. D．是最简二次根式.12．如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近﹣的是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二、填空题13．若，则=_________．14．已知的整数部分是．小数部分是，则______．15．如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为80cm，则线段的长为____cm．16．定义：如果将一个正整数写在每一个正整数的右边，所得到的新的正整数能被整除，则这个正整数称为“魔术数”．例如：将2写在1的右边得到12，写在2的右边得到22，……，所得到的新的正整数的个位数字均为2，即为偶数，由于偶数能被2整除，所以2是“魔术数”．根据定义，在正整数3，4，5中，“魔术数”为____________；若“魔术数”是一个两位数，我们可设这个两位数的“魔术数”为，将这个数写在正整数的右边，得到的新的正整数可表示为，请你找出所有的两位数中的“魔术数”是_____________．17．以下几种说法：①正数、负数和零统称为有理数；②近似数1.70所表示的准确数的范围是；③的平方根是；④立方根是它本身的数是0和1；其中正确的说法有：_____．（请填写序号）18．已知10＋的整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的相反数_____．19．计算：___________．20．请你写出一个比3大且比4小的无理数，该无理数可以是：____．三、解答题21．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中，．22．设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于，则称这样的数为“级收缩数”．例如在正整数中，因为，，所以是“级收缩数”，其中．（1）直接写出最小的“级收缩数”和最大“级收缩数”；（2）若一个“级收缩数”的千位数字与十位数字之积为，求这个“级收缩数”．23．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2；b+11的立方根为﹣3；c是的整数部分；（1）求a+b+c的值；（2）求3a﹣b+c的平方根．24．计算：（1）（2）25．（1）计算：（2）计算:26．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据二次根式的加减法则，乘法，除法，乘方法则计算判断即可.【详解】解：∵，正确，∴A选项不合题意；∵，正确，∴B选项不合题意；∵，无法计算，∵C选项符合题意；∵﹣＝3，正确，∴D选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式运算的基本法则是解题的关键.2．C解析：C【分析】由数轴可判断出a＜0＜b，|a|＞|b|，得出a−b＜0，a＋b＜0，然后再根据这两个条件对式子化简．【详解】解：∵由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a−b＜0，a＋b＜0，∴＝|a−b|＋|a＋b|＝b-a−（a＋b）＝b-a–a-b=−2a．故选：C．【点睛】此题考查数轴，二次根式的化简，绝对值的化简，先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，掌握求绝对值的法则以及二次根式的性质，是解题的关键．3．A解析：A【分析】无限不循环小数是无理数，根据定义解答．【详解】符合无理数定义的有：，故选：A．【点睛】此题考查无理数定义，熟记定义是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据平方根和立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性．【详解】解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确；平方根等于本身的数有：0，故②错误；两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故③错误；实数与数轴上的点一一对应，故④正确；是无理数，不是分数，故⑤错误；从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑥正确．故选：A．【点睛】本题考查平方根和立方根的性质，无理数的性质，解题的关键是熟练掌握这些概念．5．C解析：C【分析】设木块的长为x，结合图形知阴影部分的边长为x-2，根据其面积为19得出（x-2）2=19，利用平方根的定义求出符合题意的x的值，由AD=2x可得答案．【详解】解：设木块的长为x，根据题意，知：（x-2）2=19，则，∴或（舍去）则，故选：C．【点睛】本题主要考查算术平方根，解题的关键是结合图形得出木块长、宽与阴影部分面积间的关系．6．B解析：B【分析】根据正方体的体积公式解答．【详解】解：设原来正方体的棱长为a，则原来正方体的体积为，由题意可得现在正方体的体积为，∵，∴现在正方体的棱长为3a，故选：B．【点睛】本题考查立方根的应用，熟练掌握立方根的意义及正方体的体积计算方法是解题关键．7．A解析：A【分析】利用题中的新定义化简已知方程，求解即可．【详解】①当时，即，此时max，解得，不符合题意舍去．②当时，即，此时max，解得且符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了新定义下实数的运算以及解一元一次方程，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．8．B解析：B【分析】根据分数的性质，在分子分母同乘以2，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】，故选：B．【点睛】此题考查化简二次根式，掌握分数的性质确定分子分母同乘以最小的数值，使分母化为一个数的平方，由此化简二次根式是解题的关键．9．C解析：C【分析】根据二次根式的性质求出a=17，b=-8，再代入计算即可．【详解】∵a-170，17-a0，∴a=17，∴b+8=0，解得b=-8，∴=，故选：C．【点睛】此题考查二次根式的性质，化简二次根式，熟记二次根式的性质是解题的关键．10．D解析：D【分析】根据实数，平方根和立方根的概念逐一判断即可．【详解】0的绝对值是0，负数的绝对值为正数，正数的绝对值为正数，正数大于0，故A正确；，故B正确；9的平方根是，故C正确；任何数都有立方根，故D错误；故选D．【点睛】本题考查了实数的概念，求一个数的平方根或立方根，熟练掌握平方根和立方根的概念是本题的关键．11．D解析：D【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．【详解】，故A选项错误；，故B选项错误；-3的立方根为，故C选项错误；是最简二次根式，故D选项正确；故选D．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．12．B解析：B【分析】根据无理数的估值方法进行判断即可；【详解】∵≈-3.16，∴点N最接近，故选：B．【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握知识点是解题的关键；二、填空题13．1【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2b=1代入计算即可【详解】∵且∴a+2=0b-1=0∴a=-2b=1∴故答案为：1【点睛】此题考查代数式的求值正确掌握算术平方根的非负性及解析：1【分析】根据算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2，b=1，代入计算即可．【详解】∵，且，∴a+2=0，b-1=0，∴a=-2，b=1，∴，故答案为：1．【点睛】此题考查代数式的求值，正确掌握算术平方根的非负性及绝对值的非负性求出a=-2，b=1是解题的关键．14．6-16【分析】先估算确定ab的值进而即可求解【详解】∵＜＜∴3＜＜4又∵a是的整数部分b是的小数部分∴a＝3b＝−3∴3-(−3)2=3-(10-6+9)=3-10+6-9=6-16故答案是：6-解析：6-16【分析】先估算，确定a，b的值，进而即可求解．【详解】∵＜＜∴3＜＜4，又∵a是的整数部分，b是的小数部分，∴a＝3，b＝−3，∴3-(−3)2=3-(10-6+9)=3-10+6-9=6-16．故答案是：6-16．【点睛】本题考查无理数的估算、完全平方公式，确定a、b的值是解决问题的关键．15．【分析】根据通过勾股定理计算得AD；结合计算得AE从而得到AC的值即可得到答案【详解】∵∴∵的长为80cm∴cm∴cm∵∴cm∴cm∴cm故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理二次根式线段和与差的知识解析：【分析】根据、，通过勾股定理计算得AD；结合，计算得AE，从而得到AC的值，即可得到答案．【详解】∵∴∵，的长为80cm∴cm∴cm∵∴cm∴cm∴cm故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解．16．10202550【分析】①由魔术数的定义分别对345三个数进行判断即可得到5为魔术数；②由题意根据魔术数的定义通过分析即可得到答案【详解】解：根据题意①把3写在1的右边得13由于13不能被3整除故3解析：10、20、25、50．【分析】①由“魔术数”的定义，分别对3、4、5三个数进行判断，即可得到5为“魔术数”；②由题意，根据“魔术数”的定义通过分析，即可得到答案．【详解】解：根据题意，①把3写在1的右边，得13，由于13不能被3整除，故3不是魔术数；把4写在1的右边，得14，由于14不能被4整除，故4不是魔术数；把5写在1的右边，得15，写在2的右边得25，……由于个位上是5的数都能被5整除，故5是魔术数；故答案为：5；②根据题意，这个两位数的“魔术数”为，则，∴为整数，∵n为整数，∴为整数，∴的可能值为：10、20、25、50；故答案为：10、20、25、50．【点睛】本题考查了新定义的应用和整数的特点，解题的关键是熟练掌握新定义进行解题．17．②【分析】根据有理数近似数字平方根立方根等概念即可判断【详解】解：①正有理数负有理数和零统称为有理数故原说法错误；②根据四舍五入可知近似数170所表示的准确数的范围是说法正确；③的平方根是原说法错误解析：②【分析】根据有理数、近似数字、平方根、立方根等概念即可判断．【详解】解：①正有理数、负有理数和零统称为有理数，故原说法错误；②根据四舍五入可知，近似数1.70所表示的准确数的范围是，说法正确；③的平方根是，原说法错误；④立方根是它本身的数是0和±1，原说法错误；故答案为：②．【点睛】本题考查学生对概念的理解，解题的关键是正确理解有理数、近似数字、平方根、立方根等概念，本题属于基础题型．18．【分析】先判断在那两个整数之间用小于的整数与10相加得出整数部分再用10＋减去整数部分即可求出小数部分【详解】解：∵∴的整数部分是1∴10＋的整数部分是10＋1＝11即x＝11∴10＋的小数部分是1解析：【分析】先判断在那两个整数之间，用小于的整数与10相加，得出整数部分，再用10＋减去整数部分即可求出小数部分．【详解】解：∵，∴的整数部分是1，∴10＋的整数部分是10＋1＝11，即x＝11，∴10＋的小数部分是10＋﹣11＝﹣1，即y＝﹣1，∴x﹣y＝11﹣（﹣1）＝11﹣＋1＝12﹣，∴x﹣y的相反数为﹣（12﹣）＝．故答案为：．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出在1～2之间．19．2【分析】根据二次根式的性质化简即可【详解】2故答案为：2【点睛】此题考查二次根式的性质掌握二次根式的性质：是解答此题的关键解析：2【分析】根据二次根式的性质化简即可.【详解】2，故答案为：2【点睛】此题考查二次根式的性质.掌握二次根式的性质：，是解答此题的关键.20．答案不唯一如：【分析】无限不循环小数是无理数根据无理数的三种形式解答即可【详解】设该无理数是x由题意得∴x=10或11或12或13或14或15该无理数可以是：答案不唯一如：故答案为：答案不唯一如：【解析：答案不唯一．如：【分析】无限不循环小数是无理数，根据无理数的三种形式解答即可．【详解】设该无理数是x，由题意得，∴x=10或11或12或13或14或15，该无理数可以是：答案不唯一．如：故答案为：答案不唯一．如：．【点睛】此题考查无理数的定义，熟记定义并掌握无理数的三种形式是解题的关键．三、解答题21．（1）；（2）【分析】（1）先去绝对值，再利用二次根式的性质及立方根化简得出结果；（2）先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：（1）原式；（2）原式；将，代入，得：原式．【点睛】本题考查了实数的运算及分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题的关键．22．（1）最小的“级收缩数”为：，最大的“级收缩数”为：；（2）这个“级收缩数”为：、或【分析】（1）根据“级收缩数”的定义可写出所有的可能性，进而即可确定最小的“级收缩数”以及最大的“级收缩数”；（2）在第（1）问的基础上，结合条件“一个“级收缩数”的千位数字与十位数字之积为”将所拥有的可能性进行分类讨论，即可得到答案．【详解】解：（1）∵千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于∴千位与百位上的数字可能是和、和、和、和、和、和、和，十位与个位上的数字可能是和、和、和、和、和、和∴最小的“级收缩数”为：；同理，∵千位与百位的数字之和等于，十位与个位的数字之和等于∴最大的“级收缩数”为：．（2）设这个“级收缩数”千位上的数字为，十位上的数字为，则这个“级收缩数”百位上的数字为，个位上的数字为∵，，，∴，∵∴当时，，不合题意舍去；当时，，符合题意，此时，百位是，个位是，为；当时，，符合题意，此时，百位是，个位是，为；当时，，不合题意舍去；当时，，不合题意舍去；当时，，符合题意，此时，百位是，个位是，为∴这个“级收缩数”为：、或．【点睛】本题考查了新定义问题以及分类讨论的数学思想，认真审题是解题的关键．23．（1）-33；（2）【分析】（1）由平方根的性质知3a-14和a+2互为相反数，可列式，解之可得a=3，根据立方根定义可得b的值，根据可得c的值；（2）分别将a，b，c的值代入3a